經濟學/動態數學

經濟動態

相關比率是數學建模的常見正規化。一對以 2x2 矩陣表示比率的微分方程需要求解矩陣微分方程。w:Giancarlo Gandolfo 在 經濟動態 (1997)[1980] 的第 237 至 45 頁中發展了該模型。另一種發展方法將矩陣空間 M(2, R) 作為一個帶有平面子代數的實數 4 代數

• 抽象代數/2x2 實數矩陣

相關比率矩陣微分方程的解取決於包含該矩陣的 M(2, R) 中的特定平面。該解根據矩陣是否包含虛數單位或雙曲單位而分叉。前者是週期性的，後者不是。

• 抽象代數/2x2 實數矩陣#微分方程

這些微分方程對確定性系統進行建模，而社會科學中則允許使用隨機項。馬爾可夫鏈是一種使用狀態轉換機率矩陣的隨機模型。各列之和為 1。馬爾可夫鏈是具有長期極限狀態的機率模型。w:J. Laurie Snell 和 w:John G. Kemeny 將這些模型帶入了課堂。

時間序列

經濟的動態性在時間序列研究中很明顯。這些研究基於在固定時間間隔記錄的經濟資料列表。例如，每個國家都有一個年度國內生產總值。這些研究可能顯示領先指標，例如進入勞動力市場的年輕人的人口統計資料系列。一個系列可能與另一個系列相關的想法由相關係數精確表達。假設兩個時間序列確定了 n 維空間中的兩個點，其中 n 是列表的長度。然後，零列表和這兩個點確定了 n 維空間中的一個平面。

定義： $R=\cos \Theta$ 是兩個時間序列的相關係數，其中 Θ 是時間序列表示的點在 0 處的角度。

定義： R 接近於零的系列對是相關的。R 接近於 π 的系列對是反相關的。R 接近於 π/2 的系列對是不相關的或正交的。

時間序列分析涉及自相關的考慮，例如易受季節性變化影響的系列的同比資料。自相關研究縮短了列表的長度 n。例如，單週期差分 $t_{i}-t_{i-1}$ 將只有 n − 1 個值，其中 i 和 i – 1 都在索引集中。當 n 很大時，這種損失並不顯著。

動態行為被分為趨勢行為和週期行為，並考慮了衝擊的影響。無論衝擊的來源是什麼，如果它來自系列環境之外，則相關的數點就會受到質疑。

動態因素可能會反彈，有時非常劇烈，給人類造成眩暈感。平滑時間序列的做法稱為移動平均。這些平滑操作使用公式中的相鄰資料點，從而減少了系列的抖動。

時間序列的常見數學方法涉及反移或滯後運算子 $BX_{i}=X_{i-1}.$ 以 1 作為恆等運算子，$(1-B)X_{i}=X_{i}-X_{i-1},$ 因此二項式 1 – B 表示一階差分序列。一階差分的平均值表示趨勢線的步長，算術級數，與原始序列同起點和同終點。可以從原始序列中減去趨勢，以獲得趨勢為零的序列。

現在考慮預測公式 $t_{i}=-t_{i-1}-t_{i-2}.$ 從任何兩個資料值開始，計算第三個值。再次使用該公式將返回初始值。事實上，該公式生成一個三步序列，重複。該公式等效於三項式 1 + B + B² 設定為零。相關序列的重複性質可以看作是乘積 $1-B^{3}=(1-B)(1+B+B^{2})$，其中兩個因子分別對應於常數序列或三步序列。