化學數學/化學中的一些數學示例

變數名稱

無處不在的$x$ 並不總是變數，正如大家現在都知道的那樣。處理實際應用的一個問題是弄清楚哪些符號是變數，哪些是常數。（如果你仔細觀察教科書中專業設定的方程式，你會發現常數是用羅馬字型設定的，即直線字母，而變數用斜體字。不要依賴這一點，因為它經常被忽略。）

以下是一些變數傳統上不是$x$ 的例子。

1. 旋轉中使用的尤拉角 通常是$\alpha ,\beta$ 和 $\gamma$ 而不是更常見的角度名稱$\theta$ 和 $\phi$。因此，最常見的尤拉定義中最後一次扭曲的旋轉矩陣 如下所示：${\begin{bmatrix}\cos(\gamma )&\sin(\gamma )&0\\-\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$
2. 氫原子 中產生巴爾末系 的能級躍遷由公式${\tilde {\nu }}={\rm {R_{H}}}\left({\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)$ 給出。${\tilde {\nu }}$ 只是能量的一個單變數，波浪號 是光譜學家用來表示波數（cm^-1）的慣例。${\rm {R_{H}}}$ 上的 H 下標沒有數學意義。它是裡德伯常數，因此用羅馬字體表示。${\rm {R_{H}}}$ 的值非常精確，為 109,677.581 cm^-1。實際上，在考試條件下，有相當一部分學生在把這個分數化成最簡分數時犯了錯誤。
3. 在光的理論中，$\omega$ 用於表示頻率，而 $t$ 自然地表示時間。光是一種振盪的電磁場，因此餘弦函式是描述它的一個非常好的方法。您也可以在這裡看到複數的使用。使用 阿根圖 的實軸表示電場，虛軸表示磁場，這在數學上是一種非常自然的描述，並且完美地對映到物理現實中。在這裡，我們對 $t$ 和 $\omega$ 進行積分，如果這是一個雷射實驗，工作頻率是一個常數，因此它出現在積分中的分母中。 $\int \cos(\omega t)\sin(\omega t)dt=-{\frac {\cos(\omega )^{2}}{2\,\omega }}+c$ 在這種情況下，我們可以看到積分常數的物理解釋。它將是一個相位因子。如果我們正在處理陽光，我們可能需要對 $\omega$ 進行不同的函式積分，以計算所有在不同光頻率下具有不同強度的現象。我們的積分限將從零到無窮大，或者可能是對應於可見光的能量範圍。
4. 此示例是一個名為二次諧波產生的雷射實驗。存在一個電場$F$，頻率為$\nu$，以及一個屬性常數$\chi _{(2)}$。$\epsilon _{0}$ 是一個基本常數。我們有一個以頻率$\nu$ 閃爍的強單色雷射場（即來自大型雷射器的強光束）。$F_{v}\sin(2\pi \nu t)$ 因此$F^{2}$ 項對極化有$\epsilon _{0}\chi _{(2)}F_{v}^{2}\sin ^{2}(2\pi \nu t)$ 的貢獻。我們從三角恆等式中知道，$\sin ^{2}$ 可以表示為雙角的餘弦$\cos(2\theta )=1-2\sin ^{2}\theta$。因此極化是${\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\chi _{(2)}F_{v}^{2}(1-\cos 4\pi \nu t)$。在這片下標和希臘字母的森林中，重要的是，有兩個項貢獻來自$(1-\cos 4\pi \nu t)$，它乘以其他所有東西。總之，我們有$A\sin ^{2}(t)$ 等於 $B(1-\cos(2t))$，其中除了三角函式(t) 和三角函式(2t) 之外，其他所有內容在一定程度上對頻率加倍現象不重要。$\sin$ 和 $\cos$ 僅在相位偏移方面有所不同，因此它們代表了相同的物理現象，即具有相位的光。（雷射光的一個重要特性是它是相干的，即它都具有相同的相位。這在我們數學中是基本嵌入的。）

範德華力能

兩個惰性氣體原子之間的範德華力可以簡單地寫成$r$的函式。

$E_{vdw}={\frac {\rm {A}}{r^{12}}}-{\frac {\rm {B}}{r^{6}}}$

請注意，$r^{12}$項為正，對應排斥力。 $r^{6}$項是吸引項，為負，對應能量降低。 A 和 B 是根據實驗資料擬合的常數。

此函式非常容易求導和積分。 求出它們的導數和積分。 在氣體模擬中，可以使用導數來計算作用在原子上的力，並對牛頓定律進行積分以找出原子下一步的位置。

另一個使用的勢能是

$E_{vdw}={\rm {A}}e^{-{\rm {B}}r}-{\rm {C}}r^{-6}$

此函式多一個可擬合常數。 求出它的積分和導數。

${\frac {\rm {A}}{r^{12}}}-{\frac {\rm {B}}{r^{6}}}$被稱為倫納德-瓊斯勢，通常用能量$\epsilon$和距離$\sigma$這兩個引數表示。

$E(r)=4\epsilon \left({{\left({\frac {\sigma }{r}}\right)}^{12}-{\left({\frac {\sigma }{r}}\right)}^{6}}\right)$

$\epsilon$是能量。 將此函式的導數設為零，找出範德華力的最小值。 再求一次導數，證明導數為正，因此該阱為最小值，而不是轉折點。

雙原子勢能面

氬二聚體的相互作用能。 長程部分是由於倫敦色散力。

在雙原子分子中，能量隨著鍵的拉伸而呈多項式形式擴充套件。 我們設定 $x=(r-r_{0})$。 在 $r_{0}$處，函式取最小值，因此沒有 $dE/dx$項。

$E={\frac {1}{2}}k_{harm.}{\frac {{\rm {d}}^{2}E}{{\rm {d}}x^{2}}}+{\frac {1}{6}}k_{anharm.}{\frac {{\rm {d}}^{3}E}{{\rm {d}}x^{3}}}$

無論選擇什麼函式來提供能量，都需要將一階導數設定為零來計算 $r_{0}$。 然後需要對二階和三階導數進行評估，以給出勢能的形狀，從而給出紅外光譜。 $E$ 通常由一個非常複雜的函式建模，其微分計算並非易事。

一維金屬

一維金屬由一個無限的原子鏈建模，原子間距為 150 皮米。 如果金屬是鋰，每個原子核帶 3 個電荷，其電子由以下函式建模：

$cos^{2}\left\{{\frac {\pi }{2}}{\frac {r}{150}}\right\}$

該函式每 150 皮米重複一次。 此函式必須乘以什麼常數才能確保每個原子上有 3 個電子？（提示……在 $-{\frac {\pi }{2}}$ 和 $+{\frac {\pi }{2}}$ 或 -75 皮米和 +75 皮米之間對 $cos^{2}$進行積分，根據你的方程。 該積分是一個無量綱數，等於電子的數量，因此我們將不得不乘以一個歸一化常數。）

在這裡，我們已經對電子的密度進行了建模。 在二年級的後半部分，你將看到每個獨立電子的函式（稱為軌道）更準確地描述了電子結構。 這些函式受到嚴格的數學要求，這意味著它們很有趣，也很難計算。

開普勒定律

另一個物理問題，但也是對數-對數圖的一個很好的例子，是行星的半徑和週期關係。

這些資料是無量綱的，因為我們已經除以了地球的時間/距離。 我們可以對兩者取對數。

	水星	金星	地球	火星	木星	土星
r	0.3871	0.7233	1	1.524	5.203	9.539
T	0.2408	0.6152	1	1.881	11.86	29.46

	水星	金星	地球	火星	木星	土星
log10r	-0.4122		0			0.9795
log10T	-0.6184		0			1.4692

嘗試在你的電子表格程式中進行最小二乘擬合。 使用地球和土星資料：（這在實驗實踐中非常糟糕，因為只使用了資料集中的兩個點！）

$\Delta ({\log }T)/\Delta ({\log }r)=1.5000359$

所以 ${\log }T=1.5{\log }r={\log }r^{1.5}$

所以 $T=r^{3/2}$ 並且 $T^{2}=r^{3}$

這是 開普勒第三定律。無論使用最小二乘擬合梯度還是水星到土星的資料，你都會得到相同的冪。我們能夠不用完整的資料集是因為給出的數字異常精確，在某種程度上是迴圈論證的（記住行星繞橢圓軌道執行，而不是圓形軌道！）。

牛頓冷卻定律

$\theta$ 是冷卻物體超過室溫的溫度差（例如 20^oC）。冷卻速率與溫度差成正比。

$-{\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}t}}=k\theta$

${\rm {using~~~~~}}{\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}y}}={\frac {1}{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}}$

${\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\theta }}=-{\frac {1}{k\theta }}$

這是一個微分方程，我們對 $\theta$ 進行積分以得到

$t=-{\frac {1}{k}}\ln \theta +c$

水被加熱到 $80^{o}$C，室溫是 $20^{o}$C。開始時 $t=0$ 並且 $\theta =60$，所以

$0=-{\frac {1}{k}}\ln 60+c$

因此

$c={\frac {\ln 60}{k}}$

$t=-{\frac {1}{k}}\ln \theta +{\frac {1}{k}}\ln 60$

但是 $\ln 60-\ln \theta =-\ln {\frac {\theta }{60}}$

所以 $\ln {\frac {\theta }{60}}=-kt$

5 分鐘後，水冷卻到 $70^{o}$C。

所以 $\ln {\frac {50}{60}}=-5k$ 所以 $k=-{\frac {1}{5}}\ln {\frac {5}{6}}={\frac {1}{5}}\ln {\frac {6}{5}}<math>.So<math>k=0.0365$

$\ln {\frac {\theta }{60}}=-0.0365t$

${\frac {\theta }{60}}=e^{-0.0365t}$

根據對數的定義。這給出了一個在 80 和 20 ^oC 之間的指數衰減圖。

所以 10 分鐘後 $t=20+60e^{-0.365}=61.6^{o}$C。 20 分鐘後 $t=20+60e^{-0.73}=49.9^{o}$C。 30 分鐘後 $t=20+60e^{-1.10}=40.1^{o}$C。

細菌生長

2 克的生物體每天每克增長 1/10 克。

${\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}={\frac {m}{10}}$

這是一個透過積分求解的微分方程，因此

$\int {\frac {10}{m}}{\rm {d}}m=\int {{\rm {d}}t}$

$10\ln m=t+c$

$\ln m={\frac {t}{10}}+c$

因此

$m=e^{c}e^{\frac {t}{10}}$

當 $t=0$ 我們有 2 克，所以

$m=2e^{t/10}$

為了使樣品質量加倍

$4=2e^{t/10}$

$2=e^{t/10}$

$\ln 2={\frac {t}{10}}$

$t=10\ln 2=6.9315{\rm {days}}$

半衰期計算類似，但指數為負。

二階速率方程的偏分式

在化學工作中，你可能會使用二階速率方程，它需要使用偏分式才能進行積分。

如果你還記得，我們會得到類似於以下的式子:

${\frac {1}{(2-x)(3-x)}}={\frac {A}{(2-x)}}+{\frac {B}{(3-x)}}$

將等式右邊通分

${\frac {1}{(2-x)(3-x)}}={\frac {A(3-x)+B(2-x)}{(2-x)(3-x)}}$

由此得到 $1=3A-Ax+2B-Bx$

令 x 等於 3，得到 1 = -B (B=-1)。令 x 等於 0 且 B 等於 -1

             1 = 3A -2     (A=+1)

   Check    1 = 3 -x -2 +x  true...

因此

$\int {\frac {1}{(2-x)(3-x)}}dx=\int {\frac {1}{(2-x)}}-\int {\frac {1}{(3-x)}}dx=\ln(2-x)+\ln(3-x)+c$

注意對 1/(2-x) 而不是 1/x 進行積分時的符號變化。