數學證明與數學原理/引言
查爾斯·勒特維奇·道奇森，更廣為人知的名字是劉易斯·卡羅爾，提出了一個修辭性的問題：“現在，你在幾何學手冊中真正需要的是什麼？” 他的答案不是一本列出有關幾何學事實的書，而是，“...一本能夠讓學習者練習清晰明確的理解習慣，並能讓他測試科學論證的邏輯價值的書。” 這反映了長期以來的傳統，即學習幾何學，以及更普遍的數學，有助於學生培養清晰和邏輯思維的能力。 這些技能在日常生活中以及民主的正常運作中都極其重要。
也許，如果目標是培養清晰和邏輯的思維能力，那麼學習專門為此設計的文字可能比學習數學更好，在數學中，清晰和邏輯的思維能力只是一個有用的副產品。 但可以肯定的是，推理的正確使用是現代數學的核心，特別是在構建證明的過程中。 對邏輯作為數學基礎的堅持，不僅幫助該學科避免了錯誤的結果，而且指引了它發現了新的知識領域，這些領域的存在以前是無法預測的。
這本書旨在成為邏輯推理使用的指南，正如它目前在數學中所實踐的那樣。 嚴格程度的標準確實隨著時間的推移而發生變化，幾百年前可接受的標準在今天將不被允許。 但對數學嚴格性的渴望已經存在了數千年，而且可能還會持續數千年。 我們已經包含了一個關於歷史的章節，描述了標準的一些變化。 它的目的是為主題提供一些動力和視角，但本書的其餘部分應該獨立於它，因此如果你願意，可以跳過它。
不可否認的是，數學是一門困難的學科。 但可以透過不依賴單一來源進行學習來使其變得更容易。 這與通常的做法相反，即為一個班級分配一本專門使用的書。 但事實是，不同的作者以不同的方式解釋事物，而一些解釋可能比另一些更能引起一些學習者的共鳴。 為此，我們提供了一些替代方案的列表，供你在遇到困難時參考。
- 證明和數學語言導論，作者 Martin Day，（免費線上）
- 證明之書，作者 Richard Hammack，（免費線上）
- 如何閱讀和做證明：數學思維過程導論，作者 Daniel Solow
- 數學推理：寫作和證明，作者 Ted Sundstrom，（免費線上）
- 數學藝術的溫和介紹，作者 Joseph E. Fields（免費線上）
對於那些喜歡觀看而不是閱讀的人，也有一些螢幕錄製講座課程。
- 數學交流，是 Ted Sundstrom 的書的配套材料。
- 高等數學導論，作者 Bill Shillito
- 計算機科學數學，作者 Albert R. Meyer 和 Adam Chlipala。 它是麻省理工學院開放課程的一部分，強調離散結構和計算。
從某種意義上說，沒有哪本書或老師能夠教你如何做我們正在談論的這種數學。 你必須自學，學習的唯一途徑就是實踐。 一本書可以讓你踏上正確的道路，並在途中提供路標，但沒有人可以替你完成旅程。 因此，這裡只給出了幾個證明作為例子，其餘的留給讀者去補充。
人們常說數學是一種語言；有些人甚至說它是宇宙與我們交流的語言。 這本書試圖描述這種語言的語法和詞彙，但沒有哪本語言書能夠在沒有對其使用者文化的一些描述的情況下完整。 因此，本書還將包含一些關於數學的歷史和軼事：這是數學家們都知道的，但可能在典型的數學書籍中不會涵蓋的資訊。
在像這樣的書中，很容易開始深入探討數學邏輯和數學基礎。 問題是，一旦你拿起鏟子，就很難放下它。 這對於本書的目的也不起作用，因為主題越深入，就越深奧。 所以，假設閱讀本書的人想繼續實際證明定理，我們將嘗試只包含那些促進我們這裡目標的基礎材料。
我們試圖在這裡教授數學過程，而不是作為任何單個數學主題的完整闡述。 所以我們可能偶爾會要求讀者接受一些結果，而不提供證明，如果證明非常困難或複雜。 我們希望實現的理想是，所有證明都可以由讀者補充，從簡單開始，逐漸發展到更困難的證明。 但數學並不總是讓自己如此方便，有時需要困難的結果來證明更簡單的結果，因此必須不時做出讓步。