線性代數/向量空間

第一章首先介紹了高斯方法，並透過對線性組合引理的理解，最終解釋了高斯方法如何找到線性方程組的解集。高斯方法系統地對行進行線性組合。有了這些見解，我們現在將轉向對線性組合的一般研究。

我們需要一個研究的背景。在第一章中，我們有時會將向量從$\mathbb {R} ^{2}$ 組合起來，有時從$\mathbb {R} ^{3}$ 組合起來，有時甚至從更高維的空間組合起來。因此，我們最初的衝動可能是要在$\mathbb {R} ^{n}$ 中工作，將$n$ 保持未指定。這樣做的優點是，任何結果都適用於$\mathbb {R} ^{2}$ 和$\mathbb {R} ^{3}$ 以及許多其他空間，同時適用於。

但是，如果結果適用於許多空間是一件好事，那麼僅僅侷限於$\mathbb {R} ^{n}$ 的集合，則過於限制了。我們希望結果也適用於行向量的組合，就像第一章的最後一節中一樣。我們甚至看到了一些空間，它們不僅僅是所有相同大小的列向量或行向量的集合。例如，我們看到了齊次方程組的解集是一個平面，它位於$\mathbb {R} ^{3}$ 內部。這個解集是一個封閉的系統，因為這些解的線性組合也是一個解。但它不僅僅是所有三維列向量的集合；只有一部分列向量在這個解集中。

我們希望關於線性組合的結果適用於任何可以進行線性組合的地方。我們將任何這樣的集合稱為**向量空間**。我們的結果，而不是被表述為“只要我們有一個可以合理地進行線性組合的集合……”，而是將被表述為“在任何向量空間中……”。

這樣的表述一次性描述了在許多空間中發生的事情。從一次研究一個空間到研究一類空間的抽象程度的提升可能很難。要理解它的優勢，可以考慮這個比喻。想象一下政府一次制定一個人的法律：“萊斯利·瓊斯不能亂穿馬路。”這是一個糟糕的主意；當語句同時適用於許多情況時，它具有簡潔的優點。或者，假設他們規定：“金·科在經過事故現場時必須停車。”與“任何醫生在經過事故現場時必須停車”形成對比。更一般的語句，在某種程度上，更清晰。