數學證明與數學原理/集合
集合論是現代數學基礎的一部分。事實上，大多數數學物件可以用集合論的語言來描述。
由於集合是基礎性的，我們不會試圖用其他數學概念來定義它們。相反，我們透過給出一些規則，稱為公理，來對它們進行形式化，從這些公理我們可以推匯出我們感興趣的所有其他集合屬性。
首先，我們必須糾正你可能從學校學到的關於集合的一些錯誤印象。你可能學過集合被定義為事物的集合，並給出了一些例子，比如 .
首先，"集合"一詞的定義用到了"集合"一詞，意思幾乎一樣。這可能有助於建立對集合的某種直覺，但它最終是迴圈的；你不能用自身來定義事物。這就是為什麼我們將"集合"一詞作為未定義的概念；"集合"一詞的直覺意義是"集合"的一種解釋，但可能還有其他的。
其次，集合論的話語宇宙只包含集合；沒有動物、顏色、國家等等。應該說，集合論的一些變體，特別是早期版本，允許使用所謂的尿素，它們不是集合。(“尿素”這個詞發音為 ur-element，來自德語字首 ur-，意思是根，加上“元素”一詞。) 看起來，只有集合會導致一個相當貧瘠的理論，但人們在 20 世紀初意識到，這些尿素是不需要用來研究數學的。你所熟悉的所有數學物件，數字、函式、平面上點，都可以用集合來建模。注意，假設 "假設 是一個集合" 是沒有意義的。物件 自動地是一個集合，因為它是我們話語宇宙中的一個物件，所以沒有必要假設它是集合。
第三，雖然可以使用元素列表來定義集合，但這實際上是使用謂詞來定義集合的一種特殊情況，正如通常所做的那樣。因此，雖然你可以寫 ，但這實際上是 的簡寫。
雖然我們不能用更基本的東西正式定義集合，但我們可以使用集合作為物件的集合的非正式思想作為直覺的指導。更具體地說，集合是元素的無序集合，沒有重複。
"無序"的意思是元素沒有特定的順序。重新排序元素不會得到新的集合。"沒有重複"的意思是集合的元素不被認為在集合中多次出現。它要麼在集合中，要麼不在其中。如果我們試圖將一個已經在集合中的元素放入集合中，什麼也不會改變。
我們用 表示 x 是集合 A 的元素。我們也可以用 表示 x 不是 A 的元素。
對於下面給出的例子，能夠假設自然數 0、1、2、... 存在於我們的宇宙中，而不需要正式定義什麼是數字，這一點非常方便。為了保持嚴格性，我們只在給出說明性例子時使用數字。我們對集合論的正式發展不依賴於數字，直到我們定義它們。我們將在後面證明數字可以被定義為集合，雖然一開始這似乎有點反直覺。
例如，我們以上面使用過的集合 為例。我們讀作，P 是包含元素 0、2 和 5 的集合。用花括號括起來的列表是表示集合的標準符號，集合的元素就是列表中的條目。
由於集合的元素是無序的且沒有重複，集合 與 P 相同。
另一個例子是 。這是透過理解來定義集合的一個例子，這意味著是否為元素由元素本身的某些性質決定。如上所述，這種定義集合的方法包含列表方法作為一種特例。
符號 讀作，“x 是 y 的一個元素”，或，“x 在 y 中”，意思是 x 是 y 的元素之一。我們通常會在謂詞符號上畫一條斜線來否定謂詞，因此在這種情況下，符號 表示 x 不是 y 的元素。在我們的例子中，
注意，我們已經定義了這裡的一些集合符號，但這種符號假設所涉及的集合實際上存在。這必須從本章後面討論的公理中證明。
集合由其中的元素定義的原理被稱為外延性。它由 ZF 集合論的第一個公理描述。
集合論的公理化
[edit | edit source]集合論的公理化方法不止一種，但最流行的當屬 ZF 集合論，它由大約九條規則描述，被稱為 Zermelo-Fraenkel 公理。這些公理（我們將在華夏公益教科書中詳細討論）如下所示：
- 外延性公理
- 存在性公理
- 對公理
- 並公理
- 理解公理模式
- 冪集公理
- 基礎公理
- 無窮公理
- 替換公理模式
還有一個第十個公理，叫做選擇公理，通常會新增它，形成 ZFC 集合論。但是，當某個特定結果需要選擇公理時，數學家通常會明確說明這一點，因為選擇公理不像其他公理那樣沒有爭議。
ZF 集合論被廣泛認為是一致的，但它符合哥德爾不完備性定理的條件；這意味著不可能證明它的自洽性。
已知該理論是不完備的，事實上，人們知道一些語句，這些語句本身或其否定都無法在 ZFC 中證明。其中最著名的就是連續統假設，我們將在後面討論。
通常情況下，集合論的公理並非相互獨立的。這部分原因是歷史原因；策梅洛最初的公理版本隨著時間的推移而擴充套件，這些擴充套件使得一些最初的公理變得多餘。