化學數學/積分

來自 HEFCE 的免費網路材料

在 數學輔導 上有一個關於積分的 DVD。

基本多項式

$f(x)=x^{n}$

$\int {f(x)}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c$

這對於除 -1 之外的所有冪都適用，例如，積分

${\frac {1}{x^{7}}}$

只是

$-{\frac {1}{6x^{6}}}+c$

-1 顯然是一個特殊情況，因為它涉及到 $x=0$ 時的無窮，並且隨著 $x$ 變小而變為一個陡峭的尖峰。正如您之前所學，這個積分是 $x$ 的 自然對數，而無窮大是存在的，因為零的對數是負無窮大，而負數的對數是未定義的。

正負次冪的積分和微分

   >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Differentiation

   1/3 x*x*x  x*x       2x        2         0        0       0       0

   1/3 x*x*x  x*x       2x        2         ?        ?       ?       ?

   Integration<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

   I(x)        H(x)     G(x)      F(x)      ln(x)   1/x    -1/(x*x)

這裡，I、H、G 和 F 是涉及 $\ln x$ 的更復雜函式。

當您進行更多積分時，您將能夠輕鬆地計算出它們。需要注意的是，負次冪和正次冪的微積分並不對稱，這本質上是由 ${\frac {1}{x^{n}}}$ 在 $x=0$ 處的極點或奇點造成的。

對數

對數 是由 17 世紀的蘇格蘭地主納皮爾發明的。他發明了許多東西，但他最持久的成就源於需要進行天文計算中使用的許多長除法和三角函式計算。皇家海軍在後來的幾年裡投入了大量的時間和金錢來發展對數技術以用於航海目的，這導致了第一個機械儲存程式計算機的委託，該計算機在理論上是合理的，但無法由 查爾斯·巴貝奇 在 1833 年至 1871 年間製造。

該系統的核心是冪的性質的觀察

${\frac {e^{a}}{e^{b}}}=e^{a-b}$

這意味著如果我們有 $e^{x}$ 的逆函式，我們可以透過查閱表格中的指數來將長除法轉化為減法。在計算器出現之前，這是許多計算的方式。

$y=e^{x}$

$\ln y=x$

奈皮爾最初在他的計算中使用以 $e$ 為底的對數，但大約一年後，他被布里格斯拜訪，布里格斯建議使用以 10 為底的對數更實用。但是，以 $e$ 為底的對數對於微積分和熱力學來說是必要的。

積分 1/x

$x=e^{y}~~~~~~~~~{\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}y}}=e^{y}~~~~~{\rm {also}}=x$

這是因為 $e^{y}$ 是我們的函式，它以自身的量為速率減小或增長。

$y=\ln x$

這是我們對對數的定義。

${\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}y}}={\frac {1}{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}}~~~~~~{\rm {also}}=x$

所以

${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}={\frac {1}{x}}$

$\int {\frac {dy}{dx}}dx=y$

所以

$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x$

積分類似 1/x 的函式

就像

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln x={\frac {1}{x}}$

所以

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln u={\frac {1}{u}}{\frac {{\rm {d}}u}{{\rm {d}}x}}$

因此，根據*鏈式法則*

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln f(x)={\frac {f^{'}(x)}{f(x)}}$

所以

$\int {\frac {f^{'}(x)}{f(x)}}{\rm {d}}x=\ln |f(x)|+c$

以下是一些示例：

$\int {\frac {\cos \phi }{1+\sin \phi }}{\rm {d}}\phi =\ln(1+\sin \phi )+c$

或者

$\int {\frac {\sin \phi }{1+\cos \phi }}{\rm {d}}\phi =-\ln(1+\cos \phi )+c$

以及

$\int {\frac {e^{y}}{e^{y}+2}}{\rm {d}}y=\ln(e^{y}+2)+c$

由於 $1/x$ 的積分是 $\ln$，因此 $\ln$ 的微分是 $1/x$，因此

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln 5x^{3}=\ln 5+\ln x^{3}=\ln 5+3\ln x$

$\ln 5$ 只是一個常數，所以 ${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}=0$，因此

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln 5x^{3}={\frac {3}{x}}$

這也可以透過鏈式法則來完成

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln 5x^{3}={\frac {1}{5x^{3}}}.{\frac {{\rm {d}}(5x^{3})}{{\rm {d}}x}}={\frac {15x^{2}}{5x^{3}}}={\frac {3}{x}}$

有趣的是，5 消失了。對數函式的梯度不受乘數的影響！這是對數的基本性質。

關於無窮大的一些觀察

顯然 ${\frac {1}{0}}$ 是 $\infty$.

${\frac {0}{0}}$ 和 ${\frac {\infty }{\infty }}$ 是未定義的，但有時一個大數除以一個大數可以有定義的值。例如，$\sin$ 90 度，你會記得它是大對邊除以大斜邊，但在無限薄三角形的極限情況下，它們變得相等。因此，$\sin$ 為 1。

定積分（極限）

記住我們如何做定積分

$\int _{0}^{3}{(f(x))}={\left[F(x)\right]}_{0}^{3}=F(3)-F(0)$

其中 $F$ 是 $f$ 的不定積分。

這裡有一個使用極限來計算四次方程切割出的 3 個面積的例子

$x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x$.

我們看到 $x=1$ 是一個解，所以我們可以做多項式除法

        x3  -x2 -2x
      -------------------
 x-1  ) x4 -2x3 -x2 +2x
        x4  -x3
       --------
            -x3 -x2
            -x3 +x2
            -------
                -2x2 +2x
                -2x2 +2x
                --------
                     0

因此方程為 $x(x^{2}-x-2)(x-1)$，它分解為

$x(x-2)(x+1)(x-1)$.

$\int _{a}^{b}{x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x}={\left[x^{5}/5-x^{4}/2-x^{3}/3+x^{2}\right]}_{a}^{b}$

用換元法進行積分

$\int \sin \theta \cos \theta {\rm {d}}\theta =\int u{\frac {{\rm {d}}u}{{\rm {d}}\theta }}{\rm {d}}\theta$

其中 $u=\sin \theta$.

$\int \sin \theta \cos \theta {\rm {d}}\theta ={\frac {\sin ^{2}\theta }{2}}+c$

$\int \sin ^{9}\theta \cos \theta {\rm {d}}\theta ~~~~~~~{\rm {similarly}}~~~~~~~~={\frac {\sin ^{10}\theta }{10}}+c$

三角函式和指數函式的簡單積分

$\int {4e^{2x}}dx$

$\int {-9e^{-3x}}dx$

$\int {\sin 2\theta }d\theta$

$\int {\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta }d\theta$

$\int {-\cos \phi }d\phi$

答案

$2e^{2x}+c$

$3e^{-3x}+c$

$-{\frac {1}{2}}\cos 2\theta +c$

$\theta +c$

即 $1d\theta$ 的積分。

$\sin \phi +c$

分部積分

這在很多教科書和維基百科中都有介紹。它們的符號可能與這裡使用的符號不同，這裡希望使用的符號是最清晰的。您可以透過對乘積法則進行積分來推匯出該表示式。然後，您可以將其中一個 $UV^{'}$ 變成一個乘積本身來得到這個表示式。

$\int {UV}=U\int {V}-\int {\left(U^{'}\int {V}\right)}$

(所有積分都是關於 $x$ 的。請記住，根據

$\int {UV}=U[{\rm {int}}]-\int {[{\rm {diff}}][{\rm {int}}]}$

($U$ 被求導數)。

重要的是，您必須對乘積的一個表示式求積分，並對另一個表示式求導數。在基本方案中，您對最複雜的表示式求積分，並對最簡單的表示式求導數。每次執行此操作時，您都會生成一個新的項，但被求導數的函式會變為零，並且積分會得到解決。變為零的表示式是 $U$。

另一個常見的方案是，分部公式會在等號右側生成您想要的表示式，並且沒有其他積分符號。然後，您可以重新排列等式，並解決積分。這對於三角函式非常有用，其中 $\sin \rightarrow \cos \rightarrow -\sin \rightarrow -\cos \rightarrow sin$ 無限迴圈。

$e^{x}$ 也會生成自身，並且可以進行相同的處理。

$\int {e^{-x}\sin x}~dx=(-e^{-x})\sin x-\int {(-e^{-x})\cos x}~dx$

$=-e^{-x}\sin x+\int {e^{-x}\cos x}~dx$

$=-e^{-x}(\sin x+\cos x)-\int {e^{-x}\sin x}~dx+c$

現在，我們在等式的兩邊都有所需的積分，所以

$=-{\frac {1}{2}}e^{-x}(\sin x+\cos x)+c$

積分問題

使用分部積分法，分別對以下函式進行積分

$xe^{x}$

$x^{2}\sin x$

$x\cos x$

$x^{2}e^{x}$

$x^{2}\ln x$

$e^{x}\sin x$

$e^{2x}\cos x$

$x{(1+x)}^{7}$

實際上，可以使用分部積分法對該函式進行積分，得到一個兩項式表示式。計算這個積分。使用帕斯卡三角形展開原始被積函式，得到

         2       3       4       5       6      7    8
  x + 7 x  + 21 x  + 35 x  + 35 x  + 21 x  + 7 x  + x

兩項式積分展開為

      2        3         4      5         6      7        8        9
 1/2 x  + 7/3 x  + 21/4 x  + 7 x  + 35/6 x  + 3 x  + 7/8 x  + 1/9 x  - 1/72

因此，可以逐項驗證其正確性。

$3x\sin x$

$2x^{2}\cos 2x$

如果對$x^{7}\sin x$進行積分，需要應用分部積分法7次，才能使$x$變為1，從而產生8個項

    7             6              5               4               3
  -x  cos(x) + 7 x  sin(x) + 42 x  cos(x) - 210 x  sin(x) - 840 x  cos(x) +

        2
  2520 x  sin(x) +  5040 x cos(x) - 5040 sin(x)  + c


(Output from Maple.) 

儘管看起來很複雜，但這個函式具有一定的規律性，即7、7x6、7x6x5 ------7！，以及sin、cos、-sin、-cos、sin、cos等等，因此可以輕鬆手動計算。

微分方程

一階微分方程在許多教科書中都有介紹。它們可以透過積分求解。（一階方程具有 ${\frac {dy}{dx}}$，二階方程具有 ${\frac {dy}{dx}}$ 和 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$。）

任意常數意味著完整的解決方案需要另一個資訊，例如牛頓冷卻定律和半衰期示例。

如果所有 $x$ 可以放到一邊，而所有 $y$ 可以放到另一邊，則該方程是可分離的。

$2y{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}=6x^{2}$

$\int 2y{\rm {d}}y=\int 6x^{2}{\rm {d}}x$

$y^{2}=2x^{3}+c$

這是通解。

典型示例是

$y=x{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\int {\frac {{\rm {d}}y}{y}}=\int {\frac {{\rm {d}}x}{x}}$

$\ln y=\ln x+\ln A~~~~~~(constant)~~~~i.e.~~~~~y=Ax$

根據對數的定義。

${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}=ky~~~~~~~~~~~~~~$ (1)

${\rm {k}}xy={\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}$

$\int {\frac {{\rm {d}}y}{y}}=\int kx{\rm {d}}x~~~~~~~~~~~~~~$ (2)

$~~~~~~~~\ln y={\frac {1}{2}}kx^{2}+A~~~~~~~$ (3)

這對應於

$y=Be^{{\frac {1}{2}}kx^{2}}$

薛定諤方程是一個二階微分方程，例如在一個盒子裡的粒子

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {{\rm {d}}^{2}\Psi }{{\rm {d}}x^{2}}}+E\Psi =0$

經過幾十年的努力，人們才最終找到了針對多原子分子計算效率高的解法。本質上，人們將原子軌道係數展開，然後積分將微分方程轉換為一組數字和積分，即一個矩陣。然後透過矩陣代數求解所得聯立方程，找到解。

三角函式的微積分

用三角函式表達同一個東西有很多不同的方法，通常成功的積分依賴於識別三角恆等式。

$\int {\sin 2xdx}=-{\frac {1}{2}}\cos 2x+c$

但也可能是

$\sin ^{2}x~~{\rm {or}}~~-\cos ^{2}x$

（每個都有一個積分常數！）。

將微積分應用於這些函式時，需要確定哪個形式在當前操作中最簡單。對於積分，它通常包含一個函式與其導數的乘積，例如 $2\sin x\cos x$，可以使用換元積分。

如果在分子中發現導數，而在分母中發現其積分，那麼我們將得到一個 $\ln$ 函式。這就是我們積分 $tan$ 的方法。

$\int {\tan xdx}=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}dx=-\ln ~(\cos x)+c$

我們可以看到這個函式在 $\pi /2$ 處趨於無窮大，正如預期的那樣。

重排積分

舉個例子

$\int {\cos ^{2}xdx}$

這裡沒有 $\sin$ 函式與 $\cos$ 冪相乘，因此我們不能使用換元法。但是，存在以下兩個三角恆等式

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$

以及

$\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta$

使用這些恆等式，我們有

$\int {\cos ^{2}xdx}=\int {{\frac {1}{2}}{(1+\cos 2x)}}dx$

因此我們有兩個可以積分的簡單項。

麥克勞林級數

我們首先假設一個函式可以用一個關於 $x$ 的無窮冪級數來近似

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\dots$

透過求導並將 $x=0$ 代入，得到

$f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}x^{3}+{\frac {f^{''''}(0)}{4!}}x^{4}+\ldots$

正弦、餘弦和 $e^{x}$ 可以用此級數近似表示

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}\dots$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\dots$

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\dots$

注意 $e^{x}$ 也適用於負 $x$。

當求導或積分時，$e^{x}$ 會生成自身！

當求導時，$\sin x$ 會生成 $\cos x$。

利用級數，我們可以將一個複雜函式轉換為多項式，並可以使用 $\sin x=x-x^{3}/6$ 來近似計算較小的 $x$。

事實上，計算機程式內部使用的近似方法更像是：${\frac {ax^{2}+bx+c}{Ax^{2}+Bx+C}}$

這些近似方法具有更大的範圍，但開發起來更困難，在計算器上或用大腦直接估算時也比較繁瑣。

我們無法以這種方式展開 $\ln x$，因為 $\ln 0$ 是

$-\infty$。然而， $\ln(1+x)$ 可以展開。

計算 $\ln(1+x)$ 的級數。

階乘

你在級數中看到的階乘來自重複微分。 $n!$ 也有統計學意義，它表示對 $n$ 個物體進行排列的唯一方法數量。

$0!$ 根據定義為 1，即排列 0 個物體的不同方法數量為 1。

在統計熱力學中，你會在諸如： $W={\frac {N!}{n_{0}!n_{1}!n_{2}!...}}$ 這樣的表示式中遇到許多階乘。

階乘會迅速變得過大：6！= 720，8！= 40320，而 12！= 479001600，因此，如果可能的話，我們需要將它們除以合理數，例如 $8!/6!=7{\rm {x}}8$。

斯特林近似

同樣在統計熱力學中，你會發現斯特林近似

$\ln x!\approx x\ln x-x$

該公式在阿特金斯的物理化學中被證明和討論。

如何使用級數來估計 $\ln 2$。注意， $\ln(1+x)$ 的級數是

$\ln(1+x)$ 收斂速度極慢。 $e^{x}$ 速度快得多，因為

$n!$ 分母迅速變大。

三角函式冪級數

記住，當您使用 $\sin x=x$ 和 $\cos x=1-x^{2}/2$

x 必須以弧度表示.....

微積分複習

問題

對 x 的 x 次方進行積分

1. 對 $e^{-t}\cos 2t$ 求導，關於 $t$。（提示 - 使用鏈式法則。）
2. 對 $x^{2}{(3x+1)}^{4}$ 求導。（這裡使用鏈式法則和乘積法則。）
3. 對 $\ln ~(7x^{4})$ 求導。（提示 - 首先將其拆分成對數之和。）
4. 對 $\ln ~x$ 進行積分。（提示 - 使用分部積分法，並將微分表示式設為 1。）

答案

1. 它就是 $e^{-t}.-2\sin 2t-e^{-t}\cos 2t$。從每一項中提取一個 $-e^{-t}$ 以簡化為 $-a(b+c)$。
2. $2x{(9x+1)}{(3x+1)}^{3}$.
3. $\ln ~7+4\ln ~x$ - 因此它是 $\ln ~x$ 的導數的 4 倍。
4. 透過一次應用“分部積分法”，你應該得到 $x\ln ~x-x$。