MATLAB 擬合演示

在許多情況下，需要將非線性函式擬合到測量資料，MATLAB 提供了一個非常靈活的平臺來執行此分析。本文件提供了一個對標準雙室血流模型進行最小二乘擬合的示例

其中 K1 是血管流向組織的速率常數，k2 是組織流向血管的速率常數，A(t) 是大腦中的活性，Ca(t) 是血液中的活性。

MATLABleastsq函式隨最佳化工具箱提供，是解決此問題的明顯選擇，因為它對多維問題執行非線性最小二乘擬合。請參閱 MATLAB 文件，以詳細瞭解leastsq函式的工作原理以及它接受哪些選項。出於我們的目的，將使用它的預設容差和擬合算法（Levenberg-Marquardt）。

在 MATLAB 中執行曲線擬合有幾個步驟

建立一個返回函式值的函式。在這個例子中，我們需要一個返回 A(t) 計算值的函式，基於給定的 K1 和 k2，以及測量的 Ca(t) 曲線。在 MATLAB 中，這非常簡單

function sim = simrat (vars, times, Ca)

   expfun = exp(-vars(2)*times);
   conv = nconv(Ca, expfun, times(2)-times(1));
   conv = conv (1:length(times));
   sim = vars(1)*conv;

這個簡短的函式在給定擬合變量（在本例中，K1=vars(1), 和 k2=vars(2)), 一個時間向量，以及一個 Ca 值向量的情況下，返回 A(t) 的值。第一行計算方程的指數部分，第二行計算卷積，第三行將卷積剪下到我們感興趣的長度，第四行設定返回值（K1 乘以卷積）。

建立一個返回殘差值的函式（實際上，可以將此函式與前面的函式合併）。以下函式從前面的函式獲取函式值，並返回殘差

function error = fitrat (vars, ts_even, plasma_even, brain_even)

    sim = simrat (vars, ts_even, plasma_even);
    error = brain_even - sim;

呼叫leastsq, 傳遞返回殘差的函式名稱

[final, options, f, j] = leastsq ('fitrat', [K1 k2], [], [], ...
                              ts_even, plasma_even, brain_even);

leastsq將呼叫函式 fitrat 獲取殘差，並按順序傳遞 [K1 k2]（將在 vars 中接收）、ts_even、plasma_even 和 brain_even。該leastsq函式在 final 中傳遞迴最終引數（解），選項向量（給出諸如迭代次數等資訊），以及解處的殘差和雅可比矩陣。

透過呼叫 MATLAB 獲取 95% 的置信區間confint函式（也來自最佳化工具箱）。

[conf, var] = confint (final, f, j);

此函式接受最小二乘問題的解（final）、解處的殘差（f）和解處的雅可比矩陣（j）。它返回 95% 的置信區間和方差（有關詳細資訊，請參閱 MATLAB 最佳化工具箱文件，或在 MATLAB 中鍵入help confint）。