環上的線性代數/自由模和矩陣

定義（自由模）:

令 $R$ 是一個環，令 $S$ 是一個任意集合。那麼，**關於 $S$ 的 $R$-自由模**，記為 $R\langle S\rangle$，被定義為 $R$-模，其元素是函式

$f:S\to R$

它們在 $S$ 上除了有限個元素外，在其他所有地方都為零，並具有逐點加法和標量乘法。

命題（自由模的基）:

令 $R$ 是一個環，令 $S$ 是一個集合。那麼，關於 $s$ 的 $R$-自由模的基由以下函式給出：

$f_{s}:S\to R,f(t):={\begin{cases}1&t=s\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

為了方便，我們將寫 $s$ 而不是 $f_{s}$。因此，以上命題意味著我們可以將元素 $m\in R\langle S\rangle$ 表示為一個和

$m=\sum _{s\in S}a_{s}s$,

其中只有有限個 $a_{s}$ 不為零。

證明：令 $f:S\to R$ 是一個在除了有限個項外所有地方都為零的函式，令 $s_{1},\ldots ,s_{n}=\{s\in S|f(s)\neq 0\}$。那麼，我們有

$f=\sum _{k=1}^{n}f(s_{k})s_{k}$. $\Box$