結合代數/雙元數

L. E. Dickson 首次提出了一種加倍代數的構造方法，並由 A. A. Albert 敘述。該方法假設一個具有共軛 * 的代數，並生成一個維度加倍的代數，以及一個新的共軛：（u, v)* = (u*, −v)，其中 u* 表示原始共軛。新代數的乘積由下式給出

$(u,v)\times (w,x)=(uw-vx^{*},ux+vw^{*}).$

從一個域及其共軛開始，可以構造一系列代數。當起始域是實數 $\mathbb {R} .$ 時，會產生除雙元數。由於實數沒有共軛，所以用單位元代替，並且共軛如上所述產生。繼續構造，使用雙元數共軛，會得到四元數，正如將要看到的那樣。然而，雙元數共軛可以被遺忘（用單位元代替），並根據上面給出的 Dickson/Albert 方法生成雙雙元數。

然後，雙雙元數 是兩個除雙元數 (u, v) 的對，其共軛為 (u, v)* = (u, −v)。雙雙元數的範數為

$(u,v)(u,v)^{*}=(u,v)(u,-v)=(u^{2}-v(-v),\ u(-v)+vu)=(u^{2}+v^{2},\ 0).$

注意，該範數是一個除雙元數，而不是產生度量的範數。

此外，在 C 中 i² = −1，雙雙元數 (u, i u) 的範數為零。這樣的元素被稱為零向量。雙雙元數形成一個分裂代數，因為有些元素是零向量。

兩個雙雙元數的乘積是可交換的，因為生成共軛是單位元。最值得注意的是，存在一個雙雙元數 j = (0, i)，其中 j² = (0, i)² = (−i², 0) = +1。雙雙元數在基底 {1, j } 上的二維子代數被稱為 分裂雙元數。

歷史

在 19 世紀中葉的英國，人們考慮過一個具有兩個可交換的虛單位的代數。Hamilton 在他的雙四元數中使用了可交換的 h。James Cockle 發現虛單位 hi 的乘積的平方為正一，因此他於 1848 年在《哲學雜誌》中寫道，創造了“代數中一個新的虛數”。他使用字母 j，即 j² = +1，已被廣泛採用。儘管 Hamilton 提供了向量運算的詞彙（包括 del 運算子），但這些探索是在集合論、群論和數學符號展開之前進行的。在實軸上取 1，兩個虛單位 h 和 i 以及它們的乘積 hi，Cockle 的可交換代數 T（四元數）具有四個元素的實基底。到 19 世紀末，四元數和四元數被稱為 超複數。

1892 年，Corrado Segre 在《數學年鑑》（第 40 卷：455 至 67 頁）中引入了 雙複數。

該代數的除雙元數基底用於 Dickson 風格的 雙四元數 構造。