抽象代數/射影直線

環上的射影直線

對於環 A，設 $A=U\cup N$ 是環 A 分解成單位元 U 和非單位元 N，使得 $U\cap N=\emptyset .$

環元素對 a 和 b 可以在 A x A 中找到。另一對 c 和 d 與第一對相關，當存在一個單位元 u 使得 ua = c 且 ub = d 時。使用 U 的群性質，可以證明這種關係是一種等價關係。這種關係的等價類是射影直線的點，前提是這對 a, b 生成不真理想 A 本身。

$P(A)=\{[a:b]:aA+bA=A\},$ 其中 [a:b] 表示 (a,b) 的等價類。

注意，當 a b = 1 時，則 [a : 1 ] = [1 : b]，因此對於 U 中的元素，交換座標會產生相反分量中的乘法逆元。

射影直線接收 A 的兩個嵌入：z → [z : 1] 和 z → [1 : z]。在嵌入的 U 上，P(A) 中的交換涉及乘法逆元，而在嵌入的 N 上，交換會帶來相反嵌入中的相同非單位元。

• 引理： m + n 屬於 U 意味著 m − n 屬於 U。

證明：am + bn = 1 = am + (−b)(−n) 意味著 m − n 屬於 U。

當 A 是一個交換環時，存在一個關係 $p\parallel q$ 適用於 P(A) 中的某些對 p 和 q

• 定義：當 ad − bc 屬於 N（非單位元）時，點 p = [a:b] 和 q = [c:d] 為點平行。（Benz，第 84 頁，注意公式錯誤）

此關係始終是自反和對稱的。

• 練習：證明，在 A 為域的情況下，則 $\parallel$ 是等價關係。

對於 $\parallel$ 成為等價關係，可以在具有唯一最大理想（稱為區域性環）的環中證明傳遞性。

證明：$[a:b]\parallel [c:d]\ \equiv \ ad-bc\in N.$ 例如，對於 m，n 屬於 N，[n:1] 和 [m:1] 是平行的，但 [n:1] 和 [1:m] 不是。在 A 中，如果主理想 [m] 和 [n] 始終相同，那麼 A 是區域性環，反之亦然。在這種情況下，平行關係是傳遞的。

對偶數環是區域性環的一個例子。

單應性

定義：對於環 A，M(2,A) 表示具有來自 A 的元素的 2x2 矩陣。使用 A 的運算以及矩陣加法和乘法，M(2,A) 本身就是一個環。

交換是 P(A) 上單應性的一個例子，可以用 ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\in M(2,A).$ 表示。M(2,A) 中的矩陣作用表示 P(A) 的變換。左側的行對和右側的 M(2,A) 元素是乘法變換中的兩個因子。當這樣一個矩陣的行列式是環中的一個單位元時，該矩陣在 M(2,A) 中具有逆矩陣。

例如，${\begin{pmatrix}1&1\\-p&-q\end{pmatrix}}$ 的行列式為 p – q。當 p 和 q 屬於 N，且 p+q 也屬於 N 時，該矩陣是奇異的（沒有逆矩陣），p 和 q 是點平行的。如果上面的行列式是一個單位元，那麼該矩陣屬於 P(A) 上的單應群。檢視第一個嵌入，它將 [p:1] 對映到零，將 [q:1] 對映到無窮大。根據 Walter Benz，當沒有單應性透過“鏈”（即 A 是 Q 上的代數的射影直線 P(Q)）連線 p 和 q 時，p 和 q 是點平行的。單應性將 p 和 q 移動到所有射影直線共有的兩個點上。

原始環 A 的運算由作用在嵌入上的 M(2,A) 的元素表示。乘以單位元 *u* 對應於 ${\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}},$，而加 *t* 對應於 ${\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}.$ 此外，M(2,A) 包含矩陣 ${\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}$，對應於第二個嵌入中的加法，或者相對於第一個嵌入的“無窮遠處的平移”。

• w:Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geometrie der Algebren，§2.1 域上的射影直線，§2.1.2 射影群，§2.1.3 傳遞性性質，§2.1.4 交比，Springer 和 Internet Archive。