線性代數/向量空間和線性系統/解

解

問題 1

轉置每個。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&4&3\\6&7&8\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}-1&-2\end{pmatrix}}$

答案

1. ${\begin{pmatrix}2&3\\1&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&6\\4&7\\3&8\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}}$

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問題 2

確定向量是否在矩陣的行空間內。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1&3\\-1&0&1\\-1&2&7\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}}$

答案

1. 是的。要檢視是否存在$c_{1}$ 和 $c_{2}$ 使得 $c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}3&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}$，我們求解

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&3c_{2}&=&1\\c_{1}&+&c_{2}&=&0\end{array}}$

   並得到$c_{1}=-1$ 和 $c_{2}=1$。因此，該向量在行空間內。
2. 否。等式 $c_{1}{\begin{pmatrix}0&1&3\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1&0&1\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}-1&2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}}$ 無解。

   $\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}0&-1&-1&1\\1&0&2&1\\3&1&7&1\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&2&1\\0&-1&-1&1\\0&0&0&-1\end{array}}\right)$

   因此，該向量不在行空間內。

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問題 3

判斷該向量是否在列空間內。

1. ${\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&3&1\\2&0&4\\1&-3&-3\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

答案

1. 不。為了檢視是否具有 $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ 使得

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$

   我們可以使用高斯消元法來求解所得線性方程組。

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&1\\c_{1}&+&c_{2}&=&3\end{array}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&1\\&&0&=&2\end{array}}$

   不存在解，因此該向量不在列空間中。
2. 是。從這種關係

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

   我們得到一個線性方程組，對其應用高斯消元法後，

   $\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&3&1&1\\2&0&4&0\\1&-3&-3&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&3&1&1\\0&-6&2&-2\\0&0&-6&1\end{array}}\right)$

   可得出解。因此，該向量位於列空間中。

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問題 4

求該矩陣的行空間的一組基。

${\begin{pmatrix}2&0&3&4\\0&1&1&-1\\3&1&0&2\\1&0&-4&-1\end{pmatrix}}$

答案

使用高斯消元法

${\begin{pmatrix}2&0&3&4\\0&1&1&-1\\3&1&0&2\\1&0&-4&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{4}}]{-(3/2)\rho _{1}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{3}+\rho _{4}}}{\begin{pmatrix}2&0&3&4\\0&1&1&-1\\0&0&-11/2&-3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

表明該矩陣的基為 $\langle {\begin{pmatrix}2&0&3&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&-11/2&-3\end{pmatrix}}\rangle$.

另一種或許更方便的操作是先交換行

${\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{4}}}\;{\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{4}}]{-3\rho _{1}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{3}+\rho _{4}}}{\begin{pmatrix}1&0&-4&-1\\0&1&1&-1\\0&0&11&6\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

得到基為 $\langle {\begin{pmatrix}1&0&-4&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&11&6\end{pmatrix}}\rangle$.

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問題 5

求每個矩陣的秩。

1. ${\begin{pmatrix}2&1&3\\1&-1&2\\1&0&3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&-1&2\\3&-3&6\\-2&2&-4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&3&2\\5&1&1\\6&4&3\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

答案

1. 此簡化過程

   ${\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(1/3)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}2&1&3\\0&-3/2&1/2\\0&0&4/3\end{pmatrix}}$

   表明行秩，因此秩為3。
2. 觀察列可以發現，其他列都是第一列的倍數（觀察行也能得出相同結論）。因此秩為1。或者，簡化過程

   ${\begin{pmatrix}1&-1&2\\3&-3&6\\-2&2&-4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{2\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   也表明了相同結論。
3. 此計算

   ${\begin{pmatrix}1&3&2\\5&1&1\\6&4&3\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-6\rho _{1}+\rho _{3}}]{-5\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&3&2\\0&-14&-9\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   表明秩為2。
4. 秩為0。

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問題6

為每個集合的生成空間找到一個基。

1. $\{{\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}}\}\subseteq {\mathcal {M}}_{1\!\times \!2}$
2. $\{{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}}\}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$
3. $\{1+x,1-x^{2},3+2x-x^{2}\}\subseteq {\mathcal {P}}_{3}$
4. $\{{\begin{pmatrix}1&0&1\\3&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&3\\2&1&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&0&-5\\-1&-1&-9\end{pmatrix}}\}\subseteq {\mathcal {M}}_{2\!\times \!3}$

答案

1. 此簡化過程

   ${\begin{pmatrix}1&3\\-1&3\\1&4\\2&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle -\rho _{1}+\rho _{3}\\[-5pt]\scriptstyle -2\rho _{1}+\rho _{4}\end{array}}]{\rho _{1}+\rho _{2}}}{\xrightarrow[{(5/6)\rho _{2}+\rho _{4}}]{-(1/6)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&3\\0&6\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

   給出 $\langle {\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&6\end{pmatrix}}\rangle$.
2. 轉置並簡化

   ${\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&-1\\1&-3&-3\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2&1\\0&-5&-4\\0&-5&-4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&2&1\\0&-5&-4\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   然後將轉置回來得到這個基底。

   $\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-5\\-4\end{pmatrix}}\rangle$

3. 首先注意到周圍的空間被給出為 ${\mathcal {P}}_{3}$，而不是 ${\mathcal {P}}_{2}$。然後，將第一個多項式 $1+1\cdot x+0\cdot x^{2}+0\cdot x^{3}$ 視為與行向量 ${\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}}$ "相同"，等等，導致

   ${\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&0&-1&0\\3&2&-1&0\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&-1&-1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

   這將產生基底$\langle 1+x,-x-x^{2}\rangle$.
4. 這裡“相同”給出

   ${\begin{pmatrix}1&0&1&3&1&-1\\1&0&3&2&1&4\\-1&0&-5&-1&-1&-9\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&0&1&3&1&-1\\0&0&2&-1&0&5\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

   導致這個基底。

   $\langle {\begin{pmatrix}1&0&1\\3&1&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&2\\-1&0&5\end{pmatrix}}\rangle$

問題 7

哪些矩陣的秩為零？秩為一？

答案

只有零矩陣的秩為零。秩為一的矩陣只有以下形式

${\begin{pmatrix}k_{1}\cdot \rho \\\vdots \\k_{m}\cdot \rho \end{pmatrix}}$

其中$\rho$ 是一個非零行向量，並且不是所有的$k_{i}$ 都為零。（備註：我們不能簡單地說所有行都是第一行的倍數，因為第一行可能是零行。另一個備註：上面的結論同樣適用於用“列”替換“行”。）

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問題 8

給定$a,b,c\in \mathbb {R}$，如何選擇$d$ 使該矩陣的秩為一？

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

答案

如果 $a\neq 0$，那麼選擇 $d=(c/a)b$ 將使第二行成為第一行的倍數，具體來說，是第一行的 $c/a$ 倍。如果 $a=0$ 且 $b=0$，那麼任何非 $0$ 的 $d$ 選擇將確保第二行非零。如果 $a=0$ 且 $b\neq 0$ 且 $c=0$，那麼任何 $d$ 的選擇都可以，因為矩陣將自動具有秩一（即使選擇 $d=0$）。最後，如果 $a=0$ 且 $b\neq 0$ 且 $c\neq 0$，那麼任何 $d$ 的選擇都不夠，因為矩陣肯定具有秩二。

問題 9

求該矩陣的列秩。

${\begin{pmatrix}1&3&-1&5&0&4\\2&0&1&0&4&1\end{pmatrix}}$

答案

該矩陣的列秩為二。透過觀察可以看出，列空間由兩行高的列組成，因此可以具有至少為二的維數，並且我們可以很容易地找到兩個一起構成線性無關集的列（例如，第四列和第五列）。另一種方法是回想一下列秩等於行秩，並執行高斯消元法，這將留下兩行非零行。

問題 10

證明一個至少有一個解的線性方程組當且僅當係數矩陣的秩等於其列數時，該方程組至多隻有一個解。

答案

我們應用定理 3.13。線性系統係數矩陣$A$的列數等於未知數的個數$n$。當且僅當相關聯的齊次系統的解空間的維數為零時，至少有一個解的線性系統最多隻有一個解（回憶：“${\text{General}}={\text{Particular}}+{\text{Homogeneous}}$"方程${\vec {v}}={\vec {p}}+{\vec {h}}$，前提是存在這樣一個${\vec {p}}$，解${\vec {v}}$是唯一的當且僅當向量${\vec {h}}$是唯一的，即${\vec {h}}={\vec {0}}$）。但根據定理，這意味著$n=r$。

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問題 11

如果矩陣是$5\!\times \!9$，哪一組必須是線性相關的，是它的行集還是它的列集？

答案

列集必須是線性相關的，因為矩陣的秩最多為 5，而有 9 列。

問題 12

舉一個例子說明，儘管具有相同的維數，但矩陣的行空間和列空間不一定相等。它們何時相等？

答案

它們幾乎不可能相等，因為行空間是行向量的集合，而列空間是列向量的集合（除非矩陣是$1\!\times \!1$，在這種情況下，這兩個空間必須相等）。

備註。 考慮

$A={\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}}$

並注意，行空間是${\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}$的所有倍數的集合，而列空間由

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$的倍陣列成

因此我們也不能說這兩個空間僅僅是對方的轉置。

問題 13

證明集合$\{(1,-1,2,-3),(1,1,2,0),(3,-1,6,-6)\}$的生成空間與$\{(1,0,1,0),(0,2,0,3)\}$的生成空間不同。順便說一句，向量空間是什麼？

答案

首先，向量空間是實數四元組的集合，在自然運算下。雖然這並不是四維行向量的集合，但區別很小——它與該集合“相同”。所以我們將四元組視為四維向量。

這樣，我們可以看到 $(1,0,1,0)$ 不在第一組的跨度內的一種方法是注意到這種簡化

${\begin{pmatrix}1&-1&2&-3\\1&1&2&0\\3&-1&6&-6\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&-1&2&-3\\0&2&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

以及這個

${\begin{pmatrix}1&-1&2&-3\\1&1&2&0\\3&-1&6&-6\\1&0&1&0\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle -3\rho _{1}+\rho _{3}\\[-5pt]\scriptstyle -\rho _{1}+\rho _{4}\end{array}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{2}+\rho _{4}}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{3}\leftrightarrow \rho _{4}}}{\begin{pmatrix}1&-1&2&-3\\0&2&0&3\\0&0&-1&3/2\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

生成秩不同的矩陣。這意味著新增 $(1,0,1,0)$ 到前三個四元組的集合中會增加該集合的秩，因此也增加了該集合的跨度。因此 $(1,0,1,0)$ 不在跨度內。

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問題 14

證明這組列向量

$\left\{{\begin{pmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\text{there are }}x,y,{\text{ and }}z{\text{ such that }}{\begin{array}{*{3}{rc}r}3x&+&2y&+&4z&=&d_{1}\\x&&&-&z&=&d_{2}\\2x&+&2y&+&5z&=&d_{3}\end{array}}\right\}$

是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的一個子空間。求一個基。

答案

它是一個子空間，因為它是一個矩陣的列空間。

${\begin{pmatrix}3&2&4\\1&0&-1\\2&2&5\end{pmatrix}}$

係數矩陣。為了找到列空間的一個基，

$\{c_{1}{\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{1},c_{2},c_{3}\in \mathbb {R} \}$

我們取生成集中的三個向量，轉置，化簡，

${\begin{pmatrix}3&1&2\\2&0&2\\4&-1&5\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{-(4/3)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(2/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(7/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}3&1&2\\0&-2/3&2/3\\0&0&0\end{pmatrix}}$

然後轉置回來，得到這個。

$\langle {\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-2/3\\2/3\end{pmatrix}}\rangle$

問題 15

證明轉置運算為 **線性**

${{(rA+sB)}^{\rm {trans}}}=r{{A}^{\rm {trans}}}+s{{B}^{\rm {trans}}}$

對於 $r,s\in \mathbb {R}$ 以及 $A,B\in {\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$.

答案

這可以透過簡單的計算來完成。

${\begin{array}{rl}{{(rA+sB)}^{\rm {trans}}}&={{\begin{pmatrix}ra_{1,1}+sb_{1,1}&\ldots &ra_{1,n}+sb_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\ra_{m,1}+sb_{m,1}&\ldots &ra_{m,n}+sb_{m,n}\end{pmatrix}}^{\rm {trans}}}\\&={\begin{pmatrix}ra_{1,1}+sb_{1,1}&\ldots &ra_{m,1}+sb_{m,1}\\\vdots \\ra_{1,n}+sb_{1,n}&\ldots &ra_{m,n}+sb_{m,n}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}ra_{1,1}&\ldots &ra_{m,1}\\\vdots \\ra_{1,n}&\ldots &ra_{m,n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}sb_{1,1}&\ldots &sb_{m,1}\\\vdots \\sb_{1,n}&\ldots &sb_{m,n}\end{pmatrix}}\\&=r{{A}^{\rm {trans}}}+s{{B}^{\rm {trans}}}\end{array}}$

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問題 16

在本節中，我們證明了高斯消元法可以找到行空間的基。

1. 證明這個基不唯一——不同的消元可能得到不同的基。
2. 構造行空間相同但行數不同的矩陣。
3. 證明兩個矩陣的行空間相同當且僅當它們經高斯-約當消元后具有相同的非零行。

答案

1. 這些消元得到不同的基。

   ${\begin{pmatrix}1&2&0\\1&2&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2&0\\1&2&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}}$

2. 一個簡單的例子如下所示。

   ${\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&4\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&4\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   這是一個不太簡單的例子。

   ${\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&4\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2&1\\3&1&4\\2&4&2\\4&3&5\end{pmatrix}}$

3. 假設 $A$ 和 $B$ 是行空間相等的矩陣。構造一個矩陣 $C$，其行向量為 $A$ 的行向量在 $B$ 的行向量之上，以及另一個矩陣 $D$，其行向量為 $B$ 的行向量在 $A$ 的行向量之上。

   $C={\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}\qquad D={\begin{pmatrix}B\\A\end{pmatrix}}$

   觀察 $C$ 和 $D$ 是行等價的（透過一系列行交換），因此它們被高斯-若爾當消元到相同的簡化階梯形矩陣。由於行空間相等，$B$ 的行是 $A$ 的行的線性組合，所以對 $C$ 進行高斯-若爾當消元只是將 $B$ 的行變成零行，因此 $C$ 的非零行只是透過對 $A$ 進行高斯-若爾當消元得到的非零行。矩陣 $D$ 也是如此——對 $D$ 進行高斯-若爾當消元會給出與單獨對 $B$ 進行消元相同的非零行。因此，$A$ 產生與 $C$ 相同的非零行，$C$ 產生與 $D$ 相同的非零行，$D$ 產生與 $B$ 相同的非零行。

問題 17

為什麼當 $r$ 大於 $n$ 時，註記 3.14 不會出現問題？

答案

它不可能更大。

問題 18

證明一個 $m\!\times \!n$ 矩陣的行秩最多為 $m$。是否有更好的界限？

答案

最大線性無關集合中的行數不能超過行數。一個更好的界限（通常是最好的界限）是 $m$ 和 $n$ 的最小值，因為行秩等於列秩。

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問題 19

證明矩陣的秩等於其轉置的秩。

答案

因為矩陣 $A$ 的行變成了 ${{A}^{\rm {trans}}}$ 的列，所以 $A$ 的行空間的維數等於 ${{A}^{\rm {trans}}}$ 的列空間的維數。但 $A$ 的行空間的維數是 $A$ 的秩，而 ${{A}^{\rm {trans}}}$ 的列空間的維數是 ${{A}^{\rm {trans}}}$ 的秩。因此這兩個秩相等。

問題 20

判斷對錯：矩陣的列空間等於其轉置矩陣的行空間。

答案

錯誤。前者是一組列，而後者是一組行。

然而，這個例子：

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}},\qquad {{A}^{\rm {trans}}}={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}}$

表明一旦我們對“相同”有了正式的定義，我們就可以將其應用於此。

$\mathop {\text{Columnspace}} (A)=[\{{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}\}]$

而

$\mathop {\mbox{Rowspace}} ({{A}^{\rm {trans}}})=[\{{\begin{pmatrix}1&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3&6\end{pmatrix}}\}]$

是“相同的”。

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問題 21

我們已經看到，行操作可能會改變列空間。它必須這樣做嗎？

答案

不。在這裡，高斯消元法不會改變列空間。

${\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

問題 22

證明一個線性系統有解當且僅當該系統的係數矩陣與其增廣矩陣具有相同的秩。

答案

一個線性系統

$c_{1}{\vec {a}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {a}}_{n}={\vec {d}}$

有解當且僅當 ${\vec {d}}$ 在集合 $\{{\vec {a}}_{1},\dots ,{\vec {a}}_{n}\}$ 的線性組合中。這等價於增廣矩陣的列秩等於係數矩陣的列秩。由於秩等於列秩，因此該系統有解當且僅當其增廣矩陣的秩等於其係數矩陣的秩。

問題 23

一個 $m\!\times \!n$ 矩陣如果其行秩為 $m$，則稱該矩陣具有滿行秩；如果其列秩為 $n$，則稱該矩陣具有滿列秩。

1. 證明一個矩陣只有在它是方陣的情況下才能同時具有滿行秩和滿列秩。
2. 證明係數矩陣為 $A$ 的線性系統對於右邊任何 $d_{1}$，..., $d_{m}$ 有解當且僅當 $A$ 具有滿行秩。
3. 證明齊次線性系統有唯一解當且僅當其係數矩陣 $A$ 具有滿列秩。
4. 證明語句“如果一個係數矩陣為 $A$ 的系統有解，那麼它有唯一解”成立當且僅當 $A$ 具有滿列秩。

答案

1. 行秩等於列秩，因此兩者最多等於行數和列數的最小值。因此，只有當行數等於列數時，兩者才能同時為滿秩。（當然，反過來不成立：一個方陣不一定具有滿行秩或滿列秩。）
2. 如果 $A$ 的行滿秩，那麼無論右側是什麼，對增廣矩陣使用高斯消元法最終會在每一行都得到一個主元，並且這些主元都不會出現在最右側的列（即“增廣”列）中。然後，回代即可得到解。另一方面，如果線性系統對於某些右側沒有解，則這隻能是因為高斯消元法使得某些行在“增廣”條的左側全為零，而在右側有一個非零項。因此，如果 $A$ 對於某些右側沒有解，那麼 $A$ 不具有行滿秩，因為其中的一些行已被消去。
3. 矩陣 $A$ 的列滿秩當且僅當它的列構成一個線性無關集。這等價於只存在平凡線性關係。
4. 矩陣 $A$ 的列滿秩當且僅當它的列集線性無關，因此構成它的張成的基。這等價於在該張成中所有向量都存在唯一的線性表示。

問題 24

如果高斯消元法允許將一行乘以零，那麼 引理 3.3 的結論會發生什麼變化？

答案

行空間不再相同，$B$ 的行空間將是（可能等於）$A$ 的行空間的子空間。

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問題 25

$\mathop {\mbox{rank}} (A)$ 和 $\mathop {\mbox{rank}} (-A)$ 之間有什麼關係？$\mathop {\mbox{rank}} (A)$ 和 $\mathop {\mbox{rank}} (kA)$ 之間有什麼關係？$\mathop {\mbox{rank}} (A)$、$\mathop {\mbox{rank}} (B)$ 和 $\mathop {\mbox{rank}} (A+B)$ 之間有什麼關係？

答案

很明顯，$\mathop {\mbox{rank}} (A)=\mathop {\mbox{rank}} (-A)$，因為高斯消元法允許我們將矩陣的所有行乘以$-1$。同樣，當$k\neq 0$ 時，我們有$\mathop {\mbox{rank}} (A)=\mathop {\mbox{rank}} (kA)$。

加法更有趣。和的秩可以小於被加數的秩。

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1&-2\\-3&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

和的秩可以大於被加數的秩。

${\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

但存在一個上限（除了矩陣的大小）。一般情況下，$\mathop {\mbox{rank}} (A+B)\leq \mathop {\mbox{rank}} (A)+\mathop {\mbox{rank}} (B)$。

為了證明這一點，請注意，對$A+B$ 進行高斯消元可以透過兩種方式進行：我們可以先將$A$ 加到$B$ 上，然後應用適當的降階步驟

$(A+B)\;{\xrightarrow[{}]{{\text{step}}_{1}}}\;\cdots \;{\xrightarrow[{}]{{\text{step}}_{k}}}\;{\text{echelon form}}$

或者，我們可以透過對 ${\text{step}}_{1}$ 到 ${\text{step}}_{k}$ 分別在 $A$ 和 $B$ 上進行，然後相加。在這種情況下，我們可以得到的最大秩顯然是秩的總和。（上面的矩陣給出了兩種可能性的示例，$\mathop {\mbox{rank}} (A+B)<\mathop {\mbox{rank}} (A)+\mathop {\mbox{rank}} (B)$ 和 $\mathop {\mbox{rank}} (A+B)=\mathop {\mbox{rank}} (A)+\mathop {\mbox{rank}} (B)$，都會發生。）