結合代數/分裂四元數

虛數單位v使得v ² = −1位於分裂四元數中的雙葉雙曲面

至少有三個通往分裂四元數的門戶：正方形的二面體群、M(2,R)中的矩陣乘積以及修改後的凱萊-狄克森構造。麥克斯·祖恩關於分裂八元數的工作表明，在範疇的構造中包含分裂實數AC代數的必要性。

透過二面體群的發展始於引言中的一個引理，並透過以下練習完成。

或者，可以從M(2,R)中取出的基底{1, i, j, k}開始，其中單位矩陣為1，${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$為j，${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$為i，而${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$為k。一些矩陣乘法的練習表明它們像分裂四元數一樣反交換，但有些乘積不同

j² = +1 = k²，  j k = − i 。

那麼分裂四元數的實數AC代數使用係數w, x, y, z ∈ R來表達一個元素、它的共軛以及二次型N

$q=w+xi+yj+zk,\quad q^{*}=w-xi-yj-zk,\quad N(q)=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

練習

1. 正方形上的對合是什麼？

2. 作為反射，反射軸的入射角是多少？

3. 這些反射的合成具有什麼旋轉角度？

計算

透過基本的計算練習可以深入瞭解分裂四元數的結構和動力學。這些練習使用j² = +1 = k²和jk = −i，這與四元數群相反，四元數群用相同的字母i、j、k表示，但這裡指的是正方形的二面體群。

1. 對於r = j cos θ + k sin θ，證明r² = +1 = −r r*。
2. 計算ir。
3. 回想一下<q, t> = (q t* + t q*)/2。證明<q, t> = q t*的實部
4. 定義：當<q, t> = 0時，q和t是正交的。
5. 證明對於任何theta，r和ir是正交的。
6. 令p = i sinh a + r cosh a。證明對於任何a和r，p² = +1。
7. 令v = i cosh a + r sinh a。證明v² = −1。
8. 對於給定的a和r，證明p和v是正交的。
9. 令m = p exp(bp) = sinh b + p cosh b。證明m m* = −1。
10. 令w = exp(bp) = cosh b + p sinh b。證明m與w正交。
11. 證明m與v正交。
12. 對於任何定義r, p, w, v和m的θ、a和b，集合{m, w, v, ir}是正交基。
13. 如果u是單位，則<qu, tu> = uu* <q, t>。