結合代數/二元數

除法二元數 C 是複數域。

$z=x+yi,\ \ i^{2}=-1,\ \ x,y\in R,\quad z^{*}=x-yi.$

許多學術期刊和大學教材都致力於 C 的函數理論，例如華夏公益教科書 複分析。

除法二元數

令 $z=x+iy,\ \ zz^{*}=x^{2}+y^{2}=N(z)$ 是從 0 到 z 的歐幾里得距離的平方。此外，從 0 到 w 和 z 的向量在 C 中是垂直的，z ⊥ w，當 $zw^{*}+wz^{*}=0.$ 這些特性使 C 成為展示歐幾里得幾何主題的理想工具。

命題：w:菱形的對角線是垂直的。

證明：四個二元數 $\{0,z,w,z+w\},\ \ zz^{*}=ww^{*}$ 構成一個菱形。一條對角線是 z + w，另一條平行於 z – w。它們是垂直的，因為

$(z+w)(z-w)^{*}+(z-w)(z+w)^{*}=0.$.

命題：歐幾里得平面等距變換要麼是平移 z → z + t，要麼是旋轉，如 $z\rightarrow \omega z,\quad \omega \omega ^{*}=1.$

請注意，關於 p 的旋轉可以透過以下算術運算得到：$z\mapsto \omega (z-p)+p=\omega z+p(1-\omega )$

其中最後一個表示式顯示了等價於在 0 處的旋轉和平移的對映。因此，給定直接等距變換 $z\mapsto \omega z+a,$，可以解出 $p(1-\omega )=a$ 以獲得 $p=a/(1-\omega )$ 作為等效旋轉的中心，前提是 $\omega \neq 1$，即前提是直接等距變換不是純粹的平移。

莫比烏斯變換

莫比烏斯變換作用於除法二元數上的射影直線。這條直線上的點使用射影座標：（a,b）~(c,d) 當且僅當存在一個非零 u 使得 ua=c 且 ub=d。這個二元關係 ~ 對除法二元數對是一個等價關係，其中等價類記為 [a:b]，對於類中的任何對 (a,b) 而言。射影直線上沒有點對應於 (0,0)。

作為射影線性變換，莫比烏斯變換可以寫成

$[z,w]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[az+bw,\ cz+dw].$

點 [z,0] = [1,0] 對應於關於 C 中其餘部分的無窮遠點，它由 [z,w]=[zw⁻¹, 1] 表示。

練習：證明莫比烏斯變換將無窮遠點對映到 a/c。

對於其他點，令 w = 1，所以

$[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[az+b,\ cz+d]=\left[{\frac {az+b}{cz+d}},1\right]$ 當 *z* ≠ −d/c 時。

為了避免奇異變換，*ad* −*bc* 被認為不為零。在莫比烏斯變換下的一些特殊變換包括

• 情況 1：*b*=*c*=0，*d*=1。*a*>1 放大，0<*a*<1 縮小，*a*=-1 關於 0 反射，*aa*^*=1 旋轉
• 情況 2：*c*=0，*a*=*d*=1，*b*=*t* 平移二元平面，在 C 中平移 *t*
• 情況 3：*a*=*d*=0，*b*=*c*=1 C 的乘法逆，擴充套件到 0 和無窮大。

注意旋轉 *z* 到 *uz* 將 [0,1] 和 [1,0] 保持不變。此外，任何兩個不同的點 *p* 和 *q* 可以透過以下方式放置到這些極性對立面：

$[z,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-q&-p\end{pmatrix}}=[z-q,\ z-p].$

第三個點 *r* 的影像不能是 [1,1]，因為 *p* ≠ *q*，但 *r* 可以移動到那裡：令 $w={\frac {r-p}{r-q}}.$ 那麼

$[r,1]{\begin{pmatrix}w&1\\-wq&-p\end{pmatrix}}=[rw-wq,\ r-p]=[1,1].$

因此，構建的變換將 *p*, *q*, *r* 分別對映到無窮大、0、1。應用於第四個二元數 *z*，影像為 **交叉比** [*z*, *p*, *q*, *r*]。

練習

1. 構造將 −*i* 對映到 [1,0]，0 對映到 [*i*,1]，*i* 對映到 [1,1] 的變換。在該變換下，單位圓盤 *zz*^* < 1 的影像是什麼？
2. 投影線上的兩個點用旋轉固定。證明一個固定三個點的莫比烏斯變換必須是恆等對映。
3. 如果 μ 是一個圓或直線，並且 *g* 是一個莫比烏斯變換，那麼 μ*g* 是一個圓或直線。
4. 如果 *z* 在 *p*, *q*, *r* 的交叉比變換下的影像是一個實數，那麼四個點 *z*, *p*, *q*, *r* 位於同一個圓或直線上。

漢密爾頓

近兩個世紀前（1834 年和 1837 年），威廉·羅恩·漢密爾頓 在探索從實數形成二元數時，寫下了代數對。參見他的論文 共軛函數理論或代數對，由大衛·R·威爾金斯編輯。漢密爾頓將一對的乘積寫為

$(a_{1},\ a_{2})(b_{1},\ b_{2})=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2},\ a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).$

這是威爾金斯文字中 *愛爾蘭皇家科學院會刊* 第 17 卷第 93 頁的方程 37。

這種建立二元數（“複數”）領域的方法是由w:雷蒙德·懷爾德 在 1965 年的 *數學基礎導論* 第二版（第 62 頁）中提出的。這位作者在 1981 年的 *數學作為一種文化體系* （第 33 頁）中指出，使用“實數的有序對（*a*, *b*），*a* 和 *b* 以及操作這些對的規則”是漢密爾頓強加的起源，創造了一個新的概念。

歐幾里得矛盾

雙曲幾何中的平行線比歐幾里得幾何中的更多。

歐幾里得的平行公理被表述為在給定直線外，穿過一個給定點的唯一平行直線。w:羅巴切夫斯基 的幾何提供了穿過一個點，而不是給定直線，並且與之平行的無限條直線。在圖中，考慮給定的藍色弧，以及表示不與藍色弧相交的弧的粉紅色弧。

二元數能夠在單位圓盤中建立雙曲平面的模型。該模型中的測地線是與單位圓垂直相交的圓弧。該模型的運動是保持圓盤不變的莫比烏斯變換。這些變換由具有 $uu^{*}-vv^{*}=1.$ 的同態表示。

事實上，對於投影線上二元數的點 [z : 1]，SU(1,1) 的作用由以下給出

${\bigl [}\;z:\;1\;{\bigr ]}\,{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}=[\;u\,z+v^{*}:\,v\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v^{*}}{vz+u^{*}}}:\,1\;\right]$

因為在射影座標系中 $(\;u\,z+v^{*}:\;v\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v^{*}\,}{v\,z+u^{*}}}:\;1\;\right)~.$

寫作 $\;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,$ 除法二進位制運算表明

${\bigl |}u\,z+v^{*}{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,$

其中 $~S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}~.$ 所以，$~z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v^{*}{\bigr |}<{\bigl |}\,v\,z+u^{*}\,{\bigr |}~$ 使得它們的比率位於開圓盤中。