數學證明與數學/邏輯/邏輯聯結詞原理

在上一節中，我們已經清楚地說明了什麼叫數學命題。在本節中，我們將討論如何將數學命題組合起來構成更復雜的命題。這可以透過使用所謂的“邏輯聯結詞”或“邏輯運算子”來完成。您可以將這些聯結詞看作是一個或多個變數的函式，其中變數可以是真或假，函式的值也可以是真或假。數學中常用的邏輯聯結詞有否定、合取、析取、蘊涵和等價，這些都是您在日常英語中會遇到的東西的複雜說法。

在本節中，符號 $P$ 和 $Q$ 表示數學命題。

否定

命題 $P$ 的否定是指命題 $P$ 不真。表達這一點的一些方法是

非 $P$.

它是假的 $P$.

例子

語句	否定
2005 年 9 月 1 日下雨了。	2005 年 9 月 1 日沒有下雨。
所有老師都是女性。	並非所有老師都是女性。
邁克的狗有一條黑色的尾巴。	邁克的狗沒有黑色的尾巴。
2 + 2 = 4	2 + 2 ≠ 4。
三角形 ABC 是等邊的。	三角形 ABC 不是等邊的。

否定將邏輯命題的真假值反轉。換句話說，非 $P$ 為假，當 $P$ 為真，而非 $P$ 為真，當 $P$ 為假。以表格形式

$P$	非 $P$
真	假
假	真

否定的邏輯符號是“$\lnot$”，因此您可以將“非 $P$” 寫成 $\lnot P$。

雖然“非”是最簡單的邏輯運算子，但在試圖證明某些物件是否具有某些屬性時，命題的否定很重要。它使能夠正確否定命題的能力成為一項重要的技能。

合取

兩個語句 $P$ 和 $Q$ 的合取是表示 $P$ 和 $Q$ 都為真時的語句。有些表達方式如下：

$P$ 並且 $Q$.

$P$ 但是 $Q$.

$P$ 然而 $Q$.

注意，英語中的表達方式有時會包含“並且”一詞無法表達的含義。例如，語句

雖然下雨了，但我們玩得很開心。

表達了這樣一種意思：下雨的事實會讓你覺得很難玩得開心。但在邏輯上，該語句等同於

我們玩得很開心，並且下雨了。

因為兩者都結合了以下兩個陳述：

我們玩得很開心。

並且

下雨了。

例子

第一個陳述	第二個陳述	合取
大廳很長。	大廳很暗。	大廳又長又暗。
所有老師都是女性。	所有的老師都是人類。	所有的老師都是女性人類。
邁克的狗有一條黑色的尾巴。	邁克的狗鼻子是溼的。	邁克的狗有黑色的尾巴，並且鼻子是溼的。
4 是偶數。	6 是奇數。	4 是偶數，並且 6 是奇數。
三角形 ABC 是等邊的。	三角形 ABC 是等角三角形。	三角形 ABC 是等邊等角三角形。

合取將兩個陳述的斷言合併成一個陳述。如果不迴圈，很難說得更具體，但你可以說 $P$ 並且 $Q$ 為真，當且僅當 $P$ 和 $Q$ 都為真，當且僅當 $P$ 或 $Q$ 為假。表格形式如下

$P$	$Q$	$P$ 並且 $Q$
真	真	真
真	假	假
假	真	假
假	假	假

合取的邏輯符號是“$\land$”，因此您可以將 $P\land Q$ 寫成 $P$ 和 $Q$。

析取

兩個語句 $P$ 和 $Q$ 的析取是指至少其中一個語句 $P$ 和 $Q$ 為真。一些表達方式如下：

$P$ 或 $Q$。

$P$ 除非 $Q$。

在數學中，異或從不使用，因此

$P$ 或 $Q$。

總是表示

$P$ 或 $Q$，或兩者都為真。

這與英語形成對比，在英語中，異或通常由語境暗示，例如

你可以選擇大盒子或幕簾 2 後面的東西。

在數學中，很少需要使用異或，如果需要，可以新增短語“但不能同時”，以明確表達意思。

例子

第一個陳述	第二個陳述	析取
大廳很長。	大廳很暗。	大廳要麼很長要麼很暗。
邁克的狗有一條黑色的尾巴。	戴夫的狗有一條黑色的尾巴。	邁克的狗或戴夫的狗有一條黑色的尾巴。
4 是偶數。	6 是奇數。	4 是偶數或 6 是奇數。
三角形 ABC 是等腰三角形。	三角形 ABC 是不等邊三角形。	三角形 ABC 或是等腰三角形或是不等邊三角形。

析取提供兩種可能性，由兩個語句給出。同樣，在不迴圈的情況下，很難更具體，但你可以說 $P$ 或 $Q$ 為真，當 $P$ 或 $Q$ （或兩者）為真時，當 $P$ 和 $Q$ 均為假時，則為假。以表格形式

$P$	$Q$	$P$ 或 $Q$
真	真	真
真	假	真
假	真	真
假	假	假

析取的邏輯符號是“$\lor$”，所以你可以寫 $P\lor Q$ 來表示 $P$ 和 $Q$。

蘊涵

蘊涵可能是最重要的，但也是最令人困惑的邏輯連線詞。事實上，它甚至有一個以它命名的悖論。

兩個語句 $P$ 和 $Q$ 的蘊涵是指語句 $Q$ 為真，只要 $P$ 為真。一些表達方式是

$P$ 蘊涵 $Q$。

如果 $P$ 則 $Q$。

$P$ 只有在 $Q$ 的情況下才成立。

$Q$ 如果 $P$ 成立。

$Q$ 是 $P$ 的必要條件。

$P$ 是 $Q$ 的充分條件。

當我們在英語中使用 "If ... then ..." 這個短語時，通常意味著存在某種因果關係。例如，這句話

如果下雨，交通就會很糟糕。

在某種程度上包含了下雨會導致交通狀況糟糕的想法。但從邏輯的角度來看，這兩個語句之間並不一定存在這種聯絡。這就是悖論，即“實質蘊涵的悖論”之一，出現的地方。也就是說，如果 $P$ 是一個錯誤的陳述，那麼蘊涵 $P$ 蘊涵 $Q$ 是真的，即使 $P$ 和 $Q$ 之間沒有任何聯絡。例如

如果 0=1，那麼月球是由乳酪做的。

在邏輯上是正確的，即使月球是否是由乳酪製成的與 0 是否等於 1 無關。

這種情況可能看起來很奇怪，這就是為什麼它被稱為悖論。所以也許詢問你什麼時候可以說語句 $P$ 蘊涵 $Q$ 是假的，而不是你什麼時候可以說它是真的，會更有幫助。想象你的牙醫對你說

如果你吃很多糖，你就會有更多的蛀牙。

這是兩個陳述之間的蘊涵

你吃很多糖。

並且

你會有更多的蛀牙。

現在假設你想要證明你的牙醫錯了，並說：“哈！你不知道你在說什麼。我要去別的地方看牙醫。” 如果你遠離糖並且沒有蛀牙，那麼你的牙醫是對的。 如果你遠離糖，但仍然有蛀牙，那麼你的牙醫可以問“你吃飯後刷牙了嗎？” 你會說“沒有”，你的牙醫會說“你看吧！” 並且仍然是對的。 你唯一能證明你的牙醫錯了的方式是吃很多糖，但沒有蛀牙。

這個事實實際上在某些情況下很有用，因為它在邏輯上是有效的，所以在證明中使用它沒有什麼錯。

例子

第一個陳述	第二個陳述	蘊涵
大廳很長。	大廳裡有許多門。	如果大廳很長，那麼它就有很多門。
邁克的狗鼻子是溼的。	邁克的狗很健康。	如果邁克的狗的鼻子溼潤，那麼它就健康。
4 是偶數。	6 是奇數。	如果 4 是偶數，那麼 6 是奇數。
三角形 ABC 是等邊的。	三角形 ABC 是等腰三角形。	如果三角形 ABC 是等邊三角形，那麼它是等腰三角形。

正如我們所見，蘊涵 $P$ 蘊涵 $Q$ 當 $P$ 為假時為真。當 $Q$ 為真時也為真，只有當 $P$ 為真且 $Q$ 為假時才為假。表格形式如下

$P$	$Q$	$P$ 或 $Q$
真	真	真
真	假	假
假	真	真
假	假	真

蘊涵的邏輯符號是 “$\implies$”，儘管 “$\supset$” 有時也會出現。因此你可以寫成 $P\implies Q$ 表示 $P$ 蘊涵 $Q$。

不像 $P$ 和 $Q$ 以及 $P$ 或 $Q$，$P$ 蘊涵 $Q$ 的值可能在你交換 $P$ 與 $Q$ 時發生改變。換句話說

$P$ 蘊涵 $Q$

並不總是與

$Q$ 意味著 $P$.

這兩個語句是相關的，我們稱語句

$Q$ 意味著 $P$

為 “逆命題”。

$P$ 蘊涵 $Q$

蘊含在數學中扮演著重要的角色，因為大多數定理都採用蘊含的形式。

等價

我們接下來要討論的最後一個連線詞是等價。它在英語中並不常見，所以表達等價關係的一些方式可能不熟悉。但它在數學中足夠重要，因此擁有自己的術語。

兩個語句 $P$ 和 $Q$ 的等價關係是，$P$ 和 $Q$ 具有相同的真值。另一種說法是 $P$ 意味著 $Q$，並且 $Q$ 意味著 $P$.

表達等價關係的一些方式是

$P$ 等價於 $Q$.

$P$ 當且僅當 $Q$.

$P$ 正好當 $Q$.

$P$ 當且僅當 $Q$。 (iff 是 “當且僅當” 的縮寫)。

$P$ 是 $Q$ 的充分必要條件。

例子

第一個陳述	第二個陳述	等價
4 是偶數。	6 是奇數。	4 是偶數當且僅當 6 是奇數。
三角形 ABC 是等邊的。	三角形 ABC 是等角三角形。	三角形 ABC 是等邊三角形當且僅當它是等角三角形。

當 $P$ 和 $Q$ 的真值相同，$P$ 當且僅當 $Q$ 為真，當它們具有不同的真值時為假。換句話說，$P$ 當且僅當 $Q$ 為真，當 $P$ 和 $Q$ 同時為真或同時為假，而 $P$ 當且僅當 $Q$ 為假，是 $P$ 和 $Q$ 中一個為真而另一個為假。表格形式如下

$P$	$Q$	$P$ 或 $Q$
真	真	真
真	假	假
假	真	假
假	假	真

蘊涵的邏輯符號是 "$\iff$"，所以你可以寫 $P\iff Q$ 來表示 $P$ 當且僅當 $Q$。

語句

$P$ 當且僅當 $Q$

說明以下蘊涵

$P$ 蘊涵 $Q$

及其逆命題都是真的。

複雜表示式

利用以上給出的連線詞，我們可以構建更復雜的表示式。例如

(非 $P$) 或 $Q$

($P$ 或 $Q$) 並且 $R$

為了避免寫過多的括號，存在優先順序規則來決定不明確表示式中運算的順序。最高優先順序是“非”，因此你永遠不需要在“非 $P$”周圍新增括號。接下來是“與”和“或”，它們具有相同的優先順序。然後是“蘊含”和最後是“當且僅當”。

例如，上面第一個例子可以更簡單地寫成

非 $P$ 或 $Q$

但第二個例子不能簡化。

可以證明，任何邏輯連線詞在任意數量的變數中都可以表示為上面給出的連線詞的某種組合。事實上，你實際上只需要“非”、“與”和“或”。我們在這裡不會證明這一點，因為它實際上是邏輯而不是數學中的一個定理，但我們可以透過構造異或的表示式來給你基本思路。首先，列出連線詞為真的條件；在本例中，$P$ 異或 $Q$ 為真時，$P$ 為真，而 $Q$ 為假，或者 $P$ 為假，而 $Q$ 為真，否則為假。現在將每個條件列出為一個合取，因此在本例中我們得到

$P$ 並且 非 $Q$

並且

非 $P$ 並且 $Q$

最後，形成前面步驟中形成的所有語句的析取，因此最終結果，我們可以將其作為 $P$ 異或 $Q$ 的定義是

($P$ 且不為 $Q$) 或 (不為 $P$ 且為 $Q$)