電子學材料/薛定諤方程

薛定諤方程是一個 微分方程，它描述了Ψ(x)隨時間的演化。透過針對特定情況求解該微分方程，可以找到波函式。它是粒子能量守恆的表述。

一維薛定諤方程

在最簡單的情況下，一個在一維空間中的粒子，它的推導如下

$T\left(x\right)+V\left(x\right)=E,$

其中

• T(x)是粒子的動能
• V(x)是粒子的勢能
• E是粒子的能量，它是一個常數

用波的動能進行替換，如 這裡所示

${{\hbar ^{2}k^{2}} \over {2m}}+V\left(x\right)=E$

現在我們需要將這個微分方程用Ψ(x)表示。假設Ψ(x)由以下給出

$\psi \left(x\right)=\psi _{0}e^{jkx}$

對我們的試解進行二次微分，

${{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi \left(x\right)$	$=-k^{2}\psi _{0}e^{jkx}$
	$=-k^{2}\psi \left(x\right)$

重新排列以獲得k²

$k^{2}=-{1 \over {\psi \left(x\right)}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi \left(x\right)$

將此代入微分方程得到

$-{1 \over {\psi \left(x\right)}}{\hbar ^{2} \over {2m}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi \left(x\right)+V\left(x\right)=E$

用Ψ(x)乘以整個式子，得到一維薛定諤方程

[一維薛定諤方程]

$-{\hbar ^{2} \over {2m}}{{d^{2}\psi \left(x\right)} \over {dx^{2}}}+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)$

求解薛定諤方程可以得到粒子的波函式，它可以用來找到系統中的電子分佈。

這是一個與時間無關的解 - 它不會隨著時間的推移而改變。為該方程新增時間依賴性很簡單，但目前我們只考慮與時間無關的波函式，因此沒有必要。時間相關的波函式用 $\Psi \left(x,t\right)$

雖然這個方程是為一個特定的函式（復指數函式）推導的，但它比看起來更通用，因為 傅立葉分析 可以將任何範圍為L的連續函式表示為這類函式的總和。

${f}\left({x}\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{c_{n}e^{-jkx},}\quad k={{n\pi } \over L}$

薛定諤方程作為特徵方程

薛定諤方程可以表示為以下形式的特徵方程

[薛定諤方程作為特徵方程]

$H\psi =E\psi \,$

其中

• ψ是特徵函式（或特徵態，兩者意思相同）
• E是對應於能量的特徵值。
• H是哈密頓算符，由以下給出

[一維哈密頓算符]

$H=-{\hbar \over {2m}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}+V\left(x\right)$

這意味著，透過將算符H應用於函式ψ(x)，我們將得到一個解，它僅僅是ψ(x)的標量倍數。這個倍數是E - 粒子的能量。

這也意味著每個波函式（即薛定諤方程的每一個解）都有一個特定的關聯能量。

更高維度

我們剛剛推匯出的方程是單維粒子的薛定諤方程。新增更多維度並不困難。三維方程為

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\nabla ^{2}\psi \left({\mathbf {r} }\right)+V\left({\mathbf {r} }\right)\psi \left({\mathbf {r} }\right)=E\psi \left({\mathbf {r} }\right)$

其中 $\nabla ^{2}$ 是拉普拉斯算符，在笛卡爾座標系中，由以下給出

$\nabla ^{2}={{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial ^{2}} \over {\partial y^{2}}}+{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}$

參見此頁面以瞭解推導過程。也可以新增更多維度，但這通常不會產生有用的結果，因為我們生活在一個三維宇宙中。

自旋

為了將薛定諤方程與相對論相結合，保羅·狄拉克 證明了電子具有一個額外的性質，稱為自旋。這實際上並不意味著電子在一個軸上自旋，但從某種意義上說，這是一個有用的類比。

電子的自旋可以取兩個值；

$\pm {1 \over 2}\hbar$

我們可以透過乘以一個額外的分量 - 自旋波函式 σ(s) 來將自旋合併到波函式 Ψ 中，其中 s 為 ±1/2。這通常分別被稱為 "自旋向上" 和 "自旋向下"。完整的、與時間相關的波函式現在由下式給出

$\Psi \left({{\mathbf {r} },t}\right)=\psi \left({\mathbf {r} }\right)w\left(t\right)\sigma \left(s\right)$

波函式的條件

為了表示一個粒子的狀態，波函式必須滿足幾個條件

• 它必須是平方可積的，而且，波函式的機率密度函式的積分必須等於 1，因為電子必須存在於整個空間的某個地方

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\left|{\psi \left({\mathbf {r} }\right)}\right|^{2}dx\,dy\,dz}}}=1$

對於一維繫統，這是

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\left|{\psi \left(x\right)}\right|^{2}dx=1}$

• $\psi \left(\mathbf {r} \right)$ 必須是連續的，因為它的導數，它與動量成正比，必須是有限的。

• ${\frac {d\psi \left(\mathbf {r} \right)}{dx}}$ 必須是連續的，因為它的導數，它與動能成正比，必須是有限的。

• $\psi \left(\mathbf {r} \right)$ 必須滿足邊界條件。特別是，當 x 趨於無窮大時，ψ(r) 趨於零。（這是為了滿足上面的歸一化條件）。

薛定諤方程的應用示例

薛定諤方程可用於尋找許多物理系統的波函式。有關更多資訊，請參見 受限粒子。

總結

• 薛定諤方程 (SE) 是能量守恆定律的陳述。
• 它由 $-{\hbar ^{2} \over {2m}}{{d^{2}\psi \left(x\right)} \over {dx^{2}}}+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)$
• 透過求解方程，可以得到波函式 ψ。
• 從波函式中，我們找到電子的機率函式分佈。
• 電子存在於整個空間的機率必須為 1。
• SE 給出一組離散的波函式，每個波函式都與一個相應的能量相關聯。
• 電子不能存在於這些能量之外的能量處。