數學證明與數學/邏輯原理/全稱量詞

我們已經介紹了量詞的一般概念，尤其是全稱量詞。在繼續下一個量詞之前，我們將給出第一個量詞的推理規則。

證明一個全稱量詞

要證明以下形式的語句：

對於所有 $x$，$P(x)$

首先要求讀者選擇一個任意的常數 $a$，然後證明語句 $P(a)$。想法是，由於常數 $a$ 是隨機選擇的，除了它是在論域中的物件之外沒有其他假設，因此 $P(a)$ 的證明是有效的，無論 $a$ 的選擇是什麼。因此，對於所有 $x.$，$P(x)$ 為真。

請注意，對於一個蘊含的證明，讀者被要求做一個假設，然後你作為證明者必須推匯出一個結論。類似地，在全稱量詞的證明中，讀者被要求做一些事情，即選擇一個常數，然後你作為證明者必須推匯出一個結論。所以我們將以類似於第一個蘊含推理規則陳述的方式陳述推理規則。

如果透過選擇 $a$ 作為任意常數可以推匯出 $P(a)$，那麼推斷

對於所有 $x$，$P(x)$

考慮到這一點，我們將使全稱量詞證明的結構為

行	語句	證明
1	選擇 $a$	任意常數
(某些內容)
n	$P(a)$	?
n+1	對於所有 $x$，$P(x)$	來自 1 和 n

縮排用於顯示字母 a 在第 1 行中引入，在第 1 行到第 n 行之外沒有意義。

(需要注意的是，大多數邏輯書籍遵循不同的約定。這條規則通常被陳述為

從 $P(x)$ 推斷

對於所有$x$，$P(x)$。

其中$x$ 是$P(x)$ 中的自由變數，並且受到$x$ 在證明中其他地方出現的限制。這可能是一種有效的推理形式，但這不是數學環境中通常編寫證明的方式。一方面，表示式$P(x)$，由於它具有一個自由變數，實際上是一個謂詞，而不是一個語句。但在數學中，除了偶爾的命令（例如“假設...”）之外，證明只包含語句。該規則還要求區分繫結變數和自由變數。但我們正在避免這種區別，而是關注語句和謂詞之間的差異。）

示例證明 #1

我們使用上面的推理規則來證明

命題 1：對於所有$x$，（$P(x)$ 蘊含 $P(x)$）。

首先，像上面一樣列出證明的結構。

行	語句	證明
1	選擇 $a$	任意常數
(某些內容)
n	$P(a)$ 蘊含 $P(a)$	?
n+1	對於所有$x$，（$P(x)$ 蘊含 $P(x)$)	來自 1 和 n

現在的任務是證明$P(a)$ 蘊含 $P(a)$，但$P(a)$ 是一個語句，所以我們可以應用之前證明的命題

$P$ 蘊含 $P$。

因此，證明可以完成為

行	語句	證明
1	選擇 $a$	任意常數
2	$P(a)$ 蘊含 $P(a)$	命題 1 關於 蘊含的直接證明.
3	對於所有$x$，（$P(x)$ 蘊含 $P(x)$)	由 1 和 2

用散文形式，這變成

命題 1：對於所有$x$，（$P(x)$ 蘊含 $P(x)$）。

證明： 設 $a$ 為任意值。然後 $P(a)$ 蘊含 $P(a)$ 由命題 1 關於 蘊含的直接證明 推出。因此 $P(x)$ 蘊含 $P(x)$ 對所有 $x$ 成立。

使用一個全稱量詞

使用全稱量詞的規則相對簡單。

如果 $a$ 是一個常數，那麼由

對於所有 $x$，$P(x)$

推匯出

$P(a)$.

基本上，這意味著如果 $P(x)$ 對所有 $x$ 成立，那麼它對 $x$ 的特定值 $a$ 成立。請注意，只有當 $a$ 在當前範圍內定義時，此規則才有效。

示例證明 #2

我們現在擁有了證明涉及全稱量詞的語句所需的所有推理規則，所以讓我們透過另一個例子來運用它們。經典的三段論

所有人都是凡人。

蘇格拉底是一個人。

因此蘇格拉底是凡人。

可以用我們的符號表示為

對所有 $x$， ($P(x)$ 蘊含 $M(x)$).

$P(s)$

因此 $M(s)$

其中 $P(x)$ 是謂詞 $x$ 是一個人，$M(x)$ 是謂詞 $x$，而 $s$ 是常量蘇格拉底。這應該是一個三段論，換句話說，結論應該對任何 $P$、$M$ 和 $s$ 有效，只要前兩個陳述有效。這相當於

命題 2: 對於所有 $x$，($P(x)$ 蘊含 $M(x)$) 並且 $P(s)$ 蘊含 $M(s)$

這是一個蘊含，所以從直接證明的標準概要開始。

行	語句	證明
1	對於所有 $x$，($P(x)$ 蘊含 $M(x)$) 並且 $P(s)$	假設
(某些內容)
n	$M(s)$	?
n+1	對於所有$x$，($P(x)$ 意味著 $M(x)$) 以及 $P(s)$ 意味著 $M(s)$	來自 1 和 n

最好將“以及”分開成獨立的語句。

行	語句	證明
1	對於所有 $x$，($P(x)$ 蘊含 $M(x)$) 並且 $P(s)$	假設
2	對於所有$x$，($P(x)$ 意味著 $M(x)$)	從 1
3	$P(s)$	從 1
(某些內容)
n	$M(s)$	?
n+1	對於所有$x$，($P(x)$ 意味著 $M(x)$) 以及 $P(s)$ 意味著 $M(s)$	來自 1 和 n

我們有 $P(s)$ 並需要推匯出 $M(s)$，因此類似 $P(s)$ 意味著 $M(s)$ 的東西會起作用。但我們可以透過將 s 應用於全稱量詞來得到它。填充細節給出

行	語句	證明
1	對於所有 $x$，($P(x)$ 蘊含 $M(x)$) 並且 $P(s)$	假設
2	對於所有$x$，($P(x)$ 意味著 $M(x)$)	從 1
3	$P(s)$	從 1
4	$P(s)$ 意味著 $M(s)$	從 2
5	$M(s)$	從 2 和 4
6	對於所有$x$，($P(x)$ 意味著 $M(x)$) 以及 $P(s)$ 意味著 $M(s)$	從 1 和 5

翻譯範疇命題

歷史上，邏輯處理的是範疇命題；這些命題以特定方式將兩個謂詞聯絡起來。有四種類型

所有 P 都是 Q。

沒有 P 是 Q。

有些 P 是 Q。

有些 P 不是 Q。

第一種型別，我們在上一節中已經見過，變成

對於所有$x$，($P(x)$ 意味著 $Q(x)$）。

在我們的符號中。第二種型別可以改寫為

所有 P 都不是 Q。

所以在我們的符號中它變成了

對於所有 $x$，($P(x)$ 意味著不 $Q(x)$）。

注意，我們從命題邏輯中得到

$P(a)$ 意味著不 $Q(a)$ 當且僅當 $Q(a)$ 意味著不 $P(a)$。

我們留作練習來證明

沒有 P 是 Q 當且僅當沒有 Q 是 P。

現在想想第一種型別

所有 P 都是 Q。

是假的意味著什麼。需要有一個既是 P 又不是 Q 的物件。換句話說，第四種類型的語句

有些 P 不是 Q。

必須為真。另一方面，如果

有些 P 不是 Q。

是假的，那麼沒有 P 不是 Q，換句話說，

所有 P 都是 Q。

所以第四個語句

有些 P 不是 Q。

可以翻譯為

不（所有 P 都是 Q）。

或者

不（對於所有 $x$，($P(x)$ 意味著 $Q(x)$))。

同樣，第三個語句

有些 P 是 Q。

可以翻譯為

不（沒有 P 是 Q）。

或者

不（對於所有 $x$，($P(x)$ 意味著不 $Q(x)$))。

我們將在下一頁介紹另一個量詞，這將使這些表示式更容易處理。同時，我們留作練習將兩個範疇三段論

所有 P 都是 Q。

所有 Q 都是 R。

因此所有 P 都是 R。

和

所有 P 都是 Q。

沒有 R 是 Q。

因此沒有 P 是 R。

翻譯成我們的符號，並使用我們迄今為止給出的推理規則來證明它們。

您可能已經注意到，我們試圖將範疇命題翻譯成我們的符號的結果，既比原來的命題冗長，也不像自然語言那麼自然。因此您可能會想知道，我們的符號有什麼優勢。一個優勢是，我們的符號足以表達所有數學語句，而範疇命題本身過於限制。其次，範疇三段論並沒有涵蓋證明定理所需的所有有效推理形式。考慮

所有三角形和矩形都是直線圖形。

所有正方形都是所有邊相等的矩形。

因此所有正方形都是直線圖形。

這似乎是一個有效的三段論，但由於前提都包含三個謂詞而不是兩個，所以它不是範疇三段論之一。此外，範疇命題只處理謂詞，而不處理關係，而只用謂詞進行數學運算是不可能的。