抽象代數/群論/子群/迴圈子群/迴圈子群的定義

設G為一個群。設g為G的一個元素。

由g生成的迴圈子群為

$\forall \;g\in G:\langle g\rangle =\lbrace g^{n}\;|\;n\in \mathbb {Z} \rbrace$

其中$g^{n}={\begin{cases}\underbrace {g\ast g\cdots \ast g} _{n},&n\in \mathbb {Z} ,n\geq 0\\\underbrace {g^{-1}\ast g^{-1}\cdots \ast g^{-1}} _{-n},&n\in \mathbb {Z} ,n<0\end{cases}}$

透過歸納法，我們有

$\forall g\in G:\forall n,m\in \mathbb {Z} :g^{m+n}=g^{m}\ast g^{n}{\text{ and }}g^{mn}=[g^{m}]^{n}$