線性代數/主題：穩定種群

想象一個保護區，裡面有我們試圖保護的物種的動物。公園沒有圍欄，所以動物可以跨越邊界，從內部出來，也可以從外部進入。每年，10% 的公園內的動物會離開，1% 的公園外的動物會找到進入公園的方式。我們可以問，我們是否可以找到這個公園的穩定種群水平：是否存在一個種群，一旦建立，就會隨著時間的推移保持不變，離開的動物數量等於進入的動物數量？

為了回答這個問題，我們必須首先建立方程式。設第 $n$ 年公園內的種群為 $p_{n}$，世界其他地方的種群為 $r_{n}$。

${\begin{array}{rl}p_{n+1}&=.90p_{n}+.01r_{n}\\r_{n+1}&=.10p_{n}+.99r_{n}\end{array}}$

我們可以將此係統設定為矩陣方程（參見馬爾可夫鏈主題）。

${\begin{pmatrix}p_{n+1}\\r_{n+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}.90&.01\\.10&.99\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{n}\\r_{n}\end{pmatrix}}$

現在，“穩定水平”意味著 $p_{n+1}=p_{n}$ 且 $r_{n+1}=r_{n}$，因此矩陣方程 ${\vec {v}}_{n+1}=T{\vec {v}}_{n}$ 變為 ${\vec {v}}=T{\vec {v}}$。因此，我們正在尋找與特徵值 $1$ 相關的 $T$ 的特徵向量。方程式 $(I-T){\vec {v}}={\vec {0}}$ 是

${\begin{pmatrix}.10&-.01\\-.10&.01\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p\\r\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

這得出了特徵空間：滿足限制條件 $p=.1r$ 的向量。加上其他資訊，該物種的全球總人口是 $p+r=110\,000$，我們發現穩定狀態是 $p=10,000$ 和 $r=100,000$。

如果我們從一個擁有 10,000 只動物的公園人口開始，這樣世界上其他地方就有 100,000 只動物，那麼每年 10%（1,000 只動物）的公園內動物會離開公園，而每年 1%（1,000 只）的世界上其他地方的動物會進入公園。它是穩定的，自維持的。

現在想象一下，我們正在嘗試逐漸增加該物種的全球總人口。例如，我們可以嘗試讓全球人口以每年 1% 的速度增長。在這種情況下，我們可以將公園人口的“穩定”狀態定義為它也以每年 1% 的速度增長。方程式 ${\vec {v}}_{n+1}=1.01\cdot {\vec {v}}_{n}=T{\vec {v}}_{n}$ 將導致 $((1.01\cdot I)-T){\vec {v}}={\vec {0}}$，這給出了這個系統。

${\begin{pmatrix}.11&-.01\\-.10&.02\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p\\r\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

該矩陣是非奇異的，因此唯一解是 $p=0$ 和 $r=0$。因此，沒有（可用的）初始種群我們可以建立在公園裡，並期望它能與世界其他地方以相同的速度增長。

既然知道每年 1% 的全球人口增長率會導致公園種群不穩定，我們可以問哪些增長率可以允許公園的初始種群自維持。我們考慮 $\lambda {\vec {v}}=T{\vec {v}}$ 並求解 $\lambda$。

$0={\begin{vmatrix}\lambda -.9&-.01\\-.10&\lambda -.99\end{vmatrix}}=(\lambda -.9)(\lambda -.99)-(.10)(.01)=\lambda ^{2}-1.89\lambda +.89$

對該二次方程進行因式分解的一個捷徑是，我們知道$\lambda =1$ 是 $T$ 的一個特徵值，因此另一個特徵值是 $.89$。因此，有兩種方法可以使公園人口保持穩定（即，儘管公園邊界存在洩漏，但人口增長速度與世界其他地區人口相同）：一種是世界人口不增長也不減少，另一種是世界人口每年減少 11%。

所以，這是特徵值和特徵向量的一種含義——它們為系統提供了穩定的狀態。如果特徵值為 $1$，則系統是靜態的。如果特徵值不為 $1$，則系統要麼增長要麼減少，但以動態穩定的方式。

練習

問題 1

如果允許世界人口每年減少 11%，那麼上述公園應該建立什麼樣的初始人口？

問題 2

如果世界人口每年增長 1%，公園人口會發生什麼？會落後於世界增長，還是領先於世界增長？假設公園人口為一萬，世界人口為十萬，並計算十年時間跨度內的變化。

問題 3

上述公園部分圍欄，現在每年只有 5% 的動物從公園內離開（仍然大約有 1% 的動物從公園外進入）。在什麼條件下公園現在可以維持穩定的人口？

問題 4

假設一種鳥類只生活在加拿大、美國或墨西哥。每年有 4% 的加拿大鳥類遷徙到美國，1% 的加拿大鳥類遷徙到墨西哥。每年有 6% 的美國鳥類遷徙到加拿大，4% 的美國鳥類遷徙到墨西哥。從墨西哥每年有 10% 的鳥類遷徙到美國，0% 的鳥類遷徙到加拿大。

1. 給出轉移矩陣。
2. 這三個國家有沒有可能保持人口穩定？
3. 找出所有穩定的情況。

解決方案