線性代數/主題：冪法/解

解

問題 1

從具有$1$ 和 $2$ 分量的向量開始，使用十次迭代來估計這些矩陣的最大特徵值。將結果與透過求解特徵方程得到的特徵值進行比較。

1. ${\begin{pmatrix}1&5\\0&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}3&2\\-1&0\end{pmatrix}}$

答案

1. 最大特徵值為 $4$.
2. 最大特徵值為 $2$.

問題 2

透過迭代直到 $|{\vec {v}}_{k}|-|{\vec {v}}_{k-1}|$ 的絕對值小於 $0.01$ 來重新執行前面的練習。在每一步，透過向量長度除以每個向量來歸一化。需要多少次迭代？答案是否顯著不同？

問題 3

從具有 $1$，$2$ 和 $3$ 分量的向量開始，使用十次迭代來估計這些矩陣的最大特徵值。將結果與透過求解特徵方程得到的特徵值進行比較。

1. ${\begin{pmatrix}4&0&1\\-2&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-1&2&2\\2&2&2\\-3&-6&-6\end{pmatrix}}$

答案

1. 最大特徵值為 $3$.
2. 最大特徵值為 $-3$.

問題 4

透過迭代直到 $|{\vec {v}}_{k}|-|{\vec {v}}_{k-1}|$ 的絕對值小於 $0.01$ 來重做前面的練習。在每一步中，透過將每個向量除以它的長度來進行歸一化。需要多少次迭代？答案有顯著不同嗎？

問題 5

如果 $c_{1}=0$ 會發生什麼？也就是說，如果初始向量在相關特徵向量方向上沒有分量，會發生什麼？

答案

理論上，這種方法會產生 $\lambda _{2}$。然而，在實踐中，計算中的舍入誤差會在 ${\vec {v}}_{1}$ 方向上引入分量，因此該方法仍然會產生 $\lambda _{1}$，儘管可能比使用更幸運的初始向量選擇的迭代次數要多一些。

問題 6

如何採用冪法來尋找最小特徵值？

答案

不要使用 ${\vec {v}}_{k}=T{\vec {v}}_{k-1}$，而是使用 $T^{-1}{\vec {v}}_{k}={\vec {v}}_{k-1}$。