環上的線性代數/多線性代數

定義（多線性函式）:

設$R$ 為一個環，並設$M_{1},\ldots ,M_{n},K$ 為$R$-模。則從$M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ 到$K$ 的$R$-多線性函式 的集合是

$L(M_{1},\ldots ,M_{n},K):=\left\{f:M_{1}\times M_{n}\to K|\forall j\in [n]:\forall m_{1}\in M_{1},\ldots ,m_{n}\in M_{n},l_{j}\in M_{j},r\in R:f(m_{1},\ldots ,m_{j}+rl_{j},\ldots ,\right\}$.

命題（使用多線性函式的自由模張量積的等價定義）:

設$R$ 為一個環，並設$M_{1},\ldots ,M_{n}$ 為自由的、有限生成的$R$-模。那麼，如果我們另行定義

$M_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes M_{n}^{*}:=L(M_{1},\ldots ,M_{n},R)$,

並設基本張量為$m_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes m_{n}^{*}(l_{1},\ldots ,l_{n}):=m_{1}^{*}(l_{1})\cdots m_{n}^{*}(l_{n})$，則根據此定義得到的$M_{1}\otimes M_{n}$滿足與通常的張量積$M_{1}\otimes \cdots \otimes M_{n}$相同的泛性質。特別地，這兩個張量積是自然同構的。

證明：對於$j\in [n]$，設$(e_{\lambda }^{j})_{\lambda \in \Lambda _{j}}$是$M_{j}$的一個基，其中$\Lambda _{j}$是相應的有限指標集。給定任意$R$-模$K$和任意多線性對映$f:M_{1}\times \cdots \times M_{n}\to K$，我們想要一個唯一的線性函式$g:M_{1}\otimes \cdots \otimes M_{n}\to K$，使得$g\circ h=f$，其中$h:M_{1}\times \cdots \times M_{n}\to M_{1}^{*}\otimes \cdots \otimes M_{n}^{*}$是將元組對映到相應基本張量的對映。 $\Box$