MATLAB 程式設計/向量和矩陣/矩陣運算

基本矩陣運算

加法和減法

如果兩個矩陣的行數和列數相同，我們可以對它們進行加法和減法運算。

以下是一些示例

  >> a = [7,9,4;6,2,5]
  a =
     7     9     4
     6     2     5

  >> b=[2,0,1;4,7,3]
  b =
     2     0     1
     4     7     3

  >> % Addition of a and b matrices
  a+b
  ans =
     9     9     5
    10     9     8

  >> % Subtraction of a and b matrices
  a-b
  ans =
     5     9     3
     2    -5     2

矩陣乘法

對於矩陣乘法，有兩種方法可以進行運算。

(i) 矩陣乘法（使用符號*或mtimes）

要求是第一個矩陣的列數必須等於第二個矩陣的行數。

如右側示例所示，矩陣 A 有 3 X 2，矩陣 B 有 2 X 3

因此，2 X 3 <-> 3 X 2，因此滿足上述要求。

此外，請注意，結果矩陣的大小取決於第一個矩陣的行數與第二個矩陣的列數。

>> A=[4,2,4;8,3,1]

A =
     4     2     4
     8     3     1

>> B=[3,5;2,8;7,9]

B =
     3     5
     2     8
     7     9

>> mtimes(A,B)

ans =
    44    72
    37    73

>> A*B

ans =

    44    72
    37    73

以下示例顯示瞭如果矩陣維度不匹配會發生什麼。

如所示，矩陣 C 有 5 X 4，矩陣 D 有 3 X 2

5 X 4 <-> 3 X 2，因此無法滿足條件，也無法求解。

>> %Demonstrations what if matrices dimensions are incorrect 
>> C=randi(10,5,4)

C =

     2    10    10     3
     2    10     4     5
     3     5     2     1
     5     5     8     2
     1     4     4    10

>> D=randi(10,3,2)

D =

    10     3
     6     4
     1     9

>> mtimes(C,D)
Error using  * 
Incorrect dimensions for matrix multiplication. Check that the number of columns in the first
matrix matches the number of rows in the second matrix. To perform elementwise
multiplication, use '.*'.

(ii) 點積（注意：只有當兩個矩陣大小相同時才能使用）以上面的示例為例，它不能求解方程，因為上面的矩陣 A 和 B 大小不同

>> A.*B % want to show dot product unable to solve this multiplication issues
Matrix dimensions must agree.

建立隨機整數矩陣

要生成隨機整數矩陣，可以鍵入以下內容 randi(IMAX,M,N)
注意：IMAX 是最大整數（從 1 開始），M * N 是矩陣

以下是一些示例

>> randi(50,3,4)

ans =
     9    14    42    48
    36     3    35     2
     2     5    16    22

轉置

使用上面的矩陣，我們可以對矩陣進行轉置。轉置矩陣通常只是將行轉換為列，將列轉換為行。圖示只是演示了轉置操作。轉置矩陣的應用之一是密碼學。

有兩種方法可以實現它。一種是在要轉置的矩陣末尾新增 '，或者使用函式 transpose。

回到上面的幻方示例，我們將對其進行轉置。我們可以看到，它沿著對角線轉置看起來像這樣 : \

  >> % transpose matrix c to d
  >> d = c'
  d =
    17    23     4    10    11
    24     5     6    12    18
     1     7    13    19    25
     8    14    20    21     2
    15    16    22     3     9

行列式

矩陣的行列式是一個特殊的數字，它只針對方陣定義。
行列式用於求解線性方程組並確定矩陣的逆矩陣。

2X2 矩陣的行列式 : $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}*|A|=ad-bc$

3X3 矩陣的行列式 : $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}*|A|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$

>> A=[6,1,1;4,-2,5;2,8,7]

A =
     6     1     1
     4    -2     5
     2     8     7

>> det(A)
ans =
 -306.0000

逆矩陣

矩陣的逆矩陣是倒數矩陣，其公式表示為 ${A}^{-1}={\frac {1}{|A|}}adjA$
，其中 adj 代表矩陣的伴隨矩陣。

注意：並非所有矩陣都有逆矩陣，如果它們的行列式等於零。

>>%matrix inversion using manual method

>> M=[2,-1,3;-5,3,1;-3,2,3]

M =

     2    -1     3
    -5     3     1
    -3     2     3

>> %First we find the matrix determinant
>> DM = det(M)

DM =
   -1.0000

>>%Since determinant IS NOT equal to 0, we can find the matrix inverses

>> AM = adjoint(M)
AM =
    7.0000    9.0000  -10.0000
   12.0000   15.0000  -17.0000
   -1.0000   -1.0000    1.0000

>> (1/DM)*AM

ans =
   -7.0000   -9.0000   10.0000
  -12.0000  -15.0000   17.0000
    1.0000    1.0000   -1.0000

%shortcut using function inv which should be same as manual calculation above
>> inv(M)

ans =
   -7.0000   -9.0000   10.0000
  -12.0000  -15.0000   17.0000
    1.0000    1.0000   -1.0000

現實生活中的應用

矩陣有許多應用，例如

密碼學

矩陣用於加密訊息程式碼。程式設計師使用矩陣來對字母進行編碼或加密。訊息由一系列二進位制數字組成，這些數字使用編碼理論來解決通訊問題。因此，矩陣的概念用於求解此類方程。

要執行此矩陣運算，訊息首先被分解成固定大小的塊，每個塊都表示為一個數字向量。公鑰包含一個矩陣，稱為加密矩陣或公鑰矩陣，用於轉換每個數字向量。然後將得到的轉換後的向量乘以模數模冪，以獲得密文。

% Define the message to encrypt
message = 'I LOVE MATLAB';

% Convert the message to a vector of numbers
message_vec = double(message);

% Define the public key parameters (modulus and exponent)
% Next, we define the public key parameters, which in this case are a modulus of 104729 and an exponent of 65537.
modulus = 104729;
exponent = 65537;

% Define the encryption matrix
% We also define an encryption matrix of size 2x2.
encryption_matrix = [3 5; 7 11];

% Break the message vector into blocks of length 2
block_size = 2;
num_blocks = ceil(length(message_vec) / block_size);
message_blocks = zeros(num_blocks, block_size);
message_blocks(1:length(message_vec)) = reshape(message_vec, [], block_size);

% Apply the encryption matrix to each message block
encrypted_blocks = mod(message_blocks * encryption_matrix, modulus);

% Raise each encrypted block to the exponent
exponentiated_blocks = mod(encrypted_blocks .^ exponent, modulus);

% Convert the encrypted blocks to a single vector of numbers
encrypted_vec = reshape(exponentiated_blocks, [], 1);

% Print out the encrypted message
fprintf('Encrypted message: %s\n', char(encrypted_vec'));

要解密訊息，可以使用私鑰，私鑰包含兩個部分：模數和模某個值的指數的逆。指數的逆用於將密文乘以一個冪，該冪將反轉矩陣變換並恢復原始訊息塊。

% Define the encrypted message
encrypted_message = [16124 4546 84313 99848 16124 4546 84313 40458 16124 4546 84313 40458 32274 40458];

% Define the private key parameters (modulus and inverse exponent)
modulus = 104729;
inverse_exponent = 47027;

% Define the decryption matrix
decryption_matrix = [17 23; 21 29];

% Break the encrypted message vector into blocks of length 2
block_size = 2;
num_blocks = length(encrypted_message) / block_size;
encrypted_blocks = reshape(encrypted_message, block_size, num_blocks)';

% Raise each encrypted block to the inverse of the exponent
decrypted_blocks = mod(encrypted_blocks .^ inverse_exponent, modulus);

% Apply the decryption matrix to each decrypted block
decrypted_blocks = mod(decrypted_blocks * decryption_matrix, modulus);

% Convert the decrypted blocks to a single vector of numbers
decrypted_vec = reshape(decrypted_blocks, [], 1);

% Convert the decrypted vector to a string and print it out
fprintf('Decrypted message: %s\n', char(decrypted_vec'));

影像處理

矩陣運算在現實生活中的一種應用是影像處理。我們將研究一個比較簡單的例子，例如影像模糊。

例如，我們希望對一張假設為黑白的影像進行模糊處理，這裡展示了一個矩陣的示例，其中每個畫素的值代表一個灰度值，從 1 到 255。

我們將使用矩陣卷積來計算影像中每個畫素周圍 3x3 鄰域的畫素值的平均值。

要應用此濾波器，我們將矩陣在影像的每個畫素上滑動，並執行矩陣乘法。例如，要模糊影像中心的畫素，您將獲取其周圍的 3x3 鄰域，將每個畫素值乘以模糊濾波器矩陣中的對應值，然後將結果相加。最終的值是模糊影像的新畫素值。

我們對影像中的每個畫素重複此過程，最終得到一張看起來更模糊的新影像。

% Define the input matrix
input_matrix = [1 2 3; 8 9 4; 7 6 5];

% Define the blur filter matrix
blur_filter = 1/9 * [1 1 1; 1 1 1; 1 1 1];

% Apply the filter using convolution
blurred_matrix = conv2(input_matrix, blur_filter, 'same');

% Display the original and blurred matrices side by side
disp('Original Matrix:');
disp(input_matrix);
disp('Blurred Matrix:');
disp(blurred_matrix);

電路分析

在電氣工程中，基爾霍夫電壓定律 (KVL) 指出，電路中閉合迴路上的所有電壓之和必須等於零。該定律可用於為具有 m 個迴路的電路編寫一組線性方程。這些方程可以排列在一個矩陣中，稱為迴路分支關聯矩陣。

根據這些示例

迴路 M1 : V1 - R1*I1 - R3*I2 = 0

迴路 M2 : V2 - R2*I2 - R3*I1 = 0

[ R1 -R3 0 ] [ I1 ] = [ V1 ]

[-R3 R2+R3 -R2 ] [ I2 ] = [ -V2 ]

[ 0 -R2 1 ] [ V2 ] = [ 0 ]

使用符號數學工具箱，我們可以求解這些方程

% Define the symbolic variables
syms R1 R2 R3 V1 V2 I1 I2

% Define the Kirchhoff Voltage Law equations for each loop
eq1 = V1 - R1*I1 - R3*(I1-I2) == 0;
eq2 = V2 - R2*I2 - R3*(I2-I1) == 0;

% Define the Kirchhoff Current Law equation at node K1 and K2
eq3 = I1 - I2 == 0;

% Solve the system of equations for the currents and voltages
sol = solve(eq1, eq2, eq3, I1, I2, V2);

% Display the results
I1 = double(sol.I1);
I2 = double(sol.I2);
V2 = double(sol.V2);
fprintf('I1 = %.2f A\n', I1);
fprintf('I2 = %.2f A\n', I2);
fprintf('V2 = %.2f V\n', V2);

參考文獻

^[1] ^[2] ^[3] ^[4]

[1] ttps://web.archive.org/web/20220712153202/https://collegedunia.com/exams/applications-of-determinants-and-matrices-and-solved-examples-mathematics-articleid-2195

[2] ttps://web.archive.org/web/20220719154910/https://www.embibe.com/exams/inverse-matrix/

[3] ttps://web.archive.org/web/20220814062118/https://www.theclickreader.com/dot-products-and-matrix-multiplication/

[4] ttps://web.archive.org/web/20220814062138/https://www.theclickreader.com/matrix-transpose-determinants-and-inverse/

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