抽象代數/群論/子群/子群的交集是一個子群

定理

設 H₁, H₂, ... H_n 是群 G 的子群，運算為 $\ast$

$H_{1}\cap H_{2}\cap \cdots \cap H_{n}$ 對於 $\ast$ 是群 G 的子群

$\color {RawSienna}(H_{1}\cap H_{2})\subseteq G$

1. $H_{1}\subseteq G$	H1 是 G 的子群
2. $H_{2}\subseteq G$	H2 是 G 的子群
3. $(H_{1}\cap H_{2})\subseteq G$	1. 和 2.

$\color {RawSienna}H_{1}\cap H_{2}$ 對於 $\color {RawSienna}\ast$ 是一個群

封閉性

4. 選擇 $x,y\in (H_{1}\cap H_{2})$
5. $x\ast y\in H_{1}$	封閉性 of H1
6. $x\ast y\in H_{2}$	閉包 的 H2
7. $x\ast y\in (H_{1}\cap H_{2})$	5. 和 6.

結合律

8. $\ast$ 是 G 上的結合律。	群 G 的運算為 $\ast$
9. $(H_{1}\cap H_{2})\subseteq G$	3.
10. $\ast$ 在 $(H_{1}\cap H_{2})$ 上是結合律	8. 和 9.

單位元

11. $e_{G}\in H_{1}$ 和 $e_{G}\in H_{2}$	子群 H1 和 H2 繼承 G 的單位元
12. $\forall g\in G:e_{G}\ast g=g\ast e_{G}=g$	eG 是 單位元 的 G,
13. $\forall \;g\in (H_{1}\cap H_{2}):e_{G}\ast g=g\ast e_{G}=g$	$(H_{1}\cap H_{2})\subseteq G$ 和 9.
14. $(H_{1}\cap H_{2})$ 有單位元 eG	單位元定義

逆元

15. 選擇 $g\in (H_{1}\cap H_{2})\subseteq G$
16. $g\in H_{1}$，$g\in H_{2}$，以及$g\in G$
17. gH1−1 在 H1 中，gH2−1 在 H2 中。	G、H1 和 H2 是群
18. $g_{H1}^{-1}\in G$	$H_{1}\subseteq G$
19. $g_{H1}^{-1}\ast g=g\ast g_{H1}^{-1}=e_{G}$	G 和 H1 共享單位元 e
20. gH1−1 是 g 在 G 中的逆元	19. 和逆元的定義
21. 令 gG−1 是 g 在 G 中的逆元
22. gG−1 = gH1−1	逆元是唯一的
22. gG−1 = gH2−1	與 21 相似。
23. $g^{-1}=g_{H1}^{-1}=g_{H2}^{-1}\in (H_{1}\cap H_{2})$
24. g 在$(H_{1}\cap H_{2})$ 中有逆元 g−1