化學數學/數論

數字

實數 有多種型別和形式；

• 自然數 是大於或等於零的整數。
• 整數 是用於計數不可分割物件的整數，以及負數等價物和零，例如 42，-7，0
• 有理數 始終可以表示為分數，例如 4.673 = 4673/1000。
• 無理數 與有理數不同，不能表示為分數或確定的十進位制數，例如 $\pi$ 和 ${\sqrt {2}}$

還值得注意的是，虛數單位 因此複數 用於化學，尤其是在處理涉及波的方程時。

根式

根式 的起源可以追溯到希臘哲學家。證明 2 的平方根不能是兩個整數的比率相對簡單，無論這些整數有多大。在一個相當蒙提·派森式 的事件中，該證明的發明者因異端而被其他哲學家處死，因為他們無法相信像 2 的根這樣的純數會具有這種不純的性質。

（二次方程的最初使用非常古老，公元前幾個世紀的巴比倫。）這是為了將土地分配給農民，分配的數量與大洪水發生後傳統的土地數量相同，大洪水改變了底格里斯河和幼發拉底河的田野。這種數學技術在尼羅河三角洲也被用於同樣的目的。

當你以後做三角學時，你會發現根式出現在重要對稱角的三角函式中，例如 $\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}$，因此它們經常出現在與 3 維空間相關的數學表示式中。

符號

化學中用於記錄數字的符號與其他科學學科相同，並適當地稱為科學記數法 或標準形式。與十進位制記數法 相比，它是一種以縮短形式表示極大數和極小數的方法。用科學記數法表示的數字的示例是

$4.65\times 10^{6}$

其中 $.65$ 是一個係數，稱為有效數字 或尾數，$6$ 是一個整數指數。用十進位制記數法表示時，該數字變為

$4650000$.

用科學記數法表示的數字通常是歸一化的，這樣小數點前面只有一個數字。這是為了便於數量級 的比較，只需比較用科學記數法表示的兩個數字的指數，同時也為了最大程度地減少轉錄錯誤，因為小數點在第一個數字之後有一個假定的位置。在計算和計算器中，$\times 10$（“乘以十的 n 次方”）通常用“E”（大寫 e）代替。重要的是不要將這個“E”與數學常數e 混淆。

工程記數法是科學記數法的特殊限制，其中指數必須能被三整除。因此，工程記數法不是歸一化的，但可以輕鬆使用國際單位制詞頭 來表示大小。

請記住，在SI中，數字之間不使用逗號來分隔千位，而是使用空格，例如$18~617~132$（整數）或$1.861~713~2{\rm {x}}10^{7}$。許多國家使用逗號作為小數點。

指數

考慮一個數字$x^{n}$，其中$x$ 是底數，而$n$ 是指數。這通常讀作“$x$ 的 $n$ 次方”或“$x$ 的 $n$ 次冪”。如果$n=2$，那麼通常說“$x$ 的平方”，如果$n=3$，那麼說“$x$ 的立方”。將冪（指數）與正整數 n$(n=1,2,3\dots )$ 的乘法進行比較，可以證明

$4x=x+x+x+x$，即$x$ 的四倍相加

$x^{4}=x\times x\times x\times x$，即$x$ 自身相乘四次。

對於$x^{1}$，結果僅僅是$x$。對於$x^{0}$，結果是$1$。

$x^{n}$ 可以像這樣簡化為乘法，如果 $n$ 是一個整數：$x^{n}=\underbrace {x\times \cdots \times x} _{n}.$

運算順序

當一個表示式包含不同的運算時，它們必須按照一定的順序進行計算。指數首先計算。然後，乘法和除法從左到右計算。最後，加法和減法從左到右計算。括號優先於所有運算。括號內的任何內容必須首先計算。一個常用的記憶運算順序的縮略語是 **PEMDAS**，代表 "Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction"。另一種記憶此縮略語的方法是 "Please Excuse My Dear Aunt Sally"。

請記住，否定通常被認為是乘法。因此，在 $-x^{2}$ 的情況下，指數將首先計算，然後否定，得到一個負數。

請注意以下示例

$3+x\times 2,{\text{ let }}x=5.$

如果計算錯誤（從左到右，沒有運算順序），結果將為 16。三加五等於八，乘以二等於 16。正確答案應該是 13。五乘以二等於十，加三等於 13。這是因為乘法在加法之前解決。

部分分式

部分分式在熱力學中的幾個推導中使用，它們非常適合練習代數和因式分解。

可以以多種方式表達商。在實際應用中，它們可以透過部分分式法收整合一個項或生成多個項。一個複雜的單項商的積分通常很困難，而將其分解成一個和，則可以得到標準積分的和。這是部分分式的主要化學應用。

一個例子是

${\frac {x-2}{(x+1)(x-1)}}={\frac {A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}}={\frac {A}{(x+1)}}+{\frac {B}{(x-1)}}$

在上面的 $x-2$ 必須等於 $A(x-1)+B(x+1)$，因為分母相等。所以我們先將 $x$ 設定為 +1，得到 $-1=2B$。因此，B = -1/2。如果我們將 $x=-1$ 設定為相反的，$-3=-2A$，因此 $A=3/2$。所以

${\frac {x-2}{(x+1)(x-1)}}={\frac {3}{2(x+1)}}-{\frac {1}{2(x-1)}}$

我們可以透過使用公分母來逆轉此過程。

${\frac {3}{2(x+1)}}-{\frac {1}{2(x-1)}}={\frac {3(x-1)-(x+1)}{2(x+1)(x-1)}}}$

分子是 $2x-4$，所以它變成

${\frac {(x-2)}{(x+1)(x-1)}}$

這就是我們開始時的表示式。

因此，我們可以透過將分子乘以分母來生成一個單項式，從而建立公分母，然後將分子加起來進行簡化。一個典型的應用可能是將一個項轉換為部分分數，對這些項進行一些微積分運算，然後重新組合成一個商式以用於顯示。在一個分解後的單一商式中，更容易看出分子在何處變為零，從而給出 $f(x)=0$ 的解，以及分母在何處變為零，從而給出無窮大。

化學中一個有意義的無窮大的典型例子可能是以下表達式：

${\frac {A}{{(E-E_{a})}^{2}}}$

變數是能量 E，所以這個函式在所有地方都很小，除了在 $E_{a}$ 附近。在 $E_{a}$ 附近發生共振，當兩種能量完全相同時，該表示式變為無窮大。可以透過光電子激發的分子具有多個這樣的共振。

這裡還有另一個例子。如果我們必須積分以下表達式，我們首先會將其轉換為部分分數

${\frac {3x}{2x^{2}-2x-4}}={\frac {3x}{2(x+1)(x-2)}}={\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x-2}}$

所以

${\frac {3}{2}}x=A(x-2)+B(x-1)$

令 $x=2$，則 $3=B$

令 $x=1$，則 ${\frac {3}{2}}=-A$

因此，該表示式變為

${\frac {3}{x-2}}-{\frac {3}{2(x+1)}}$

稍後你將瞭解到，這些表示式積分後將給出關於自然對數的簡單表示式。

問題

${\rm {(1)~~~~~~}}{\frac {3}{x^{2}-1}}{~~~~~~~~~~~~{\rm {(2)~~~~~~}}}{\frac {4x-2}{x^{2}+2x}}$

${\rm {(3)~~~~~~}}{\frac {4}{(2x+1)(x-3)}}{~~~~~~~~~~~~{\rm {(4)~~~~~~}}}{\frac {7x+6}{x^{2}+3x+2}}$

${~~~~~~{\rm {(5)~~~~~~}}}{\frac {x+1}{2x^{2}-6x+4}}$

答案

${~~~~~~{\rm {(1)~~~~~~}}}{\frac {3}{2(x-1)}}-{\frac {3}{2(x+1)}}{~~~~~~~~~~~~{\rm {(2)~~~~~~}}}{\frac {5}{(x+2)}}-{\frac {1}{x}}$

${~{\rm {(3)~~~~~~}}}{\frac {4}{7(x-3)}}-{\frac {8}{7(2x+1)}}{~~~~~~~~~~~~{\rm {(4)~~~~~~}}}{\frac {8}{x+2}}-{\frac {1}{x+1}}$

${~~{\rm {(5)~~~~~~}}}{\frac {3}{2(x-2)}}-{\frac {2}{2(x-1)}}$

多項式除法

這與部分分式有關，因為它主要用於簡化積分。

除以

${\frac {3x^{2}-4x-6}{1+x}}$

像這樣

               3x  - 7
             -----------------
      x + 1  ) 3x2  -4x   -6
               3x2  +3x
               ---------
                0   -7x   -6
                    -7x   -7
                    --------
                           1

所以我們的等式變成了 $3x-7+{\frac {1}{1+x}}$

這個可以很容易地微分和積分。如果使用商式求導公式微分，則要將它化簡到相同的形式會相當困難。相同的步驟可以應用於部分分式。

替換和展開

你可以透過簡化來看到改變變數的價值

${\frac {{\left({\frac {J(J+1)}{\epsilon }}\right)}^{3}+2{\left({\frac {J(J+1)}{\epsilon }}\right)}+1}{{\left({\frac {J(J+1)}{\epsilon }}\right)}^{2}-9}}-{\frac {{\left({\frac {J(J+1)}{\epsilon }}\right)}^{2}-2{\left({\frac {J(J+1)}{\epsilon }}\right)}+1}{{\left({\frac {J(J+1)}{\epsilon }}\right)}^{2}+9}}$

到

${\frac {x^{3}+2x+1}{x^{2}-9}}-{\frac {x^{2}-2x+1}{x^{2}+9}}$

其中

$x={\frac {J(J+1)}{\epsilon }}$

這是一個簡化的例子。實際上，你可以對 $J$ 或 $\epsilon$ 進行微分，只需要使用你所學過的技術。代數操作涉及到 *商式求導* 和 *鏈式法則*。

計算 ${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}$ 得到

${\frac {3x^{2}+2}{x^{2}-9}}-2{\frac {(x^{3}+2x+1)x}{(x^{2}-9)^{2}}}-{\frac {2x-2}{x^{2}+9}}+2{\frac {(x^{2}-2x+1)x}{(x^{2}+9)^{2}}}$

將這個展開成 $J$ 和 $\epsilon$ 會看起來很奇怪。

為了得到新的更簡單的表示式，我們不斷進行這樣的替換，然後將微積分規則或恆等式應用於它們。