環上的線性代數/有限生成自由模的鏈復形

命題（在 Bézout 域上的有限生成自由模的每個鏈復形都是其子復形的直接和，每個子復形最多有兩個非零項）:

設

\cdots {\overset {\partial }{\longrightarrow }}C_{n+1}{\overset {\partial }{\longrightarrow }}C_{n}{\overset {\partial }{\longrightarrow }}C_{n-1}{\overset {\partial }{\longrightarrow }}\cdots

是一個物件為 Bézout 域 $R$ 上的有限生成自由模的鏈復形。那麼這個鏈復形是以下形式的鏈復形的可數直和

\cdots \longrightarrow 0\longrightarrow 0\longrightarrow L_{n+1}\longrightarrow R_{n}\longrightarrow 0\longrightarrow 0\longrightarrow \cdots

,

其中 $L_{n+1}\leq C_{n+1}$ 且 $R_{n}\leq C_{n}$ .

（關於可數選擇條件。）

證明：我們將構造一個直和分解

C_{n}=L_{n}\oplus R_{n}

,

其中 $R_{n}=\ker \partial$ 。一旦完成了這一點，實際上我們就得到了初始鏈復形的直和分解，因為 $R_{n}$ 的元素被 $\partial$ 對映到零，而 $L_{n}$ 的元素被對映到 $R_{n-1}$ ，這是由於鏈復形條件 $\partial \circ \partial =0$ 。

為了實現這種分解，我們呼叫Bézout 域上的 Dedekind 定理，它告訴我們 $\operatorname {im} \partial \leq C_{n-1}$ 是有限生成的且自由的；實際上，它是有限生成的，因為生成集由 $\partial$ ）的 $C_{n}$ 的生成集的影像給出。因此，設 $b_{1},\ldots ,b_{n}$ 是 $\operatorname {im} \partial \leq C_{n-1}$ 的基。對於每個 $j\in \{1,\ldots ,n\}$ ，我們選擇一個任意的，但固定的 $a_{j}\in \partial ^{-1}(b_{j})$ ，然後我們定義 $L_{n}:=\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$ 。這產生了我們想要的直和分解。實際上， $L_{n}\cap R_{n}=\{0\}$ ，因為每當