環上的線性代數/投影和內射模

定理（巴爾判據）:

在交換環 $R$ 上的模 $M$ 是內射的當且僅當對於每個理想 $I\leq R$ ，每個 $R$ -模同態 $\varphi :I\to M$ 可以擴充套件到一個 $R$ -模同態 $\Phi :R\to M$ ，即擴充套件到一個滿足 $\Phi \upharpoonright _{I}=\varphi$ 的同態 $\Phi :R\to M$ 。

（在選擇公理的條件下。）

證明： “當且僅當”部分根據單射的定義是顯而易見的。反之，假設 $M$ 滿足定理陳述中描述的擴張性質。現在令 $K,L$ 為 $R$ -模，令 $\psi :K\to M$ 為同態，令 $\iota :K\to L$ 為單射。根據單射模的定義，我們必須證明存在一個同態 $\Psi :L\to M$ 滿足 $\Psi \circ \iota =\psi$ ，即擴充套件 $\psi$ 關於包含 $\iota :K\to L$ ，正如代數學家所說的。現在像 $\operatorname {Im} \iota :=L'$ 的像，它是 $L$ 的一個子模，它與 $K$ 同構，透過 $\iota$ 的單射，因此 $\iota$ 的逆與 $\psi$ 的前合成產生從 $L'$ 到 $M$ 的同態。現在我們用如下順序對所有這個同構的擴張進行偏序， $\alpha \leq \beta$ 當且僅當

$\alpha$ 的定義域包含在 $\beta$ 的定義域內，並且
$\alpha$ 和 $\beta$ 在 $\alpha$ 的定義域上重合。

根據 Zorn 引理，由於每個關於此序的鏈都有上界（即在各自定義域並集內為元素分配任何相應同態在該元素上的值），因此存在一個關於該序的最大同態 $\Psi$ 。我們斷言 $\Psi$ 在整個 $L$ 上都有定義。事實上，假設情況並非如此，我們可以選擇一個元素 $l\in L$ ，其中 $\Psi$ 未定義。令 $L''\leq L$ 為 $\Psi$ 的定義域，因此 $l\notin L''$ 。定義理想

I:=\{r\in R|rl\in L''\}

的 $R$ ；它可能為零理想。 $\Psi$ 在 $I$ 上定義，併產生 $I$ 上的一個同態。根據假設，此同態可以擴充套件到一個同態 $f:R\to M$ 。然後我們定義 $L''':=L''+\langle l\rangle$ ； $L$ 的一個子模，它嚴格大於 $L''$ ，因為它包含 $l$ 。在 $L'''$ 上，我們定義同態