環上的線性代數/模與線性函式

定義 (模):

設 $R$ 是一個環。左 $R$-模 是一個阿貝爾群 $(M,+)$ 以及一個函式 $R\times M\to M$，用並置表示，滿足以下公理，對於所有 $r,s\in R$ 和 $m,n\in M$

1. $1m=m$
2. $(r+s)m=rm+sm$
3. $r(sm)=(rs)m$
4. $r(m+n)=rm+rn$

定義 (齊次):

設 $M$，$N$ 是環 $R$ 上的左模。一個函式 $f:M\to N$ 稱為齊次當且僅當對於所有 $r\in R$ 和 $m\in N$，恆等式

$f(rm)=rf(m)$

成立。

定義 (線性):

令 $M$，$N$ 是環 $R$ 上的左模。函式 $f:M\to N$ 稱為線性 當且僅當它既是齊次的又是從 $M$ 到 $N$ 的阿貝爾群同態。

定理（第一同構定理）:

令 $M$ 和 $N$ 是環 $R$ 上的左模。令 $\varphi :M\to N$ 是線性函式。那麼

$M/\ker \varphi \cong \operatorname {im} \varphi$.

證明：   $\Box$

練習

1. 證明對於左 $R$-模之間的函式 $f:M\to N$，以下等價
   1. $f$ 是線性的
   2. 對於所有 $m,n\in M$ 和 $r\in R$，我們有 $f(m+n)=f(m)+f(n)$ 和 $f(rm)=rf(m)$
   3. 對於所有 $m,n\in M$ 和 $r\in R$，我們有 $f(m+rn)=f(m)+rf(n)$
   4. 對於所有 $m,n\in M$ 和 $r,s\in R$，我們有 $f(rm+sn)=rf(m)+sf(n)$