數學證明與數學原理/預備知識

數學的研究建立在邏輯的基礎上。所有嚴謹的數學論證都依賴於邏輯，因此理解和熟悉基本邏輯至關重要。

在此基礎上構建了數學概念。這些概念的性質由邏輯陳述來描述，邏輯陳述由一組稱為公理的基本陳述和從這些公理邏輯推匯出的陳述組成。一些數學概念是根據更基本的概念來定義的，但存在一個底層，其中這些概念是未定義的。在這一點上，只有由公理給出的概念之間的關係被給出。這意味著數學物件的最終性質是不可知的，並且可能存在許多不同的解釋。

在數學的研究中，理解符號和術語的作用和意義也很重要，符號和術語是用來描述數學的語言。儘可能地，這種語言是精確的，沒有歧義的，這使得它不同於自然語言的正常使用。由於這種差異，需要一些時間和練習才能習慣數學語言，就像學習第二語言一樣。

一些初始定義

我們最初的定義大多是直觀的，而不是嚴格的。更嚴格的定義構成了理論的一部分，而這些理論本身就是研究的主題，鼓勵讀者檢視正式的定義，但這些定義超出了本文的範圍。

我們將稱任何（數學）陳述為一個邏輯陳述，該陳述要麼明確地為真，要麼明確地為假。例如，“3 小於 4”是一個真實的邏輯陳述，“9 是偶數”是一個錯誤的邏輯陳述，而“本陳述為假”不是一個邏輯陳述。

每個陳述都有一個否定。如果一個陳述為真（假），它的否定就為假（真）。

我們定義單詞集合的意思是“不同‘數學物件’的集合”（我們保留‘數學物件’一詞未定義，但可以被認為是任何可以用數學方法描述的物件）。我們說一個物件是包含它的集合的元素。

我們定義單詞函式的意思是：“一個將一個集合（稱為定義域）中包含的每個元素明確地關聯到另一個集合（稱為值域）中一個元素的規則”。

符號

符號 ":=" 被定義為讀作“定義為等於”，並用於定義用於指代常用物件的字母或符號。涉及符號 ":=" 的陳述總是被假定為真。符號 ":=" 和 "=" 之間存在一個微妙但重要的區別。例如，我們可能首先寫“a:=4”。這定義了符號'a'等於 4，然後假設為真。然後，“a=5”和“a=4”是陳述，前者為假，後者為真。

陳述通常用字母 $P$ 和 $Q$ 來表示。

集合通常用大寫字母 $A$ 和 $B$ 來表示。如果我們想表明一組物件構成一個集合，我們將使用花括號來表示它。例如，$\{1,2,3,4\}$ 是包含 1、2、3 和 4 的集合。

我們定義符號 "$\in$" 的意思是：“是……的元素”。所以，$x\in A$ 讀作“$x$ 是（集合）$A$ 的元素”，並且是一個邏輯陳述。因此，例如 $1\in \{1,2,3,4\}$ 是一個真實的陳述，而 $5\in \{1,2,3,4\}$ 是錯誤的。

函式通常用字母 $f$ 和 $g$ 表示。如果集合 $A$ 是定義域，集合 $B$ 是函式 $f$ 的陪域，我們就寫 $f:A\rightarrow B$，讀作“$f$ 將 (集合) $A$ 對映到 (集合) $B$”。如果 $x\in A$，我們將使用符號 $f(x)$ 來表示陪域 $B$ 中與 $x$ 透過函式 $f$ 關聯的元素。

在陳述中，一個詞往往可以被替換。當出現這種情況時，$P$ 被稱為謂詞。例如，我們可以定義符號 $P(x)$ 表示“x 是奇數”。那麼 $P(2)$ 和 $P(5)$ 都是語句，第一個語句是假的，第二個語句是真 的。

我們只直觀地定義 **集合** 的概念，它是一個由稱為集合 **元素** 的不同數學物件組成的集合。寫集合的標準符號是“大括號”。例如，我們寫 $A:=\{1,2,3,4\}$，這意味著“A”按定義是指包含元素“1”、“2”、“3”和“4”的集合。我們定義符號“$\in$”表示“是…的元素”。那麼“$1\in A$”和“$5\in A$”都是語句，第一個語句是真 的，第二個語句是假的。

集合可以包含無限多個物件，甚至可以包含自身。一些最常用的無限集是 "自然數"，用 $\mathbb {N}$ 表示；"有理數"，用 $\mathbb {Q}$ 表示；以及 "實數"，用 $\mathbb {R}$ 表示。

集合也可以透過邏輯語句來定義。符號 "$\{x|P(x)\}$" 的意思是 "所有滿足條件 P(x) 為真語句的 x 的集合"。例如，如果像之前一樣，$P(x):=$ "x 是奇數"，那麼 $\{x|P(x)\}$ 是所有奇數的集合。那麼，語句 "$1234\in \{x|P(x)\}$" 是假的，而語句 "$1233\in \{x|P(x)\}$" 是真的。

對於任何集合 $A$，有時也會使用符號 "$\{x\in A|P(x)\}$"，意思是 "集合 A 中所有滿足條件 P(x) 為真的 x 的集合"。