結合代數/四元數

威廉·羅溫·漢密爾頓的實數四元數 H 和雙四元數 B 分別由一對除法二元數或雙二元數構成。這些操作定義如下

{\text{Multiplication:}}\ (w,x)(y,z)=(wy-xz^{*},\ wz+xy^{*}),

{\text{Conjugation:}}\ (w,x)^{*}=(w^{*},-x),

{\text{so that}}\ N(w,x)=(w,x)(w^{*},-x^{*})=ww^{*}+xx^{*}=N(w)+N(x).

第三種四元數代數 Q = 分裂四元數 是 H 的變體，也是 B 的子代數。下一章透過練習來探討分裂四元數。

H 和 B 都由 W. R. 漢密爾頓在他的《四元數講義》（1853 年）中描述。AC 代數 Q 由詹姆斯·科克爾描述，被稱為共四元數。在一段時間內，H、B 和 Q 在作為 AC 代數的使用中具有特殊地位，但 20 世紀開發了矩陣環來為它們提供線性表示，從而將它們納入線性代數的更廣泛研究中。事實上，Q 與 M(2,R) 同構，即 2 × 2 實矩陣，B 與 M(2,C) 同構，即 2 x 2 復矩陣。H 的表示使用 B 中的上下文。在線性代數中，組合的概念在矩陣的行列式中可見，行列式具有類似的性質。

除法四元數

在漢密爾頓的記號中，當 $w=a+bi,\ z=c+di,$ ，(w,z) 寫作 a + bi + cj + dk，其中乘積 $ij=k=-ji,\ jk=i=-kj,\ ki=j=-ik$ 可以確認，並注意到其反交換性。在運動學、力學和物理科學的表示中，集合 {i, j, k} 被用作空間的基底。

此外， $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1.$ 實際上，

(q\in H\land q^{2}=-1)\equiv (q=xi+yj+zk\land x^{2}+y^{2}+z^{2}=1),

因此在 H 中存在一個虛數單位的球面 S²。

假設u 是其中之一，那麼尤拉公式的複數運算給出 $e^{au}=\cos a+u\sin a.$ 在四元數上下文中，e^au 是一個Versor，Versor 是橢圓空間的點，橢圓空間是一個專門用於旋轉的幾何。 W. K. 克利福德是橢圓幾何的倡導者，以及更多，直到他在 34 歲時離開人世。

對於 V ⊂ H 中的向量，反交換性意味著垂直性

\forall a,b\in H\ \ ab+ba=0\equiv (a,b\in V\land a\perp b).

引理：如果 a 和 b 是負一的平方根且 a ⊥ b，那麼 aba = b。

證明：

0=a(ab+ba)=a^{2}b+aba=-b+aba.

引理：在相同假設下，a ⊥ ab 且 b ⊥ ab。

證明：

(a\perp ab):\ \ a(ab)+(ab)a=-b+aba=0.

令 u = exp(θ r) 為一個versor。存在一個由 u 決定的對 H 的群作用

versor 對向量的共軛

假設 HxH 中一對 (a,b)，它們不全為零，並且一對 (c,d) 透過一個非零四元數 q 相關聯，其中 qa=c 且 qb=d。該關係用 (a,b) ~ (c,d) 表示。這是一個等價關係，HxH/~ 是一個四元數射影直線。該射影直線的單應變換由 M(2,H) 中的矩陣給出。例如，

(q,1){\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}=(qu,u)\thicksim (u^{-1}qu,1).

(a,b) 的等價類寫成 [a,b]。對映 $q\mapsto u^{-1}qu$ 稱為 q 被 u 共軛，通常取為一個 versor。 q 的實部在共軛變換下是不變的，但它適用於向量部分。下面的四元數算術計算表明向量繞 versor 的軸旋轉，並且旋轉角度是其角度的兩倍

注意 $u=e^{r\theta }$ 與平面 $\{x+yr:x,y\in R\}.$ 中的所有元素交換。從 S² 上垂直於 r 的大圓上選擇 s。那麼根據第一個引理，rsr = s。現在計算 s 被 u 共軛的結果

u^{-1}su\ =\ (\cos \theta -r\sin \theta )s(\cos \theta +r\sin \theta )

=\ (s\cos \theta \ -rs\sin \theta )(\cos \theta +r\sin \theta )

=\ (\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )s+(2\sin \theta \cos \theta )sr

=\ s\cos 2\theta +sr\sin 2\theta ,

這是在 (s, sr) 平面上以 2 theta 旋轉。

螺旋位移

可以用四元數的線性分數變換來演示一個運動學的練習：給定一個繞 i 軸旋轉 2 θ（用 versor exp(θ i) 的內自同構），以及一個在 j-k 平面上期望的平移，求出旋轉對平移產生效果的平行於 i 軸的軸的位置。

這個問題可以用 t = xj + yk 來表述，變換首先將 t 拉回原點，然後進行旋轉，最後恢復 t 的位置

[q,1]{\begin{pmatrix}1&0\\-t&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},

其中 $z=tu-ut=2\sin \theta (xk-yj).$

假設所需的平移是在 j 方向上距離為 a，因此 0 的所需影像為 aj

[q,1]{\begin{pmatrix}u&0\\uaj&u\end{pmatrix}}=[qu+uaj,u]=[u^{-1}qu+aj,1].

設定 z = uaj 並比較 j 和 k 座標。 k 分量方程導致 x = a/2，並表明 t 必須位於從 0 到 aj 的線段的垂直平分線上（因此到 0 和 aj 的半徑相同）。 j 分量方程導致 $y=-{\tfrac {1}{2}}\cot \theta$ ，它對應於 y 在平分線上且 a/2 作為對邊的直角三角形，給出 $\tan \theta =a/2y.$

旋轉透過適當地移動旋轉軸來提供平移的想法是由 Mozzi 在 1763 年和 Chasles 在 1830 年描述的，它被認為是歐幾里得運動和運動學的特徵。該命題被表述為螺旋位移足以實現適當等距的歐幾里得群。螺旋位移是三維空間中的旋轉，它具有一個旋轉軸，並且螺旋運動包括沿旋轉軸的平移。關於充分性的通知分別歸因於 Mozzi 和 Chasles。