化學數學/複數

複數簡介

方程

$x^{2}+6x+13=0$

無法分解

$x=-3\pm {\sqrt {9-13}}$

${\sqrt {-4}}$ 在沒有複數的情況下不存在。然而，數字 $i={\sqrt {-1}}$ 在代數中表現得和其他任何數字一樣，沒有任何異常，這使我們能夠解決這個問題。

解是$-3\pm 2i$.

$2i$ 是一個虛數。 $-3-2i$ 是一個複數。

兩個複數$(a,b)=a+ib$ 透過$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $=a+c+i(b+d)$ 相加。

減法顯而易見：$(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)$.

$(a,b).(c,d)=ac+i(ad+bc)-bd$

除法可以作為練習來完成。它需要$(c+id)(c-id)$ 作為公分母。這是$c^{2}-(id)^{2}$（兩個平方差），並且是$c^{2}+d^{2}$.

這意味著

${\frac {(a,b)}{(c,d)}}={\frac {ac+bd+i(cb-ad)}{c^{2}+d^{2}}}$

在實際應用中，複數可以簡化磁性和角動量的數學運算，同時完善了數字系統。

笛卡爾$x-y$平面與複數$x+iy$之間存在明顯的對應關係。這被稱為阿根圖。然而，這種對應關係是虛幻的，例如，當你將$i$的平方根提高到一系列遞增的冪次時。它不會變得更大，而是繞著原點旋轉。這並非普通數字的性質，而是複數平面上行為的基本特徵之一。

在同一個阿根圖上繪製$2-i,~~~~3i-1,~~~~-2-2i$

求解

$x^{2}+4x+29=0$

$4x^{2}-12x+25=0$

$x^{2}+2ix+1=0$

(答案 -2 正負 5i, 3/2 正負 2i, i(-1 正負 根號 2)

兩個重要的方程需要熟悉，尤拉公式

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

和棣莫弗定理

${(\cos \theta +i\sin \theta )}^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

從$e^{i\theta }$的麥克勞林展開式可以明顯看出尤拉公式。

為了找到$i$的平方根，我們使用棣莫弗定理。

$e^{i{\frac {\pi }{2}}}=0+1i$

所以棣莫弗定理得出${\sqrt {e^{i{\frac {\pi }{2}}}}}=\cos {\frac {\pi }{2.2}}+i\sin {\frac {\pi }{2.2}}$

$={\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i$

透過平方來驗證，得到$i$.

另一個根來自

${\frac {5\pi }{4}}+i\sin {\frac {5\pi }{4}}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}i$

可以使用棣莫弗定理找到單位根的 _三個_ 立方根，方法如下：

$1=\cos \theta +i\sin \theta$

其中 $\theta$ 可以是 $0\pm 2\pi /n$.

令 $n=1/3$，$\cos \theta =-1/2$ 且 $\sin \theta =\pm {\sqrt {3}}/2$

${\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\right)}^{3}=\left({\frac {1}{4}}-{\frac {3}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\right)\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\right)$

$=\left(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\right)\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\right)$

這是兩個平方差，所以

${\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {3}{4}}i^{2}~~=~~~{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}$

類似地，可以使用這種方法得到任何包含 $n$ 個 1 的 n 次方根的表示式。

另一個例子是，在不展開 $\cos(2\theta +2\theta )$ 的情況下，得到 $\cos 4\theta$ 和 $\sin 4\theta$ 的表示式。

$\cos 4\theta +i\sin 4\theta ={(\cos \theta +i\sin \theta )}^{4}$

記住帕斯卡三角形

                          1
                      1   2   1
                    1   3   3   1
                  1   4   6   4   1
                1   5   10  10  5   1
              1   6   15  20  15  6   1

$=\cos ^{4}\theta +4\cos ^{3}\theta i\sin \theta +6\cos ^{2}\theta i^{2}\sin ^{2}\theta +4\cos \theta i^{3}\sin ^{3}\theta +i^{4}\sin ^{4}\theta$

$=\cos ^{4}\theta -6\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta +\sin ^{4}\theta +i(4\cos ^{3}\theta \sin \theta -4\cos \theta \sin ^{3}\theta )$

分離實部和虛部 得到兩個表示式。這比

$\cos(2\theta +2\theta )$

使用相同的步驟得到

$\cos 6\theta$ 和 $\sin 6\theta$.