數學證明與數學/邏輯/量詞和謂詞原理

到目前為止，我們只討論了陳述的邏輯。但數學也討論事物，例如集合和數字。我們需要擴充套件我們的邏輯系統，以包括對關於事物的陳述進行推理。此時，邏輯通常呈現的方式與它在數學中常用的方式略有不同。我們的任務是描述後者，因此我們的符號和證明佈局將與你在邏輯教科書中看到的略有不同。

論域

回想一下，謂詞可以被認為是一個函式，其值是真或假。更具體地說，它們將我們“論域”中的物件作為輸入，並生成真值作為輸出。在數學中，論域由上述集合和數字等數學物件組成。請注意，邏輯不需要這樣做，也不需要論域與實際宇宙有任何關係。因此，在邏輯上，沒有理由假設論域中存在任何物件。實際宇宙中是否存在任何物件是物理學家要決定的問題。

謂詞符號

我們將使用符號 $P(x)$，$Q(x)$，... 來代表謂詞，其中 $x$ 表示我們論域中的一個物件。字母 $x$ 的選擇在某種程度上是任意的，因此我們也可以使用 $P(y)$ 來表示謂詞。類似地，我們將使用 $R(x,y)$，$S(x,y)$，$T(x,y,z)$... 來代表二元關係（對於 $R$ 和 $S$），三元關係（對於 $T$），等等。通常在這種情況

由於字母 $x$ 在 $P(x)$ 中的選擇是任意的，用更通用的佔位符寫謂詞可能更正確，例如寫成 $P(\cdot )$ 。但是，對於更復雜的表示式，這會變得模稜兩可。例如，如果你用邏輯連線詞組合兩個謂詞，如 $P(\cdot )$ 蘊涵 $Q(\cdot )$ ，它可能意味著謂詞 $P(x)$ 蘊涵 $Q(x)$ ，或者它可能意味著關係 $P(x)$ 蘊涵 $Q(y)$ 。

請注意，邏輯中的常用符號不使用括號，因此謂詞將寫成 $Px$ 。我們使用括號是為了強調謂詞是一種函式型別。

變數和常量

有一句老話（被稱為奧斯本定律）說“變數不變數，常量也不常量”。完整地說，它是指變數不總是變化，常量也不總是恆定。結果是，變數和常量之間的區別最多是模糊的，很大程度上取決於上下文。通常，變數被認為代表任意或不特定的東西，而常量被認為代表一些特定的東西。從語法上講，這類似於專有名詞和普通名詞之間的區別。習慣上用字母開頭附近的字母表示常量，用字母結尾附近的字母表示變數。

例如，符號 $P(x)$ 代表一個謂詞，它的值取決於變數 $x$ 。但是，符號 $P(a)$ ，其中 $a$ 是一個常量，代表真或假的一個特定值。換句話說， $P(a)$ 被認為是一個語句。

組合謂詞

我們之前已經用過這個概念了，但值得再次強調的是，謂詞和關係可以用邏輯連線詞組合起來，就像語句一樣。例如，給定謂詞$P(x)$ 和 $Q(x)$，你可以建立一個新的謂詞 $P(x)$ 蘊含 $Q(x)$ 和一個關係 $P(x)$ 蘊含 $Q(y)$。同樣地，謂詞和關係可以與語句組合，例如 $R(x,y)$ 當且僅當 S。

全稱量詞

有兩個新的邏輯連線詞可以應用於謂詞和關係。第一個叫做全稱量詞，它被用來將謂詞轉換為語句。對謂詞 $P(x)$ 應用全稱量詞，寫作

對所有 $x$，$P(x)$

當 $P(x)$ 無論 $x$ 的值是什麼，都為真時，該語句為真。用符號表示，寫作

$\forall xP(x)$

但

$(x)P(x)$

也被使用。在運算順序中，短語“對所有 $x$” 與否定運算子的優先順序相同。

舉個例子，我們來看一個謂詞“x 是美麗的”。對這個謂詞應用全稱量詞，得到

對所有 $x$，$x$ 是美麗的。

這與雷·史蒂文斯的那句話相同

萬物皆美。

從邏輯的角度解釋全稱量詞的一種方式是說

對所有 $x$，$P(x)$

與所有語句 $P(a)$ 的合取相同，其中 $a$ 取遍論域中的所有值。如果論域是有限的，那麼可以明確地寫出來。所以如果論域包含兩個物件 'a' 和 'b'，那麼

對所有 $x$，$P(x)$

與

$P(a)$ 和 $P(b)$.

它也可以被解釋為

$P(b)$ 和 $P(a)$

但由於這些是等價的，所以你選擇哪種解釋都沒有關係。

如果論域只有一個物件 'a' 那麼

對所有 $x$，$P(x)$

僅僅是

$P(a)$.

如果論域沒有任何物件，那麼

對所有 $x$，$P(x)$

是

$True$.

這看起來可能有點違反直覺，但如果沒有任何物件，那麼就沒有物件可以使語句 $P(a)$ 為假，因此語句

對所有 $x$，$P(x)$

是空真。

如果論域有三個或更多個物件，那麼可能存在多種解釋。例如，如果論域有三個物件 'a'、'b' 和 'c'，那麼

對所有 $x$，$P(x)$

的一些可能的解釋是

($P(a)$ 和 $P(b)$) 和 $P(c)$

$P(a)$ 和 ($P(b)$ 和 $P(c)$)

($P(c)$ 和 $P(b)$) 和 $P(a)$.

但反覆應用

$P$ 和 $Q$ 當且僅當 $Q$ 和 $P$

以及

($P$ 和 $Q$) 和 $Q$ 當且僅當 $P$ 和 ($Q$ 和 $Q$)

我們已經證明了這兩點，因此所有這些解釋都是等價的。

所以如果論域中物件的個數是已知的且有限的，那麼我們實際上並沒有新增任何新內容。否則，我們添加了一些新內容，雖然我們可以使用這種解釋來幫助決定全稱量詞的推理規則應該是什麼。

約束變數和非約束變數

邏輯文字通常區分約束變數和非約束變數。出現在量詞相關的變數是“約束的”，而那些以某種隨機方式出現、不與量詞相關的變數被認為是非約束的或自由的。這種區別通常不會出現在數學證明中，所以我們不會詳細討論它。相反，我們將強調謂詞和語句之間的區別。像這樣的表示式

$x$ 很美麗

包含一個非約束變數，被認為是一個謂詞，因為它取決於變數 $x$。另一方面，像這樣的表示式

對於所有 $x$，$x$ 很美麗

以及

愛麗絲很美麗

被認為是語句，因為它們要麼是真，要麼是假。

一些表示式，例如

對於所有 $x$，$R(x,y)$

既包含自由變數也包含約束變數。在這種情況下，表示式的真值僅取決於 $y$ 的值，因此可以將其視為變數 $y$ 的謂詞。一般來說，如果一個表示式包含多個變數 $x,y,z,\dots ,$，那麼在它前面加上短語“對於所有 $x$”就會建立一個僅取決於 $y,z,\dots .$ 的表示式。

你也可以在不涉及 $x$ 的表示式中新增短語“對於所有 $x$”。從技術上講，表示式

對於所有 $x$，$Q$

這樣做是為了隱式地建立一個謂詞$Q(x)$，其值為恆定的$Q$，然後用以下語句替換：

對於所有$x$，$Q(x)$。

人們可能會認為

對於所有 $x$，$Q$

在邏輯上等價於$Q$，如果論域至少有一個物件，那麼就是如此。但是，如果沒有物件，那麼

對於所有 $x$，$Q$

始終為真，而$Q$可能為假。這就是論域的本質在邏輯語句中得到反映的地方。宇宙是否包含任何物件的問題是透過確定語句

對於所有$x$，$False$

或其否定

並非對於所有$x$，$False$

為真。