化學數學/向量

來自 HEFCE 的免費網路資源

在 數學導師 上有一個關於向量的 DVD。

向量

想象一下，你從唐卡斯特坐火車到布里斯托爾，然後從布里斯托爾向上走到英格蘭西部到達曼徹斯特。你在那裡停留一天，第二天早上前往格拉斯哥，然後橫穿到達愛丁堡。在一天的工作結束時，你回到唐卡斯特。從數學上講，這段旅程可以用向量來表示（因為我們是平面地球人，所以用二維表示）。在第二次旅行結束時，（D-B）+（B-M）你距離唐卡斯特只有很短的距離，在鐘面上 9.15 時為 50 英里。再新增兩個向量（旅程），你將到達愛丁堡（大約在 12.00 時為 250 英里）。完成旅程後，你回到了唐卡斯特，也就是說，所有這些閉合路徑的向量都加起來為零。

在數學上，我們通常在三個笛卡爾軸上使用三維向量 $x$，$y$ 和 $z$。

最好始終使用傳統的右手座標系，即使反方向在一致使用的情況下也是有效的。在發表的研究論文和教科書中偶爾會錯誤地找到錯誤的座標系。記憶技巧是想象一張座標紙，$x$ 是水平的，$y$ 是垂直的。正的 $z$ 然後從紙上伸出來。

一個單位向量是一個標準化的向量，即乘以一個常數，使其值為 1。我們在三個維度上有單位向量

${\hat {\mathbf {i} }}+{\hat {\mathbf {j} }}+{\hat {\mathbf {k} }}$

所以

${\mathbf {v} }=A_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+A_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+A_{z}{\hat {\mathbf {k} }}$

i, j, k 上的帽子表示它是一個單位向量。這通常被省略。

我們地理上的類比使我們能夠理解向量加法和減法的意義。向量乘積不太明顯，有兩個定義，標量積和向量積。它們是不同的數學物件，有非常不同的應用。標量積是一個面積，因此是一個普通的數字，一個標量。這有許多有用的三角學特性。

向量積起初看起來定義得很奇怪，但這個定義對映到自然界，成為描述角動量的一種非常優雅的方式。麥克斯韋方程組的結構使這種定義簡化了原子/分子結構以及電磁現象的各種數學描述。

向量總結

三個笛卡爾維度上的單位向量

${\hat {\mathbf {i} }}+{\hat {\mathbf {j} }}+{\hat {\mathbf {k} }}$

一個向量 ${\mathbf {v} }$ 是

${\mathbf {v} }=A_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+A_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+A_{z}{\hat {\mathbf {k} }}$

i、j、k 上的帽子表示它是 *單位向量*。

向量大小

$V_{mag}={\sqrt {{A_{x}}^{2}+{A_{y}}^{2}+{A_{z}}^{2}}}$

常數乘以向量

${\mathbf {v} _{new}}=cA_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+cA_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+cA_{z}{\hat {\mathbf {k} }}$

向量加法

${\mathbf {A} }+{\mathbf {B} }=(A_{x}+B_{x}){\hat {\mathbf {i} }}+(A_{y}+B_{y}){\hat {\mathbf {j} }}+(A_{z}+B_{z}){\hat {\mathbf {k} }}$

注意 ${\mathbf {B} }+{\mathbf {A} }={\mathbf {A} }+{\mathbf {B} }$

向量減法

${\mathbf {A} }-{\mathbf {B} }=(A_{x}-B_{x}){\hat {\mathbf {i} }}+(A_{y}-B_{y}){\hat {\mathbf {j} }}+(A_{z}-B_{z}){\hat {\mathbf {k} }}$

注意 ${\mathbf {A} }-{\mathbf {B} }=-(-{\mathbf {A} }+{\mathbf {B} })$

標量積

${\mathbf {A} }.{\mathbf {B} }=A_{x}.B_{x}+A_{y}.B_{y}+A_{z}.B_{z}$

注意 ${\mathbf {B} }.{\mathbf {A} }={\mathbf {A} }.{\mathbf {B} }$

注意，如果 ${\mathbf {A} }={\mathbf {B} }$，這將簡化為一個正方形。

如果 A 和 B 在 $x$、$y$ 和 $z$ 沒有公共的非零分量，那麼該值為零，對應於 *正交*，*即* 它們成直角。（這也可能發生在符號組合使得 ${\mathbf {A} }.{\mathbf {B} }$ 為零。對應於非軸向直角。）

向量積

${\mathbf {A} }{\rm {x}}{\mathbf {B} }=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}){\hat {\mathbf {i} }}-(A_{x}B_{z}-A_{z}B_{x}){\hat {\mathbf {j} }}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}){\hat {\mathbf {k} }}$

注意 ${\mathbf {B} }{\rm {x}}{\mathbf {A} }=-{\mathbf {A} }{\rm {x}}{\mathbf {B} }$

中間項的負號來自於行列式的定義，在講座中解釋。行列式以這種方式定義，以便它們對應於右手旋轉。（如果你還記得我們關於 $\cos ^{2}+\sin ^{2}=1$ 繞圓周運動的影像，當一個座標上升，*即* 更為正數，另一個座標必須下降。因此，旋轉公式必須包含負項和正項。）行列式與旋轉和聯立方程的解有關。 $n$ 個聯立方程的解可以用圖形方式重新表示為在 $n$ 維空間中的單位向量上的旋轉，因此相同的數學結構適用於空間和聯立方程。