物理數學方法/線性代數

我們可以在其上研究“代數”和“微積分”運算的最簡單的人類已知結構是巴拿赫空間。希爾伯特空間在物理學中的重要性在於，希爾伯特空間不僅是巴拿赫空間的特例，而且還包含內積和相關的共軛對稱性概念。（本章需要對基本測度理論有一定的瞭解）

內積

令 $V$ 是一個在 $F$ 上的向量空間（這裡， $F$ 代表 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ ）。二元運算 $(\cdot ):V\times V\to F$ 被認為定義了一個內積當且僅當，

對於所有 $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ ， $a,b\in F$

(i) （共軛對稱性）： $(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\overline {(\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} )}}$

這意味著

(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )\in \mathbb {R}

因為

(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )}}

(ii) （第一個變數的線性）： $(a\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )=a(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$

共軛對稱意味著

(\mathbf {x} \cdot b\mathbf {y} )={\overline {(b\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} )}}={\overline {b(\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} )}}={\overline {b}}(x\cdot y)

(iii) (正定性)： $(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )\geq 0$ 對所有 $\mathbf {x} \in V$

(iv) (確定性)： $(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )=0$ 當且僅當 $\mathbf {x} =\mathbf {0}$

如果在 $V$ 上定義了內積，我們說 $V$ 是一個內積空間。

複共軛有時用 ${\overline {z}}=z^{*}$ 表示

希爾伯特空間

觀察到內積的正定性意味著我們可以定義一個範數在 $V$ 上為 $\forall \mathbf {x} \in V$ ， $\|\mathbf {x} \|=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )^{1/2}$

如果 $V$ 在此範數下是完備的，我們說 $V$ 是一個希爾伯特空間。

因此希爾伯特空間是一個完備的內積空間。

例子

在下面給出的希爾伯特空間的例子中，標量的底層域是複數C，儘管類似的定義適用於標量的底層域是實數R的情況。

歐幾里得空間

每個有限維內積空間也是希爾伯特空間。例如，Cⁿ，其內積定義為

\langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\overline {y_{k}}}

其中複數上的橫線表示其複共軛。

序列空間

給定一個集合B，序列空間 $\ell ^{2}$ （通常讀作“小ell二”）在B上定義為

\ell ^{2}(B)={\big \{}x:B{\xrightarrow {x}}\mathbb {C} {\text{ and }}\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty {\big \}}.

此空間成為具有內積的希爾伯特空間

\langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}

對於所有x和y在 $\ell ^{2}(B)$ 中。B不必在這個定義中是一個可數集，儘管如果B不可數，那麼結果的希爾伯特空間不可分離。每個希爾伯特空間都與 $\ell ^{2}(B)$ 的形式之一同構，對於一個合適的集合B。如果B=N，自然數，這個空間是可分離的，簡稱為 $\ell ^{2}$ .

從舊的希爾伯特空間中得到新的希爾伯特空間

兩個（或更多）希爾伯特空間可以透過取它們的直和或張量積來組合以產生另一個希爾伯特空間。

平方可積函式

在希爾伯特空間的例子中，對物理學家最感興趣的是 ${\mathcal {L}}^{2}$ 空間。

考慮 ${\mathcal {L}}^{2}$ 是所有函式 $f:[a,b]\to \mathbb {C}$ 的集合，這些函式是關於實測度 $\mu$ 平方可積的，也就是說 $\int _{a}^{b}\|f\|^{2}d\mu$ 是定義明確的。

在 ${\mathcal {L}}^{2}$ 上定義內積為

$(f*g)=\int _{a}^{b}f(x)^{*}g(x)d\mu$

只要任何一對函式 $f,g$ 之間的內積存在，我們就可以看到 ${\mathcal {L}}^{2}$ 是一個內積空間。

讀者可能會注意到這裡存在一個歧義，因為 $(f*g)=(f*g')$ 不一定意味著 $g=g'$ 。為了解決這個問題，我們使用函式之間不同的等價關係， $f\sim f'\Leftrightarrow \int _{a}^{b}\|f-f'\|d\mu =0$ ，因此， $f=f'$ 在 $[a,b]$ 的所有點上都相等，除了度量為 $0$ 的點集。