抽象代數/群論/子群

子群

我們即將見證數學的一個普遍方面。也就是說，無論何時我們有任何結構，我們都會問自己：它是否允許子結構？在群的情況下，答案是肯定的，我們馬上就會看到。

定義 1： 令 $G$ 是一個群。那麼，如果 $H\subseteq G$ 是 $G$ 的一個子集，並且在與 $G$ 相同的操作下自身是一個群，我們稱 $H$ 是 $G$ 的一個子群，並寫成 $H\leq G$ 。

示例 2： 任何群 $G$ 至少有 2 個子群； $G$ 本身和平凡群 $\{e\}$ 。它們分別稱為 $G$ 的非真子群和平凡子群。

當然，我們希望有一種方法來確定一個群的給定子集是否是子群。以下兩個定理提供了這種方法。由於 $H$ 自然地從 $G$ 繼承了結合律，我們只需要檢查封閉性。

定理 3： 群 $G$ 的一個非空子集 $H$ 是一個子群當且僅當

(i)

H

在

G

上的操作下是封閉的。也就是說，如果

a,b\in H

，則

ab\in H

，

(ii)

e\in H

，

(iii)

H

在取逆運算下是封閉的。也就是說，如果

a\in H

，那麼

a^{-1}\in H

。

證明：左邊的蘊含直接由群公理和子群的定義得到。對於右邊的蘊含，我們需要對 $H$ 驗證每一個群公理。首先，由於 $H$ 是封閉的，它是一個二元結構，如所要求的那樣，並且如前所述， $H$ 從 G 繼承了結合律。此外， $H$ 具有單位元和逆元，所以 $H$ 是一個群，證畢。 ∎

然而，存在一個更有效的方法。上面列出的三個條件中的每一個都可以濃縮成一個條件。

定理 4： 設 $G$ 是一個群。那麼一個非空的子集 $H\subseteq G$ 是一個子群當且僅當 $a,b\in H\,\Rightarrow \,ab^{-1}\in H$ 。

證明：左側蘊含關係是直接的。對於右側蘊含關係，我們需要驗證之前定理中的 (i)-(iii)。首先，假設 $a\in H$ 。然後，令 $b=a$ ，我們得到 $aa^{-1}=e\in H$ ，滿足 (ii)。現在，由於 $e,a\in H$ ，我們有 $ea^{-1}=a^{-1}\in H$ ，因此 $H$ 對取逆運算封閉，滿足 (iii)。最後，假設 $a,b\in H$ 。然後，由於 $b^{-1}\in H$ ，我們得到 $a(b^{-1})^{-1}=ab\in H$ ，因此 $H$ 對 $G$ 的運算封閉，滿足 (i)，至此證明完畢。 ∎

好的，現在我們知道如何識別給定的子群。接下來，我們看看如何在一個給定的群中找到子群。下面的定理基本解決了這個問題。

定理 5：令 $G$ 是一個群， $g\in G$ 。那麼子集 $\{g^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$ 是 $G$ 的一個子群，記作 $\langle g\rangle$ ，稱為由 $g$ 生成的子群。此外，這是包含 $g$ 的最小子群，也就是說，如果 $H$ 是一個子群，並且 $g\in H$ ，那麼 $\langle g\rangle \leq H$ 。

證明：首先我們證明 $\langle g\rangle$ 是一個子群。為了看到這一點，請注意，如果 $h,k\in \langle g\rangle$ ，則存在整數 $n,m\in \mathbb {Z}$ 使得 $h=g^{n}\,,\,k=g^{m}$ 。然後，我們觀察到 $hk^{-1}=g^{n}g^{-m}=g^{n-m}\in \langle g\rangle$ ，因為 $n-m\in \mathbb {Z}$ ，所以 $\langle g\rangle$ 是 $G$ 的子群，如所聲稱。為了表明它是包含 $g$ 的最小子群，請觀察，如果 $H$ 是包含 $g$ 的子群，那麼根據對積和逆的封閉性， $g^{n}\in H$ ，對於所有 $n\in Z$ 。換句話說， $\langle g\rangle \subseteq H$ 。那麼自動地 $\langle g\rangle \leq H$ ，因為 $\langle g\rangle$ 是 $G$ 的子群。 ∎

定理 6： 令 $H$ 和 $H^{\prime }$ 是群 $G$ 的子群。那麼 $H\cap H^{\prime }$ 也是 $G$ 的子群。

證明：由於 $H$ 和 $H^{\prime }$ 都包含單位元，它們的交集非空。令 $a,b\in H\cap H^{\prime }$ 。則 $a,b\in H$ 且 $a,b\in H^{\prime }$ 。由於 $H$ 和 $H^{\prime }$ 都是子群，我們有 $ab^{-1}\in H$ 且 $ab^{-1}\in H^{\prime }$ 。因此， $ab^{-1}\in H\cap H^{\prime }$ 。從而 $H\cap H^{\prime }$ 是 $G$ 的子群。 ∎

定理 6 可以很容易地推廣到任意交集 $\bigcap _{i\in I}H_{i}$ ，其中 $H_{i}$ 是任意索引集 $I$ 中每個 $i$ 的子群。推理是相同的，這個推廣的證明留給讀者形式化。

定義 7: 令 $G$ 為一個群， $H$ 為 $G$ 的一個子群。則 $gH=\{gh\mid h\in H\}$ 被稱為 $H$ 的左陪集。 $H$ 在 $G$ 中的所有左陪集的集合記為 $G/H$ 。同樣地， $Hg=\{hg\mid h\in H\}$ 被稱為右陪集， $H$ 在 $G$ 中的所有右陪集的集合記為 $H\backslash G$ .

引理 8: 令 $G$ 為一個群， $H$ 為 $G$ 的一個子群。則每個左陪集具有相同數量的元素。

證明: 令 $g\in G$ ，並定義函式 $f\,:\,H\rightarrow gH$ 為 $h\mapsto gh$ 。我們證明 $f$ 是一個雙射。首先，根據左消去律， $gh=gh^{\prime }\,\Rightarrow \,h=h^{\prime }$ ，所以 $f$ 是單射。其次，令 $h^{\prime }\in gH$ 。那麼存在某個 $h\in H$ 使得 $h^{\prime }=gh$ ，並且 $f(h)=h^{\prime }$ ，所以 $f$ 是滿射，也是雙射。因此， $|H|=|gH|$ ，證畢。∎

引理 9：由 $a\sim b\,\Leftrightarrow \,a^{-1}b\in H$ 定義的關係 $\sim$ 是一個等價關係。

證明: 自反性和對稱性是顯然的。為了證明傳遞性，令 $a\sim b$ 且 $b\sim c$ 。那麼 $a^{-1}b,b^{-1}c\in H$ ，所以 $a^{-1}c\in H$ ，證畢。∎

引理 10： 令 $G$ 為一個群， $H$ 為 $G$ 的一個子群。那麼 $H$ 的左陪集劃分 $G$ 。

證明：注意 $aH=bH\Leftrightarrow ah=bh^{\prime }\,\Leftrightarrow a^{-1}bh^{\prime }=h\,\Leftrightarrow a^{-1}b\in H$ 對於某些 $h,h^{\prime }\in H$ 。由於 $a\sim b\,\Leftrightarrow \,a^{-1}b\in H$ 是一個等價關係，等價類就是 $H$ 的左陪集，這些陪集會自動劃分 $G$ 。 ∎