化學數學/測試和考試

可能的期末考試及說明

此考試曾經用於監測大學化學專業學生在第一年結束時的學習情況，旨在以50分鐘的時間，較為輕鬆地檢查學生在多個方面的技能。考試包含了簡單和困難的問題，以使閱卷者能夠更好地瞭解學生的代數技能，甚至可以判斷學生是否能夠完成臭名昭著的分部積分。

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(1) 求解以下關於 $x$ 的方程

$x^{2}+2x-15=0$

該方程可分解為 3 和 5，因此：$(x+5)(x-3)=0$，因此根為 -5 和 +3，而不是 5 和 -3！

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(2) 求解以下關於 $x$ 的方程

$2x^{2}-6x-20=0$

兩邊同時除以 2，得到 $x^{2}-3x-10=0$.

該方程可分解為 2 和 5，因此：$(x-5)(x+2)=0$，因此根為 5 和 -2。

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(3) 簡化

$\ln w^{6}-4\ln w$

首先$6\ln w-4\ln w$，因此它變為 $2\ln w$.

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(4) 是什麼

$\log _{2}{\frac {1}{64}}$

64 = 8 x 8，因此它也等於 $2^{3}$x$2^{3}$，即 ${\frac {1}{64}}$ 為 $2^{-6}$，因此答案為 -6。

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(5) 將兩個複數相乘

$3+5i~~~~{\rm {and}}~~~~3-5i$

這些是複數的共軛，所以它們是 $3^{2}$ 減去 $i^{2}$x$5^{2}$，即加上25，所以總和是34。

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(6) 將兩個複數相乘

$(5,-2)~~~~{\mathrm {a} nd}~~~~(-5,-2)$

實部是 -25 加上 $4i^{2}$。交叉項得到 $-10i$ 和 $+10i$，所以虛部消失了。

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(7) 對 $x$ 求導

${\frac {1}{3x^{2}}}-3x^{2}$

答案: $~~~~~~~-{\frac {2}{3x^{3}}}-6x$

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(8) ${\frac {6}{x^{4}}}+3x^{3}$

答案: $~~~~~~~9{x^{2}}-{\frac {24}{x^{5}}}$

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(9) ${\frac {2}{\sqrt {x}}}+2{\sqrt {x}}$

答案: $~~~~~~{\frac {1}{\sqrt {x}}}-{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}$

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(10) $x^{3}(x-(2x+3)(2x-3))$

首先展開兩個平方差……收集並相乘……然後逐項求導，得到：$~~~~20x^{4}-4x^{3}+27x^{2}$

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(11) $3x^{3}\cos 3x$

這需要使用乘積法則.... 將 $9x^{2}$ 提取出來 .... $9x^{2}(\cos 3x-x\sin 3x)$

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(12) $\ln(1-x)^{2}$

這可能是一個鏈式法則問題....... ${\frac {1}{(1-x)^{2}}}.2.(-1).(1-x)$

或者你可以將 2 的冪從對數中提取出來，並使用更短的鏈式法則直接得到相同的答案：$-{\frac {2}{(1-x)}}$.

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(13) 進行以下積分

$\int \left(2\cos ^{2}\theta +2\theta \right){\rm {d}}\theta$

$\cos ^{2}$ 必須轉換為雙倍角形式，如許多示例所示.... 然後對所有 3 個部分進行積分，結果為 .......

$\cos \theta \sin \theta +\theta +\theta ^{2}$

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(14) $\int \left(8x^{-3}-{\frac {4}{x}}+{\frac {8}{x^{3}}}\right){\rm {d}}x$

除了 $-{\frac {4}{x}}$，它會變成 $\ln$，這是一個簡單的多項式積分。另外，還有一個需要注意的陷阱，即兩項可以合併成 ${\frac {16}{x^{3}}}$.

$-({\frac {8}{x^{2}}}+4\ln x)$

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(15) 與以下行列式對應的方程是什麼

${\begin{vmatrix}b&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&b&1\\0&1&b\\\end{vmatrix}}=0$

第一項為 $b(b^{2}-1)$，第二項為 $-{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\frac {b}{\sqrt {2}}}-0)$，第三項為零。總共加起來為 $b^{3}-3/2b$.

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(16) 以下微分方程的一般解是什麼？

${\frac {{\rm {d}}\phi }{{\rm {d}}r}}={\frac {\rm {A}}{r}}$

其中A是常數。

$\theta =A\ln r+k$.

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(17) 用分部積分法求解：$\int x\sin x{\rm {d}}x$

將 $x$ 作為需要求導的因子並應用公式，注意符號... $\sin x-x\cos x$.

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(18) 哪一個函式的麥克勞林展開式以這些項開頭？

$1+x+x^{2}/2!+x^{3}/3!+x^{4}/4!+\dots$

它是 $e^{x}$....

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(19) 將以下表達式

${\frac {x-2}{(x-3)(x+4)}}$ 表示成部分分式。

它等於..... $~~~~~{\frac {1}{7(x-3)}}+{\frac {6}{7(x+4)}}$

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(20) $2e^{i4\phi }-\cos 4\phi$ 用sin和cos表示。

這僅僅是尤拉公式..... $2e^{i4\phi }=2\cos 4\phi -2i\sin 4\phi$

所以一個 $\cos 4\phi$ 消掉了，得到... $\cos 4\phi -2i\sin 4\phi$.

50分鐘考試二

(1) 簡化 $2\ln(1/x^{3})+5\ln x$

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(2) $\log _{10}{\frac {1}{10~000}}$ 的值是多少？

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(3) 求解以下關於 $t$ 的方程式：

$t^{2}-3t-4=0$

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(4) 求解以下關於 $w$ 的方程式：

$w^{2}+4w-12=0$

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(5) 將兩個複數 $(-4,3)~~~~{\rm {and}}~~~~~(-5,2)$ 相乘。

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(6) 將兩個複數 $3+2i~~~~{\rm {and}}~~~~~~3-2i$ 相乘。

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(7) 哪個函式的麥克勞林級數以這些項開頭？

$x-x^{3}/6+x^{5}/120+\dots$

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(8) 對 $x$ 求導：

$x^{3}(2-3x)^{2}$

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(9) ${\frac {\sqrt {x}}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {x}}}}$

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(10) $x^{4}-3x^{2}+{\rm {k}}$

其中 k 為常數。

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(11) ${\frac {2}{3x^{4}}}-{\rm {A}}x^{4}$

其中 A 為常數。

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(12) $3x^{3}e^{3x}$

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(13) $\ln(2-x)^{3}$

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(14) 執行以下積分：

$\int \left(3w^{4}-2w^{2}+{\frac {6}{5w^{2}}}\right){\rm {d}}w$

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(15) $\int \left(3\cos \theta +\theta \right){\rm {d}}\theta$

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(16) 求行列式\begin{vmatrix} x & 0 & 0\\ 0 & x & i \\ 0 & i & x \\ \end{vmatrix} = 0</math> 所對應的方程

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(17) 求下列微分方程的通解

${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}=ky$

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(18) 用任何合適的方法積分

$\int \left(\ln x+{\frac {4}{x}}\right){\rm {d}}x$

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(19) 將 ${\frac {x+1}{(x-2)(x+2)}}$

表示成部分分式形式.

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(20) 用 sin 和 cos 表示 $2e^{i2\phi }+2i\sin 2\phi$.

50 分鐘考試 III

(1) 求解以下方程，求解 $t$

$t^{2}-4t-12=0$

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(2) 求 $\log _{4}{\frac {1}{16}}$

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(3) 哪一個函式的 Maclaurin 級數以以下項開頭？

$1-x^{2}/2+x^{4}/24+\dots$---- (4) 對 $x$ 求導數

${\frac {5}{x^{2}}}-8{x^{4}}$

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(5) ${\frac {4}{\sqrt {x}}}-{{\sqrt {2}}x}$

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(6) $5{\sqrt {x}}+{\frac {6}{x^{3}}}$

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(7) ${\frac {5}{x^{3}}}-5x^{3}$

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(8) $x^{2}(2x^{2}-(5+2x)(5-2x))$

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(9) $2x^{2}\sin x$

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(10) 將以下兩個複數相乘：$(2,3)~~~~~~{\rm {and}}~~~~~~(2,-3)$

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(11) 將以下兩個複數相乘：$3-i~~~~~{\rm {and}}~~~~-3+i$

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(12) 執行以下積分

$\int \left({\frac {1}{3x}}+{\frac {1}{3x^{2}}}-5x^{-6}\right){\rm {d}}x$

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(13)

$\int \left(6x^{-2}+{\frac {2}{x}}-{\frac {8}{x^{2}}}\right){\rm {d}}x$

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(14) $\int \left(\cos ^{2}\theta +\theta \right){\rm {d}}\theta$

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(15) $\int \left(\sin ^{3}\theta \cos \theta +2\theta \right){\rm {d}}\theta$

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(16) 使用分部積分法求解：$\int 2x\cos x{\rm {d}}x$

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(17) 求以下行列式的對應方程

${\begin{vmatrix}x&-1&0\\-1&x&0\\0&0&x\\\end{vmatrix}}=0$

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(18) 將 ${\frac {x-1}{(x+3)(x-4)}}$ 表示為部分分式。

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(19) 求解以下微分方程的通解

${\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}r}}={\frac {r}{A}}$

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(20) 使用 sin 和 cos 表示 $e^{i2\phi }-2i\sin 2\phi$。