環上的線性代數/同態與對偶模

命題（交換環上模同態乘以環元素是模同態）:

令 $M,N$ 為交換環 $R$ 上的模。令 $\phi :M\to N$ 為 $R$-模的同態，令 $r\in R$。那麼函式

$rf:M\to N,(rf)(m):=rf(m)$

也是一個 $R$-模態射。

證明： 令 $s\in R$ 和 $m,n\in M$。那麼 $(rf)(m+n)=(rf)(m)+(rf)(n)$ 並且由於 $R$ 是交換的，也有 $(rf)(sm)=rsf(m)=s(rf)(m)$。 $\Box$

定義（同態模）:

令 $R$ 為交換環

定義（對偶）:

設 $R$ 為交換環，設 $M$ 為 $R$-模。然後 $\operatorname {Hom} _{R}(M,R)$ 有一個由加法和逐點乘法給出的模結構（因為環上的模範疇是加性的，並且所隱含的加法與逐點乘法相容，在 $\operatorname {Hom} _{R}(M,R)$ 閉合 下），並且這個模，簡記為 $M^{*}$，稱為 $M$ 的 **對偶**。

命題（模範疇是阿貝爾範疇）:

設 $R$ 為環。那麼左 $R$-模的範疇 $R-{\textbf {Mod}}$ 是阿貝爾範疇。同樣，右 $R$-模的範疇 ${\textbf {Mod}}-R$ 是阿貝爾範疇。

證明: 已經處理了核和餘核的存在性，二元雙積的存在性也是如此，因為在這種情況下，積和和在這個範疇中重合。此外，諾特同構定理成立。那麼，這個範疇是加性的。實際上，上面所指示的同態群上的求和正是範疇意義上的加法。 $\Box$