電子材料/波粒二象性/雙縫實驗/理想/輻照度

此頁面將討論兩個向量波產生的效果，這比簡單地疊加標量波更復雜。根據疊加原理，電場強度E（向量量）在P點由該點所有n個獨立場之和給出

$\mathbf {E} =\sum _{i=1}^{n}{\mathbf {E} _{i}}$

通常，由於電磁波的快速振盪（數百太赫茲），無法測量實際的場。因此，我們將透過觀察產生的輻照度來解決問題，而不是場。

我們現在將考慮兩個點源，S₁和S₁，並且只處理線性偏振波。現在，入射到P的兩個波（每個源一個）由以下方程給出

$\mathbf {E} _{1}\left(\mathbf {r} ,t\right)=\mathbf {E} _{0,1}\cos \left(\mathbf {k} _{1}\cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{1}\right)$

$\mathbf {E} _{2}\left(\mathbf {r} ,t\right)=\mathbf {E} _{0,2}\cos \left(\mathbf {k} _{2}\cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{2}\right)$

其中

• E_n是由該波引起的光場
• E_0,n是該波的振幅向量
• k_n是表示傳播方向和波數k的波矢
• r是點P的位置向量
• ω是波的角頻率
• t是時間
• φ_n是該波的初始相位

下圖顯示了所有這些元素

現在，輻照度由下式給出

$I=\epsilon v\langle \mathbf {E} ^{2}\rangle$

其中$\langle \mathbf {E} ^{2}\rangle$表示電場強度平方大小的時間平均值。這是場論的一個基本結果，這裡不是證明它的合適地方。目前，由於我們正在處理相對強度，我們將省略常數並設定

$I=\langle \mathbf {E} ^{2}\rangle$

根據疊加原理，

$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}$

其中E₁和E₂是由每個狹縫產生的場的分量。現在我們可以寫

$\mathbf {E} ^{2}=\left(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\right)^{2}$

$\mathbf {E} ^{2}=\mathbf {E} _{1}^{2}+\mathbf {E} _{2}^{2}+2\mathbf {E} _{1}\mathbf {E} _{2}$

對該方程兩邊進行時間平均，得到

$\langle \mathbf {E} ^{2}\rangle =\langle \mathbf {E} _{1}^{2}\rangle +\langle \mathbf {E} _{2}^{2}\rangle +2\langle \mathbf {E} _{1}\mathbf {E} _{2}\rangle$

我們將將其寫成輻照度的和

$I=I_{1}+I_{2}+I_{1,2}\,$

該表示式中的最後一項稱為干涉項。回顧我們對兩個波的表達形式（請注意，我們現在用電場來描述波），可以寫成

$\mathbf {E} _{1}\mathbf {E} _{2}=A_{1}\sin \left(k_{1}x-\omega t+\phi _{1}\right)\times A_{2}\sin \left(k_{2}x-\omega t+\phi _{2}\right)$

應用倍角公式，得到

$\mathbf {E} _{1}\mathbf {E} _{2}=A_{1}A_{2}\left[\sin \left(k_{1}x+\phi _{1}\right)\sin \left(\omega t\right)+\cos \left(k_{1}x+\phi _{1}\right)\cos \left(\omega t\right)\right]\times \left[\sin \left(k_{2}x+\phi _{2}\right)\sin \left(\omega t\right)+\cos \left(k_{2}x+\phi _{2}\right)\cos \left(\omega t\right)\right]$