結合代數/單應性

單應性的概念已經被引入作為射影二元線上莫比烏斯變換。實際上，這個概念已經被擴充套件到使用四元數的螺桿位移，其中已經考慮了代數的非交換性。

由於結合性質是數學群的必要條件，因此本文要求AC代數具有結合性質，以便代數具有乘法群。此外，結合律和乘法對加法的分配律，在以下矩陣乘法的應用中被使用

命題：在結合代數上，單應性 ${\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}$ 在射影線上是良好定義的。

從A的單位群中取u，(ua, ub) 是射影線P(A)上一個點的齊次座標。寫成：$(a,b)\sim (ua,ub)$ 並且 ~ 是A x A上的一個等價關係；例如，由於結合律，它是一個傳遞關係。

$(ua,\ ub){\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}=((ua)p+(ub)r,(ua)q+(ub)s)$

$=(u(ap)+u(br),u(aq)+u(bs))=(u(ap+br),u(aq+bs)).$

這些等式，涉及右側的矩陣乘積，表明矩陣變換的結果不依賴於來自等價類關係的代表 (a,b)。

條件 $aA+bA=A$ 要求對 (a,b) 能夠生成 A：它們不能同時位於一個真子代數中。該射影線 是

$P(A)=\{U[a:b]:aA+bA=A\},$ 其中 U[a: b] 代表 (a, b) 的等價類。

嵌入，遠近平移

A到P(A)的規範嵌入由

$E:\ A\rightarrow P(A)\ {\text{by}}\ a\mapsto U[a:\ 1].$

如果ab = 1，則 $U[a:\ 1]\sim U[1:\ b]$ 因為 a ∈ U。對於這樣的 a，

$E(a){\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\ =\ E(a^{-1}),$

表明 ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ 將 U ⊂A 中的元素移動到 U[a⁻¹: 1] 的等價類，從而將乘法逆對映擴充套件到 P(A)。

$U[0:\ 1]{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U[1:\ 0]$

被稱為無窮遠點，但除非A 是一個除環，否則它不是 $P(A)\backslash E(A).$ 中的唯一元素。

對於一個正實數p，${\begin{pmatrix}p&0\\0&1\end{pmatrix}}$ 對 E(A) 的作用與 A 中的擴張 a → pa 相一致。此外，內自同構可以透過射影變換擴充套件

$U[a:\ 1]{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}\ =\ U[au:\ u]\ \sim \ U[u^{-1}au:\ 1].$

用 A 到 P(A) 的規範嵌入 z → [z : 1 ]，變換 ${\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}$ 是一個近似平移。另一個嵌入 z → [ 1 : z ] 將原點對映到 [ 1 : 0 ]，有時寫作 $\infty$，因為它相對於規範嵌入是無窮遠點。變換

$[z:1]{\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}=[z:zt+1]$ 是一個遠平移，因為它對第二個嵌入的影響

$[1:z]{\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}=[1:z+t].$

命題 : 假設 ${\begin{pmatrix}a&c\\b&1\end{pmatrix}}\in SL(2,A).$ 則該矩陣是遠平移和近似平移的乘積。

證明：1 = a − bc 意味著 a = 1 + bc。則

${\begin{pmatrix}1&c\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+bc&c\\b&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&c\\b&1\end{pmatrix}}.$

共形時空變換

1910 年，哈里·貝特曼 和 以西結·坎寧安 提到了“時空的共形變換”，儘管描述方法是透過尊重麥克斯韋電磁方程的變換的微分幾何。 使用 M ⊂ B 來表示時空，以及 AC 代數 B 來表示 P(B) 上的單應變換，一般的共形變換可以寫成

$g={\begin{pmatrix}pu&b\\a&v\end{pmatrix}}.$ 更常被提及的子群是仿射群 (b = 0)、龐加萊群 (p = 1 且 b = 0) 以及 洛倫茲群 (p = 1 且 a = b = 0)。

g 中有 15 個自由度：p 為 1 個，a 和 b 各貢獻 4 個，而 u 和 v 貢獻 6 個。

特別地，${\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}$ 其中 u = exp(a r) 在洛倫茲群中生成正交群 O(3)，以及

${\begin{pmatrix}v&0\\0&1/v\end{pmatrix}}$ 其中 v = exp(b hr) 生成提升，根據上一章的練習。

練習

1. 找到有兩個元素的域上的射影線的元素座標。

2. 對於擴充套件平移、旋轉和反演的 g，找到 {x : xg = x}，即 g 的不動點集。

交叉比

在實射影線上，單應變換

${\begin{pmatrix}-1&1\\a&b\end{pmatrix}}$ 將 [a: 1] 對映到 [0: 1]，並將 [b: 1] 對映到 [1: 0]。

它們之間的數字具有正實數值。 區間 (a,b) 的中點對映到 [1: 1]。

對於交換環（這裡為二元數），存在一個交叉比單應變換，它將來自環的充分不同的三元組對映到伽羅瓦域 Z/2Z 上的射影線上，該射影線包含在任何環上的射影線中。 但在非交換情況下（這裡為四元數），分離點 p 和 q 的單應變換隻是有條件的規範化。 事實上，將

${\begin{pmatrix}t-q&0\\0&t-p\end{pmatrix}}$ 與 p 和 q 的分離

$[t:1]\rightarrow [t-p:\ t-q]\rightarrow [(t-p)(t-q):\ (t-q)(t-p)]\neq [1:1].$

練習：證明 $t(q-p)+(p-q)t+qp-pq=0$

足以提供將 {p, q, t} 對映到 {[0 :1], [1 :0], [1, 1] } 的規範化單應變換。