物理數學方法/線性代數

人類已知的最簡單的結構，我們可以研究“代數”和“微積分”運算，是巴拿赫空間。希爾伯特空間在物理學中至關重要，因為它們不僅是巴拿赫空間的特例，而且還包含內積的概念以及相關的共軛對稱性。(本章需要對基本測度論有所瞭解)

內積

設 $V$ 是在 $F$ 上的向量空間(這裡， $F$ 代表 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ )。二元運算 $(\cdot ):V\times V\to F$ 稱為定義內積當且僅當，

對於所有 $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ ， $a,b\in F$

(i) (共軛對稱性): $(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\overline {(\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} )}}$

這意味著

(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )\in \mathbb {R}

因為

(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )}}

(ii) (第一個變數的線性): $(a\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )=a(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$

共軛對稱意味著

(\mathbf {x} \cdot b\mathbf {y} )={\overline {(b\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} )}}={\overline {b(\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} )}}={\overline {b}}(x\cdot y)

（iii）（正定性）： $(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )\geq 0$ 對於所有 $\mathbf {x} \in V$

（iv）（非退化性）： $(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )=0$ 當且僅當 $\mathbf {x} =\mathbf {0}$

如果在 $V$ 上定義了內積，那麼我們稱 $V$ 為內積空間。

複共軛有時用 ${\overline {z}}=z^{*}$ 表示。

希爾伯特空間

觀察到內積的正定性意味著我們可以在 $V$ 上定義一個範數，為 $\forall \mathbf {x} \in V$ ， $\|\mathbf {x} \|=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )^{1/2}$

如果 $V$ 在此範數下完備，我們稱 $V$ 為希爾伯特空間。

因此希爾伯特空間是完備的內積空間。

示例

在以下給出的希爾伯特空間示例中，標量的基礎域是複數域C，儘管類似的定義適用於標量的基礎域是實數域R的情況。

歐幾里得空間

每個有限維內積空間也是希爾伯特空間。例如，Cⁿ 在由以下內積定義的空間中：

\langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\overline {y_{k}}}

其中複數上的橫線表示其共軛複數。

序列空間

給定一個集合B，序列空間 $\ell ^{2}$ （通常讀作“小ell二”）在B上定義為

\ell ^{2}(B)={\big \{}x:B{\xrightarrow {x}}\mathbb {C} {\text{ and }}\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty {\big \}}.

該空間透過內積成為希爾伯特空間

\langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}

對於 $\ell ^{2}(B)$ 中的所有x和y。B在該定義中不必是可數集，儘管如果B不可數，則得到的希爾伯特空間不可分離。每個希爾伯特空間都與 $\ell ^{2}(B)$ 之一同構，其中B是一個合適的集合。如果B=N，即自然數，則該空間是可分離的，簡稱為 $\ell ^{2}$ .

從舊的希爾伯特空間中獲得新的希爾伯特空間

兩個（或多個）希爾伯特空間可以透過取它們的直和或張量積來組合以產生另一個希爾伯特空間。

平方可積函式

在希爾伯特空間的例子中，對於物理學家來說，最感興趣的是 ${\mathcal {L}}^{2}$ 空間。

考慮 ${\mathcal {L}}^{2}$ 是所有函式 $f:[a,b]\to \mathbb {C}$ 的集合，這些函式對於實測度 $\mu$ 來說是平方可積的，即 $\int _{a}^{b}\|f\|^{2}d\mu$ 是定義良好的。

在 ${\mathcal {L}}^{2}$ 上定義內積為

$(f*g)=\int _{a}^{b}f(x)^{*}g(x)d\mu$

只要內積對任意一對函式 $f,g$ 存在，我們可以看出 ${\mathcal {L}}^{2}$ 是一個內積空間。

讀者可能會注意到這裡存在一個歧義，因為 $(f*g)=(f*g')$ 不一定意味著 $g=g'$ 。為了解決這個問題，我們在函式之間使用不同的等價關係， $f\sim f'\Leftrightarrow \int _{a}^{b}\|f-f'\|d\mu =0$ ，因此， $f=f'$ 在 $[a,b]$ 的所有點上都成立，除了一個測度為 $0$ 的點集。