化學數學/微分

來自 HEFCE 的免費網路材料

在數學導師有一個關於微分的 DVD。

基本多項式

最基本的微分型別是

$f(x)=x^{n}$

$f^{'}(x)=nx^{n-1}$

有兩個簡單的規則

函式乘以常數的導數只是常數乘以導數。
函式之和的導數只是兩個導數之和。

要獲得更高的導數，例如二階導數，只需不斷應用相同的規則。

微分的一個重要用途是找到函式的駐點，即最大值和最小值。如果函式是光滑的（不像鋸齒狀），可以透過求解一階導數為零的方程來輕鬆找到這些點。

鏈式法則

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dw}}.{\frac {dw}{dx}}$

這最好用例子來解釋：已知 $y={(x^{4}+1)}^{9}$ ，求 ${\frac {dy}{dx}}$

令 $y=u^{9}$ 且 $u=x^{4}+1$ .

現在 ${\frac {dy}{du}}=9u^{8}$ 且 ${\frac {du}{dx}}=4x^{3}$

因此，根據鏈式法則，我們有 $9{(x^{4}+1)}^{8}.4x^{3}=36x^{3}{(x^{4}+1)}^{8}$

微分乘積

${\frac {d(u.v)}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}$

注意，對乘積進行微分時會產生兩個項。（項是由加號或減號連線的數學表示式。）一個重要點是，表示物理量的項必須具有相同的單位和量綱，或者必須是純粹的無量綱數。你不能把 3 個橙子和 2 個梨加起來得到 5 個橙梨。

對商進行微分

你可以用它來微分 $\tan$ 。

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$

問題

關於 $x$ 求導

$3x^{2}-x(1+x)(1-x)$

注意我們有 $(a^{2}-b^{2})$ 。 $4x^{7}-3x^{2}$

${(3x+2)}2+e^{x}$

$8x^{6}-12{\sqrt {x}}$

$x{(x+3)}2$

$x^{2}(3x-(2+x)(2-x))$

首先計算內層括號。

計算

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(e^{z}-{\frac {z^{9}}{18}}-{\frac {3}{z^{2}}}\right)$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}c}}\left({\sqrt {c^{5}}}\right)$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\omega }}\left({\frac {1}{\omega }}-{\frac {1}{\omega ^{2}}}-{\frac {1}{\omega ^{3}}}\right)$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\phi }}\left(e^{\phi }-\left({\frac {1}{\phi ^{2}}}+{\frac {3}{2}}\phi ^{2}\right)\right)$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}r}}\left(e^{5r}-\left({\frac {a}{r^{3}}}+{\frac {b}{r^{6}}}+{\frac {c}{r^{9}}}\right)\right)$

a, b 和 c 是常數。對 $r$ 求導。

$3re^{-3r}$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left(x^{6}e^{x}\right)$

答案

$3x^{2}+6x-1$

$28x^{6}-6x$

$e^{x}+18x+12$

$48x^{5}-{\frac {6}{\sqrt {x}}}$

$3x^{2}+12x+9$

$4x^{3}+9x^{2}-8x$

$e^{z}+{\frac {z^{8}}{2}}+{\frac {6}{z^{3}}}$

${\frac {5}{2}}c^{3/2}{\rm {or}}{\frac {5}{2}}{\sqrt {c^{3}}}$

$-{\frac {1}{\omega ^{2}}}+{\frac {2}{\omega ^{3}}}+{\frac {3}{\omega ^{4}}}$

$e^{\phi }+{\frac {2}{\phi ^{3}}}-3\phi$

$5e^{5r}+{\frac {3a}{r^{4}}}+{\frac {6b}{r^{7}}}+{\frac {9c}{r^{10}}}$

$e^{-3r}(3-9r)$

$x^{5}e^{x}(x+6)$

更難的求導問題

關於 $x$ 求導

$x^{4}{(x+9)}^{5}$

$5x^{2}{(x^{2}-7x+9)}^{5}$

對 $r$ 求導

${(r^{2}+3r-1)}^{3}e^{-4r}$

對 $\omega$ 求導

${\frac {1}{{\omega }^{4}}}\left({{\omega }^{2}-3\omega -19}\right)$

${\frac {e^{\omega }}{{\omega }^{4}}}$

計算

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(e^{-4z}\left({z-1}^{2}\right)\right)$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\phi }}\left(\phi ^{2}e^{-2\phi }\left(1-{\frac {1}{{\phi }^{2}}}\right)\right)$

使用微分來檢查轉折點

${\frac {dy}{dx}}$ 是切線或梯度。在最小值處 ${\frac {dy}{dx}}$ 為零。這在最大值或拐點處也成立。第二個梯度告訴我們點的性質。如果 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ 為正，則轉折點為最小值，如果為負，則為最大值。在大多數情況下，我們感興趣的是最小值，但在過渡態理論中除外。

如果 $y=x^{3}$ 的方程被繪製出來，可以看出在 $x=0$ 處存在第三種點，即拐點，在那裡 ${\frac {dy}{dx}}$ 和 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ 都為零。

$y=f(x){\frac {dy}{dx}}=f^{'}(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f^{''}(x)$

在 -4 到 +3 之間，以 1 為單位繪製 $x^{3}+x^{2}-6x$ 的圖形。（先將方程分解因式會加快繪圖速度，然後你會發現有 3 個地方 $f(x)=0$ ，所以你只需要計算 5 個點。）透過分解因式，你可以看到該方程有 3 個根。找到 2 個拐點。（求一次導數，並使用 $x=-b\dots$ 公式找到二次方程的根。這將給出零兩側 2 個拐點的座標。由於方程只有 $x^{3}$ ，所以它最多有 3 個根和 2 個極值點，因此我們已經解決了所有問題。再次對你的二次方程求導，得到 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ 。注意，零左側的拐點是極大值，即 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-ve$ ，另一個是極小值，即 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=+ve$ 。