抽象代數/理想

動機

在環中，我們看到偶數整數集 $2\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z}$ 是整數的子環。

我們也可以很容易地看到整數 $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$ 在通常的加法和乘法運算下是理性數的子環。

偶數整數作為整數的子環時，具有整數作為有理數的子環時所沒有的性質。偶數整數作為有理數的子環時，也缺乏這種性質。

這種性質是，偶數整數作為整數的子環時，吸收乘法。為了方便表示，我們將偶數整數稱為 $I=2\mathbb {Z}$ 。

考慮以下情況：對於所有 $i\in I$ ，我們可以從 $I$ 的定義中看到 $i=2k$ ，其中 $k\in \mathbb {Z}$ 。

對於所有 $a\in \mathbb {Z}$ ，可以看到 $ai=a(2k)=2ak\in I$ 。

在數學中，無論選擇哪個偶數整數，用任何整數乘以它都會得到一個不同的偶數整數。

理想的定義

定義：給定一個環 $R$ ，一個子集 $I\subseteq R$ 被稱為 $R$ 的左理想，如果它從左側吸收乘法；也就是說，如果 $\forall i\in I,\forall r\in R,ri\in I$ 。

定義： 給定一個環 $R$ ，一個子集 $I\subseteq R$ 被稱為 $R$ 的右理想，如果它從右邊吸收乘法；也就是說，如果 $\forall i\in I,\forall r\in R,ir\in I$ 。

定義： 我們定義一個理想 $I$ 為同時是左理想和右理想的東西。我們還要求 $(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的一個子群。

我們寫 $I\triangleleft R$ 作為此的簡寫。

為了驗證環的子集是否是理想，只需檢查它是否在減法下封閉，以及它是否吸收乘法；這是因為來自抽象代數/群論/子群的子群準則。

定義： 一個理想 $I\triangleleft R$ 是真理想，如果 $I\subsetneq R$ 。

定義： 一個理想 $I\triangleleft R$ 是平凡的，如果 $I=\{0\}$ 。

引理： 一個理想 $I$ 是真理想當且僅當 $1\notin I$ 。

證明： 如果 $1\in I$ 那麼 $r=r1\in I$ 所以 $I=R$ 。

反之是顯然的。

定理： 在除環中，唯一真理想是平凡的。

證明： 假設我們在一個除環中有一個具有非零元素 a 的理想。取除環中的任何元素 b。然後 a⁻¹b 也在除環中，並且 aa⁻¹b = b 在理想中。因此，它不是真理想。

定義： 令 S 是環 R 的一個非空子集。則由 S 生成的理想定義為包含 S 的 R 中最小的理想，即所有此類理想的交集。我們可以透過所有有限和的集合來表徵這個理想

$\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i1}s_{i}r_{i2}|r_{i1},r_{i2}\in R,s_{i}\in S\right\}$

很容易驗證這是一個理想，並且包含S的所有理想都必須包含這個理想。如果它是可交換的，那麼可以簡單地將其表徵為

$\left\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}1s_{i}|r_{i}\in R,s_{i}\in S\right\}$

由單個元素 a 生成的理想稱為主理想。如果環是可交換的，那麼它包含環中所有形式為 ra 的元素，其中 r 是環中的任何元素。

示例：令 $R=\mathbb {Z}$ 是整數環。主理想 $(n)$ 是 $\mathbb {Z}$ 的子集，包含 $n$ 的正負倍數。例如 $(2)$ 是偶數的子集。然後可以將商環 $\mathbb {Z} /(n)$ 簡單地視為集合 $\{0,1,\ldots ,n-1\}$ ，在模 $n$ 的加法和乘法下。

理想的運算

給定一系列理想，我們可以生成其他理想。例如，很容易檢查任何理想族的交集仍然是理想。我們簡單地將其寫為 $\bigcap _{j\in J}I_{j}$ .

給定任意集合 $S\subset R$ ，我們可以構造 $R$ 中包含 $S$ 的最小理想，記作 $\langle S\rangle$ 。它由 $\langle S\rangle =\bigcap _{S\subset I\triangleleft R}I$ 確定，儘管通常我們可以比這更明確。

如果 $I_{j\in J}$ 是理想的集合，我們可以確定和，記作 $\sum _{j\in J}I_{j}$ ，作為包含所有理想 $I_{j}$ 的最小理想。可以明確地檢查其元素是形式 $\sum _{j\in J}x_{j}$ 的有限和。

最後，如果 $I,J$ 是 $R$ 中的兩個理想，我們可以確定理想理論的乘積，作為包含集合理論乘積 $\{ij\mid i\in I,j\in J\}$ 的最小理想。請注意，理想理論的乘積一般嚴格大於集合理論的乘積，並且它僅僅由形式 $\sum i_{r}j_{r}$ 的有限和組成，其中 $i_{r}\in I\;j_{r}\in J$

示例： 令 $(m)$ 和 $(n)$ 是 $\mathbb {Z}$ 中給出的主理想。那麼可以明確地檢查到 $(m)\cap (n)=(r)$ ，其中 r 是 m 和 n 的最小公倍數。此外 $(m)(n)=(mn)$ ，且 $(m)+(n)=(s)$ ，其中 s 是 m 和 n 的最大公約數。觀察到 $(m)(n)=(m)\cap (n)$ 當且僅當 s = mn 當且僅當 m 和 n 互質當且僅當 $(m)+(n)=(1)$ 。

同態與理想

環，類似於群，也具有作為同態核的因子物件。令 $f:R\to S$ 為環同態。讓我們確定 f 的核的結構，它被定義為所有對映到恆等元素的元素。

如果 a 和 b 屬於 f 的核，即 $f(a)=f(b)=0$ ，且 r 是 R 中的任意元素，那麼

f(a-b)=f(a)-f(b)=0

,

f(ar)=f(a)f(r)=0

,

f(ra)=f(r)f(a)=0

.

因此 $\ker(f)$ 是 R 的一個理想。

還要注意，當核僅包含恆等元素時，同態將是單同態，即它是單射或一對一。

我們還有以下內容
定理：如果 R 的唯一真理想是平凡理想 {0}，那麼如果 f 是從 R 到 S 的同態，且它不會將 R 的所有元素對映到 S 的恆等元素，那麼它是單射。
證明：同態的核必須是一個理想，並且由於唯一的理想是 R 和平凡理想，這兩個理想之一必須是核。然而，由於 R 的所有元素都不對映到 S 的恆等元素，所以 R 不是核，因此平凡理想必須是核。

由於所有除環都滿足此條件，因此它對所有除環都成立。

下一節中對因子環的構造將證明，對於任何理想 I，都存在一個以 I 為核的同態。

因子環

定義： 給定一個環 $R$ 和一個理想 $I\subseteq R$ ， $R$ 的陪集環，記為 $R/I$ ，其中每個陪集定義為集合 {r+i|i 是 I 中的元素}，根據拉格朗日定理，它對 R 進行劃分。這組陪集稱為 $R$ 模 $I$ 的因子環（或商環）是一個環，其加法定義與群的加法定義相同（因為環在加法下構成一個群），其乘法定義如下

$(a+I)(b+I)=ab+I$ .

為了證明這與 a 和 b 的選擇無關（或者說，這些運算定義良好），假設 a' 和 b' 是同一個陪集中的元素。那麼 a'=a+j 和 b'=b+k，其中 j、k 是 I 中的某些元素。然後 a'b'=ab+ak+jb+jk，由於 ak、jb 和 jk 是 I 中的元素，所以 a'b' 和 ab 必須屬於同一個陪集，因此 ab+I=a'b'+I。顯然陪集在加法下構成一個群，因為之前已經證明了因子群，而且因子環在加法下構成一個阿貝爾群，因為環在加法下構成一個阿貝爾群。由於乘積 rs+I 與環中的乘法類似，因此它顯然具有環的所有性質。此外，如果環是交換的，那麼因子環也將是交換的。

觀察到存在一個規範環同態 $\pi :R\rightarrow R/I$ 由 $\pi (r)=r+I$ 確定，稱為投影對映。我們將在同構定理的下一節中記錄此同態的一些性質。

環同構定理

我們已經證明了群的同構定理。現在我們可以使用類似的引數來證明環的同構定理，用理想代替“正規子群”的概念。

因子定理

令 I 為環 R 的一個理想，令 $\pi (x)=x+I$ 為從 R 到 R/I 的通常同態。現在令 f 為從 R 到 S 的同態。觀察到如果 ${\tilde {\phi }}:R/I\rightarrow S$ 是一個環同態，那麼複合 $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \pi :R\rightarrow R/I\rightarrow S$ 是一個環同態，使得 $I\subset \ker {\phi }$ （因為 $x\in I\Rightarrow \phi (x)={\tilde {\phi }}\circ \pi (x)={\tilde {\phi }}(0_{R/I})=0_{S}$ ）。這在以下意義上表徵了所有此類態射

因式定理：令 $\phi :R\rightarrow S$ 為一個環同態，使得 $I\subset \ker {\phi }$ 。那麼存在唯一的同態 ${\tilde {\phi }}:R/I\rightarrow S$ 使得 $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \pi$ 。此外， ${\tilde {\phi }}$ 是一個滿同態當且僅當 $\phi$ 是一個滿同態， ${\tilde {\phi }}$ 是一個單同態當且僅當其核為 I。

證明我們用與群相同的證明方法。定義 ${\tilde {\phi }}(x+I)$ 為 $\phi (x)$ 。要證明這是良定義的，設 a+I=b+I，從而 a-b 是 I 的元素，所以 $\phi (a-b)=0_{S}$ ，所以 $\phi (a)=\phi (b)$ 。現在 $\phi$ 是一個同態，這意味著 ${\tilde {\phi }}$ 也是。關於額外語句的證明可以從群的商定理額外語句的證明中引申過來。

第一同構定理

設 R 為一個環，設 f 為從 R 到 S 的同態，核為 K。那麼 f 的像與 R/K 同構。

證明
利用商定理，我們可以找到從 R/K 到 S 的同態，由於核與形成商群所用的理想相同，而且 f 是關於其像的滿射，所以該同態是一個同構。

第二同構定理

設 R 為一個環，設 I 為一個理想，設 S 為一個子環。

S+I，所有形式為 s+i 的元素的集合，其中 s 在 S 內，i 在 I 內，是 R 的子環。
I 是 S+I 的一個理想。
S 和 I 的交集是 S 的一個理想。
(S+I)/I 與 $S/(S\cap I)$ 同構。

證明

可以驗證它包含 1，並且對乘法封閉。
當然，由於 I 是 R 的一個理想，那麼它必須是在任何子環下的一個理想。
從對群的類似論證中，它只能包含 I 的元素，但限制在 S 內，所以它一定是 S 的一個理想。
設 $f:R\rightarrow R/I$ 是限制在定義域 S 上的函式，並定義 $f(x)=x+I$ 。很明顯，它的核是 $S\cap I$ ，它的像是 (S+I)/I。

第三同構定理

設 I 為環 R 的一個理想，設 J 為同一個環 R 的包含 I 的理想。J/I 是 R/I 的一個理想，並且 R/J 與 (R/I)/(J/I) 同構。

證明定義函式 $f:R/I\rightarrow R/J$ 為 $f(a+I)=a+J$ ，它是良定義的，因為 I 是在 J 內的理想。它顯然也是一個同態。它的核是所有對映到 J 的元素，因此是所有 a+I，其中 a 在 J 內，或者 J/I。此外，它的像是 R/J，因此我們可以使用第一同構定理來證明該結果。

對應定理

設 I 為環 R 的一個理想。定義函式 $\pi$ 將包含 I 的所有環和理想對映到 R/I 的所有環和理想，其中 $\pi (X)$ = 所有形如 x+I 的陪集的集合，其中 x 是 X 的一個元素。該函式是一對一的，並且包含 I 的環或理想的像是在 R/I 中的環或理想。

證明定義從包含 I 的環或理想到 R/I 的環或理想的函式 f，由 f(A)=A/I。我們已經證明了對應於加法的結論，因為環在加法下構成阿貝爾群。因此，我們只需要檢查乘法。假設 S 是包含 I 的 R 的子環。S/I 很明顯在加法和減法下封閉。對於乘法，假設 x 和 y 是 S 的元素。那麼 (x+I)(y+I)=xy+I 也是 S/I 的元素，這證明了它在乘法下封閉。單位元 1 在 S 中，我們有 1+I 也在 S/I 中。因此，S/I 是 R/I 的子環。現在假設 S/I 是 R/I 的子環。那麼很明顯 S 在加法、減法和乘法下封閉，這證明了 S 是 R 的子環。現在假設 J 是包含 I 的 R 的理想。然後根據第三同構定理，J/I 是 R/I 的理想。現在假設 J/I 是 R/I 的理想。令 r 為 R 的任何元素，令 j 為 J 的任何元素。由於 J/I 是 R/I 的理想，(r+I)(j+I)=rj+I 必須是 J/I 的元素。這表明 rj 必須是 J 的元素，證明了 J 是 R 的理想。

中國剩餘定理

定義

定義： 兩個元素 $a,b$ 在理想 $I$ 中被稱為同餘當且僅當它們屬於 R/I 中的同一個陪集。當且僅當 a-b 在 I 中時，這是成立的。寫成 $a=b{\bmod {I}}$ 來表示 $a$ 模 $I$ 同餘於 $b$ 。

引理： 給定一個理想 $I\subseteq R$ ，環 $R$ 的一個子集，元素 $r\in R$ 模 $I$ 的同餘類 $[r]$ 是 $[0]$ 當且僅當 $r\in I$ 。要看到這一點，只需注意 $a=b{\bmod {I}}$ 意味著 $a-b\in I$ ；代入得到 $r-0\in I$ 。

定義： 當存在整數 x 和 y 使得 ax+by=1 時，兩個自然數互質。我們對環也進行同樣的操作 - 當存在環元素 a、b 和元素 i（屬於 I）和元素 j（屬於 J）使得 ai+bj=1 時，兩個理想 I 和 J 互質。換句話說，如果兩個理想的和包含單位元，即 I+J 等於整個環 R，則這兩個理想互質。

我們現在將證明

中國剩餘定理

令 R 為一個環，並令 $I_{n}$ 為 n 個兩兩互質（即考慮任意兩個對）的理想。

令 a 為從 1 到 n 的一個數字。存在一個環元素 r 屬於所有理想 $I_{n}$ 中，使得 $n\neq a$ ，並且 $r=1{\bmod {I_{a}}}$
令 $r_{1},r_{2},...,r_{n}$ 為環 R 中的元素。那麼存在一個環元素 r 屬於 R，使得 $r=r_{i}{\bmod {I_{i}}}$ 對所有 i=1,2,3,...,n 成立。
令 I 為這些理想的交集。環 R 中的另一個元素 s 滿足 $s=r_{i}{\bmod {I_{i}}}$ 對所有 i=1,2,3,...,n 成立當且僅當 $r=s{\bmod {I}}$ 。
R/I 同構於積環 $\Pi _{i=1}^{n}R/I_{i}$

證明

由於 $I_{1}$ 和 $I_{i}$ (i>1) 互素，存在元素 $b_{i}\in I_{1}$ 和 $c_{i}\in I_{i}$ (i>1)，使得 $b_{i}+c_{i}=1$ 。這意味著 $\Pi _{i=2}^{n}(b_{i}+c_{i})=1$ 。現在我們展開左邊的乘積。除了 $c_{2}c_{3}c_{4}...c_{n}$ 之外的所有項都屬於 $I_{1}$ ，而 $c_{2}c_{3}c_{4}...c_{n}$ 本身屬於集合 S，該集合包含所有 $x_{2}x_{3}x_{4}...x_{n}$ 形式的有限乘積和，其中 $x_{i}\in I_{i}$ 。因此，它可以寫成 b+a=1 的形式，其中 b 是 $I_{1}$ 的元素，而 a 是 S 的元素。然後 $a\equiv 1{\pmod {I_{1}}}$ 且 $a\equiv 0{\pmod {I_{i}}}$ ，其中 i>1。

素理想和極大理想

環中存在兩類重要的理想——素理想和極大理想。

定義：理想 $I\triangleleft R$ 稱為素理想，如果它滿足

對於任何理想 A 和 B，如果 AB 是 I 的子集，則 A 屬於 I 或 B 屬於 I。

定義：理想 $I\triangleleft R$ 稱為極大理想，如果它是真理想（即 $I\subsetneq R$ ），並且它滿足

$I\subset J\triangleleft R\implies I=J{\text{ or }}J=R$

也就是說，在 $I$ 和 $R$ 之間沒有真理想。

以下引理對於許多結果都很重要，它利用了佐恩引理（或等價地，選擇公理）。

引理：環中每個不可逆元都包含在某個極大理想中

證明：假設 $x$ 是不可逆元。首先觀察到 $(x)$ 是一個真理想，因為如果 $(x)=R$ ，那麼特別地 $1\in (x)$ ，因此 $1=ax$ ，與假設矛盾。令 ${\mathcal {S}}$ 是 $R$ 中包含 $x$ 的真理想集合，按包含關係排序。第一個觀察結果意味著 ${\mathcal {S}}$ 非空，因此要應用佐恩引理，我們只需證明每個遞增理想集合都包含一個上界。假設 $\{I_{j}\}_{j}$ 是這樣一個遞增集合，那麼最小上界是 $\sum _{j\in j}I_{j}$ ，因為它是包含每個理想的最小理想。如果驗證聯合 $\cup _{j\in J}I_{j}$ 是一個理想，那麼它一定是 $\sum _{j\in J}I_{j}$ 。要證明它是真理想，我們只需證明 $1\notin \cup _{j\in J}I_{j}$ 對於所有 $j$ 。但這一點正是由於每個 $I_{j}$ 都是真理想。

因此，根據佐恩引理，存在一個 $J$ 的最大元素 ${\mathcal {S}}$ 。顯然，它是最大的，因為如果 $J'$ 是任何滿足 $J\subset J^{\prime }\subsetneq R$ 的理想，那麼 $J^{\prime }$ 將是 ${\mathcal {S}}$ 的一個元素，並且根據 $J$ 的最大性，我們將有 $J^{\prime }\subset J$ ，因此 $J=J^{\prime }$ 。

環的性質可以用理想結構來自然地重新表達。例如

命題：交換環 $R$ 是一個整環，當且僅當 $(0)$ 是一個素理想。

證明：這是因為 $x=0\iff x\in (0)$ 。

這解釋了為什麼整環也被稱為素環。類似地，我們可以給出環為域的充分必要條件

命題：交換環 $R$ 是一個域，當且僅當 $(0)$ 是一個極大理想（即不存在真理想）

證明：我們只需要證明每個元素 $0\neq x\in R$ 是可逆的。假設不是，那麼根據引理... $x$ 包含在某個（真）極大理想中，這是一個矛盾。

推論：理想 $I\triangleleft R$ 是極大的，當且僅當 $R/I$ 是一個域。

證明：根據前面的命題，我們知道 $R/I$ 是一個域，當且僅當它唯一的真理想是 $(0)$ 。根據對應定理（...）這種情況當且僅當不存在包含 $I$ 的真理想。

推論：當S是一個域時，從R到S的同態f的核是一個極大理想。根據第一同構定理，這個證明是正確的，因為S與R/ker f同構。

顯然，

引理：理想 $I\triangleleft R$ 是 素理想 當且僅當 $R/I$ 是一個整環。

證明：用 ${\bar {x}}$ 表示對應於等價類 $[x]$ 的 $R/I$ 中的元素。顯然， $R/I$ 中的每一個元素都可以寫成這種形式。

$\Rightarrow )$ ${\bar {xy}}=0\iff xy\in I\iff x\in I{\text{ or }}y\in I\iff {\bar {x}}=0{\text{ or }}{\bar {y}}=0$ 其中第二個等價關係直接由 $I$ 是素理想得到。

$\Leftarrow )$ 這可以透過完全相同的方式得出。

推論：當 S 是一個整環時，從 R 到 S 的同態 f 的核是一個素理想。該證明由第一同構定理得出，因為 S 與 R/ker f 同構。

引理：極大理想也是素理想。

證明：假設 $I\triangleleft R$ 是一個極大理想，且 $xy\in I$ 。進一步假設 $x\notin I$ 。那麼理想 $I+(x)$ 是一個包含 $I$ 和 $x$ 的理想，因此嚴格大於 $I$ 。根據極大性， $I+(x)=R\ni 1$ 。所以 $1=i+rx\implies y=iy+rxy\in I$ 。
或者，我們可以利用上面兩個結果，以及所有域都是整環的事實來證明這一點。

術語表

請參閱完整的維基百科：環論術語表。