抽象代數/2x2實矩陣

2×2實矩陣的結合代數用M(2, R)表示。M(2, R)中的兩個矩陣p和q的和為p + q，由矩陣加法給出。積矩陣p q由矩陣乘法形成。對於

$q={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$令

$q^{*}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.$

那麼q q^* = q^* q = (ad − bc) I，其中I是2×2單位矩陣。實數ad − bc稱為q的行列式。當ad − bc ≠ 0時，q是可逆矩陣，並且

$q^{-1}={\frac {q^{*}}{ad-bc}}.$

所有這些可逆矩陣的集合構成一般線性群 GL(2, R)。在抽象代數的術語中，M(2, R)以及相關的加法和乘法運算形成了一個環，而GL(2, R)是它的單位群。M(2, R)也是一個四維向量空間，因此它也是一個結合代數。

2×2實矩陣與二維笛卡爾座標系到自身的線性對映一一對應，其規則為

$(x,\ y)\mapsto (x,\ y){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=(ax+by,\ cx+dy).$

M(2,R)是所有三種平面角用面積表示的地方。M(2,R)被描述為實數線上的一支鉛筆，由三種類型的2-代數共享，這些代數作為M(2,R)的子代數出現。它們分別是除法二元數、分裂二元數和對偶數，它們分別使用圓角、雙曲角和斜率。

雙曲角定義為y=1/x下方的面積。圓角等於半徑為√2的圓的相應扇形的面積。同樣，斜率等於以直線為底、頂點距直線√2距離的三角形的面積。

根據平面的型別，這些角度在運動下具有不變性。可以是旋轉、擠壓或剪下。首先討論M(2,R)中虛數單位概念的推廣。正是矩陣乘法產生了對平面的群作用，因此矩陣使它們成為面積保持者的特徵接下來討論。

平面子代數的鉛筆

在綜合幾何中，術語鉛筆用於表示給定點上的直線集，軸向鉛筆用於表示給定直線上的平面集。這裡，軸是單位矩陣I乘以實數的倍數集。不在此集合中的每個矩陣都包含在唯一的平面子代數中。這些子代數是除法二元數、分裂二元數或對偶數。

給定一個矩陣m，其中m²在{I, 0, −I}中，存在一個子代數

$P_{m}=\{xI+ym:x,y\in \Re \}.$

那麼P_m是一個交換子代數，並且M(2, R) = ⋃P_m ，其中並集是對所有滿足m² ∈ {−I, 0, I }的m進行的。

為了識別這樣的m，首先對通用矩陣進行平方

${\begin{pmatrix}aa+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+dd\end{pmatrix}}.$

當a + d = 0時，這個平方是一個對角矩陣。

因此，當尋找m來形成交換子代數時，假設d = −a。當mm = −I時，bc = −1 − aa，這個方程描述了引數空間(a,b,c)中的雙曲拋物面。這樣的m用作虛數單位。在這種情況下，P_m同構於除法二元數，也稱為（普通）複數域。

當mm = +I時，m是一個對合矩陣。那麼bc = +1 − aa，也給出一個雙曲拋物面。如果一個矩陣是冪等矩陣，它必須位於這樣的P_m中，在這種情況下，P_m是環同構於分裂二元數。

冪零矩陣，mm = 0，的情況出現在b或c只有一個非零時，此時交換子代數P_m就是對偶數平面的一個副本。

當M(2, R)透過改變基底重新配置時，這個鉛筆在分裂四元數中可見，其中I和−I的平方根集呈對稱形狀，如雙曲面。

等面積對映

首先將一個微分向量轉換為另一個微分向量

$(du,\ dv)=(dx,\ dy){\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}=(p\ dx+r\ dy,\ \ q\ dx+s\ dy).$

面積用密度 $dx\wedge dy$，一種外積，其中 $dx\wedge dx=0=dy\wedge dy.$ 線上性對映中，這個微分2-形式被變換為

${\begin{aligned}du\wedge dv&=(p\ dx+r\ dy)\wedge (q\ dx+s\ dy)\\&=0+ps\ dx\wedge dy+qr\ dy\wedge dx+0\\&=(ps-qr)\ dx\wedge dy\\&=\det(g)\ dx\wedge dy.\end{aligned}}$

當行列式為1時，面積保持不變。因此，等面積對映被識別為 $SL(2,\mathbb {R} )=\{g\in M(2,\mathbb {R} ):\det(g)=1\},$，即特殊線性群。根據上述輪廓，每個這樣的g都位於一個交換子環P_m中，根據m的平方表示一種複平面型別。由於g g* = I，以下三種情況之一會發生

• mm = −I 且g為歐幾里得旋轉，或者
• mm = I 且g為雙曲旋轉，或者
• mm = 0 且g為剪下對映.

面積的保持為研究平面上的共形對映提供了共同的基礎。實際上，在分析中使用了三種角度，圓形和雙曲角度以及斜率作為對偶數平面中角度的表示式。

2 × 2實矩陣的函式

M(2, R)的交換子代數決定了函數理論；特別是三種類型的子代數各自具有自己的代數結構，這些結構決定了代數表示式的值。平方根函式和對數函式的考慮說明了上述鉛筆中每種型別子代數P_m的特殊性質所隱含的約束。

首先要注意，每個平面的可逆元素，即單位，構成一個具有一個、兩個或四個連通分量的拓撲群。包含1的連通分量稱為單位元連通分量。元素的極座標包含一個角度因子

• 如果mm = −I，則z = ρ exp(θm)，其中θ為圓形角度。
• 如果mm = 0，則z = ρ exp(sm) 或z = −ρ exp(sm)，其中s為斜率。
• 如果mm = I，則z = ρ exp(a m) 或z = −p exp(a m) 或

z = m ρ exp(a m) 或z = −m ρ exp(a m)，其中a為雙曲角度。

在第一種情況下，exp(θ m) = cos(θ) + m sin(θ)，被稱為尤拉公式。

在對偶數的情況下，exp(s m) = 1 + s m。最後，在分裂二元數的情況下，單位元群中有四個連通分量。單位元連通分量由ρ和exp(a m) = cosh(a) + m sinh(a)引數化。

現在 ${\sqrt {\rho \ \exp(am)}}={\sqrt {\rho }}\ \exp \left({\frac {1}{2}}am\right)$ 不管子代數P_m是什麼，但函式的自變數必須取自其單位元連通分量。在對偶數結構的情況下，半平面丟失了；在分裂二元數的情況下，必須排除四分之三的平面。

類似地，如果ρ exp(a m)是與2×2矩陣m相關聯的平面的單位元連通分量的元素，則對數函式得出值為log ρ+ a m。對數函式的定義域受到與上面描述的平方根函式相同的約束：在mm = 0 或mm = I 的情況下，必須排除一半或四分之三的P_m。

2 × 2實矩陣作為複數的種類

每個 2×2 實矩陣都可以解釋為三種（廣義）複數之一：除數二元數、對偶數或分裂二元數。以上，2×2 矩陣的代數被描述為子代數 P_m 的並集，它們都共享相同的實軸。可以使用以下方法確定給定 2×2 矩陣屬於哪種子代數

考慮 2×2 矩陣

$z={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$

透過投影找到包含 z 的子代數 P_m

如上所述，當 a + d = 0 時，矩陣 z 的平方是對角矩陣。矩陣 z 必須表示為單位矩陣 I 的倍數和超平面 a + d = 0 中的矩陣的和。將 z 交替投影到 R⁴ 的這些子空間上，得到

$z=xI+n,\quad x={\frac {a+d}{2}},\quad n=z-xI.$

此外，

$n^{2}=pI$ 其中 $p={\frac {(a-d)^{2}}{4}}+bc$.

現在 z 屬於三種子代數之一

• 如果 p < 0，則它是一個除數二元數

  令 $q=1/{\sqrt {-p}},\quad m=qn$. 然後 $m^{2}=-I,\quad z=xI+m{\sqrt {-p}}$.

• 如果 p = 0，則它是對偶數

  $z=xI+n$.

• 如果 p > 0，則 z 是一個分裂二元數

  令 $q=1/{\sqrt {p}},\quad m=qn$. 然後 $m^{2}=+I,\quad z=xI+m{\sqrt {p}}$.

類似地，2×2 矩陣也可以用極座標表示，但要注意對偶數平面單位群有兩個連通分量，而分裂二元數平面有四個連通分量。

射影群

給定一個 2 × 2 實矩陣，其中 ad ≠ bc，它對實射影線 P(R) 的射影座標 [x : y] 的作用方式為線性分數變換

$[x:y]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [ax+by:\ cx+dy].$ 當 cx + dy = 0 時，像點是無窮遠點，否則

$[ax+by:\ cx+dy]\ \thicksim \left[{\frac {ax+by}{cx+dy}}:\ 1\right].$

與上一節中矩陣對平面的作用方式不同，矩陣對射影線 P(R) 的作用方式相同，所有成比例的矩陣都以相同的方式作用。

令 p = ad – bc ≠ 0。然後

${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}p&0\\0&p\end{pmatrix}}.$

該矩陣在實射影直線上的作用是

$[x:y]{\begin{pmatrix}p&0\\0&p\end{pmatrix}}\ =\ [px:py]\thicksim [x:y]$ 因為射影座標。

因此，該作用是實射影直線上恆等對映的作用。所以

${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ {\text{and}}\ {\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$ 作為乘法逆元。

射影群以 M(2,R) 的單位群 GL(2,R) 開始，然後如果它們成比例，則將兩個元素聯絡起來，因為對 P(R) 的成比例作用是相同的：PGL(2,R) = GL(2,R)/~，其中 ~ 聯絡著成比例的矩陣。射影線性群 PGL(2,R) 的每個元素都是 ~ 下成比例的 2 × 2 實矩陣的等價類。

自治微分方程

微分方程 $f^{\prime }=af$ 的解是 $f(t)=\exp(at)+C,$ 其中 a 是給定的常數，C 是任意常數。

使用二元運算除法，方程 $f^{\prime }=af$ 可以解釋為由 t 引數化的曲線的切線斜率：對於 i² = − 1，微分方程 $f^{\prime }=aif$ 的解是 $f(t)=\exp(ait)+C.$

類似地，對於 j² = +1，微分方程 $f^{\prime }=ajf$ 的解是 $f(t)=\exp(ajt)=\cosh at+j\sinh at,$ 單位雙曲線的分支。

在自治微分方程 $f^{\prime }=Af,$ 中，矩陣 A 對應於常數二元運算，它將切線的斜率與曲線聯絡起來。矩陣微分方程的解由指數函式給出，使用該常數作為引數中的一個協因子。當常數是除法二元運算時，解是週期性的，當它是分裂二元運算時，解不是週期性的。顯然，該常數也決定了 M(2,R) 的哪個子代數包含解曲線。

雖然線性代數以聯立線性方程為基礎，但存在微分方程系統解的存在定理

${\frac {du_{i}}{dt}}=\sum _{k=1}^{p}c_{ik}u_{k}\quad (i=1,...p)\quad {\text{where the}}\quad c_{ik}$ 是連續函式。

這裡p = 2，矩陣是常數，並且給出瞭解。但是，數學讀者需要進行一些符號上的體操。按照傳統，矩陣寫在左邊，並使用函式符號。因此，與之前章節中將行向量輸入矩陣不同，該函式被視為列向量，讀者必須從二進位制中重建它。

參考文獻

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