化學中的數學/微積分的幾個有用方面

極限

許多教科書使用極限來講解微分和積分的理論。作為化學家，我們可以不用瞭解這些理論就能生存，所以它可能不會作為考試內容。然而，下面是如何從第一原理推匯出 sin 函式的導數。

${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}=\left({\frac {{\delta }y}{{\delta }x}}\right)_{{\rm {limit}}~~~~\delta x\rightarrow 0}$

$={\frac {\sin(x+\delta x)-\sin x}{\delta x}}$

$={\frac {\sin x\cos \delta x+\sin \delta x\cos x-\sin x}{\delta x}}$

$={\frac {\sin x}{\delta x}}-{\frac {\sin x}{\delta x}}+{\frac {\sin \delta x}{\delta x}}\cos x$

當 $\sin \delta x=\delta x$ 對於小的 $x$ 時，此表示式為 $\cos x$.

類似地，對於 $\cos \theta$

${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}\theta }}={\frac {\cos(\theta +\delta \theta )-\cos \theta }{\delta \theta }}$

$={\frac {\cos \theta \cos \delta \theta -sin\theta \sin \delta \theta -\cos \theta }{\delta \theta }}$

$={\frac {\cos \theta }{\delta \theta }}-{\frac {\sin \theta ~~\delta \theta }{\delta \theta }}-{\frac {\cos \theta }{\delta \theta }}$

這等於 $-\sin \theta$.

數值微分

您可能知道可以用二次方程擬合 3 個點，用三次方程擬合 4 個點，用四次方程擬合 5 個點，以此類推。如果您用兩個函式值$\delta x$ 之間的差值來對函式進行數值微分，那麼您就可以透過構造一個三角形來得到對${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}$ 的近似值，梯度就是切線。根據$\delta x$ 的符號，有前進三角形和後退三角形。這就是前進和後退微分近似值。

然而，如果您有一箇中心值，它有兩側各有一個$\delta$，那麼您就得到了中心差分公式，它等效於擬合一個二次方程，因此在$\delta x$ 的小值中是二階的，與繪製切線相比，精度很高。可以透過擬合一個二次方程並對其進行微分來推匯出這個公式，得到

${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}={\frac {f^{+}+f^{-}-2f^{0}}{\delta ^{2}}}$

   HCl   r-0.02
   sigma (iso)       32.606716      142.905788     -110.299071

   HCl   r-0.01
   sigma (iso)       32.427188      142.364814     -109.937626

   HCl   r0         Total shielding: paramagnetic  : diamagnetic
   sigma (iso)       32.249753      141.827855     -109.578102

   HCl   r+0.01
   sigma (iso)       32.074384      141.294870     -109.220487

   HCl   r+0.02
   sigma (iso)       31.901050      140.765819     -108.864769

這是 HCl 中質子的遮蔽（以 ppm 為單位）的計算資料，當鍵長被拉伸或壓縮 0.01 埃（不是批准的單位皮米）時。總遮蔽是順磁和抗磁兩部分的總和。請注意，我們在此資料中保留了許多有效數字，這在進行數值微分時始終是必要的。

練習 - 使用數值微分計算$d\sigma /dr$ 和 $d^{2}\sigma /dr^{2}$，步長分別為 0.01 和 0.02。使用 0.01 計算$d\sigma (para)/dr$ 和 $d\sigma (dia)/dr$

數值積分

維基百科有對梯形法則 和 辛普森法則 的解釋。之後您將使用包含這些法則更復雜版本的計算機程式，稱為 高斯求積。您只需要在課程後面進行數值專案時才需要了解這些內容。 切比雪夫求積 是此過程的另一個版本，專門針對來自實驗源的噪聲資料進行積分最佳化。數學推導以一種巧妙的方式對噪聲進行平均而不是放大。