抽象代數/剪下與斜率

首先需要定義的是三角形、底、頂點和面積。例如，對於給定底和麵積的三角形，頂點的軌跡是平行於底的直線。想象一下頂點沿著這條直線移動，使三角形變形。想象一下，整個平面也透過一個將直線變換成直線的變換而變形。這種變換稱為剪下對映。

剪下對映可以用線性變換表示

$(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(t,tv+x).$

這裡它以動力學解釋寫出，以垂直 (x) 空間軸為時間 (t) 水平演化，例如在時間序列研究中使用。

在 t=1 時，剪下將 (1,0) 變換為 (1,v)，即斜率為 v 的直線與 t=1 相交的點。因此，剪下變換中的引數 v 可以稱為斜率。

由常數 t 和 x 給出的矩形透過剪下變換為平行四邊形，但其中一個平行四邊形的面積等於變換前矩形的面積。因此，剪下變換保留了面積。

令 $e={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$，並注意 e² = 0，為零矩陣，而剪下矩陣為 ve 加上單位矩陣。對偶數在抽象代數中被用來為矩陣子代數 ${\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}:$提供一個簡寫符號。

定義：$N=\{a+be:a,b\in R,\ e^{2}=0\}$ 是對偶數的集合。基 {1,e} 將它描述為 R 上的 2-代數。如果 z = a+be，令 z* = a−be，為共軛。那麼

$(a+be)(a-be)=a^{2}$，因為 e² = 0。

注意，zz* = 1 意味著 z = ± 1 + be 對於 R 中的某個 b。此外，exp(be) = 1 + be，因為當應用於 e 軸時，指數級數在兩項後被截斷。因此，1 + ve 的對數為 v。因此，v 可以被認為是 1+ve 的角度，就像單位圓上的點的對數是該點的弧度角一樣，如尤拉公式（exp 和 log 是互逆的）。

作用於平面的剪下對映形成了一個乘法群，它與實數的加法群同構。

三個角度

在歐幾里得平面幾何中，存在直角、銳角、鈍角的三分法。這裡，線性運動的三分法區分了三種角度。

每個角度都圍繞著它獨特的運動旋轉：圓周角的旋轉，壓縮對映的雙曲線角，以及斜率的剪下。此外，每個運動都會演化為它獨特的複雜代數：剪下的對偶數，雙曲角的分裂二元數，以及旋轉和圓周角對應於除法二元數的平面，一些人稱之為“複數”。事實上，從實 2-代數的角度來看，“複數”是模稜兩可的：每個除法二元數、分裂二元數和對偶數都形成了一個“複數”平面。

圓上弧長的一個性質是它在旋轉下保持不變。據說“弧長是旋轉的不變數”。t=1 上被剪下變換的線段，在剪下前後長度保持一致。類似地，雙曲線角在壓縮下是不變的。這三種不變性可以一起看作是這三種運動的面積不變性的結果：雙曲線角是對應於 xy=1 的雙曲線扇區的面積，其最小半徑為 √2 到 (1,1)。圓周角對應於半徑為 √2 的圓中扇區的面積。最後，斜率等於底在 t= √2 上且斜邊對應於斜率的三角形的面積。由於壓縮、剪下和旋轉都是面積保持的，因此它們在相應平面上的運動保持了那裡的中心角。角度保持研究的傳統術語是共形對映，通常假設圓周角。

這些三種角度為每個作為2 × 2 實矩陣子空間的三個 2-代數中的極座標提供了引數。