抽象代數/超複數

術語群論和環論是代數理解的細化，在20世紀的電子和航空時代發展起來。術語超複數可以追溯到蒸汽時代。在很大程度上，超複數系統已經透過群、環和域提供的視覺解析度而被同化，並且該術語除了歷史參考以外，已經不再使用。類似地，複數$C=\{z=x+iy,\ x,y\in R\},\ i^{2}=-1,$ 的名稱描述不夠充分，根據組合代數理論，可以更好地描述為二元除法 C。

W.R. 漢密爾頓 (1805−1865) 研究了四元數和雙四元數

超複數起源於威廉·羅恩·漢密爾頓在 1840 年代對四元數的構造。他的 vision 的遺產在空間向量代數中得以延續：對於向量$v=ai+bj+ck$ 和 $w=di+ej+fk,$，眾所周知的乘積是

• 點積：$v\cdot w=ad+be+cf\in R$
• 叉積：$v\times w=(bf-ec)i-(af-dc)j+(ae-db)k\in R^{3}.$

這些乘積是漢密爾頓四元數乘積的剩餘部分：$\ \ vw=-v\cdot w+v\times w\in R^{4}.$

1845 年，約翰·T·格雷夫斯和亞瑟·凱萊描述了一個八維超複數系統，現在被稱為八元數或凱萊數。它們擴充套件了四元數，但乘法的結合性消失了。詹姆斯·科克爾挑戰了四元數在四維空間中的假設，他提出了結合的超複數系統四元數（1848 年）和共四元數（1849 年）。漢密爾頓也有自己的八維繫統（雙四元數），在他的四元數講義（1853 年）中進行了探索，但在他的兒子完成的四元數元素（1865 年）和查爾斯·賈斯珀·喬利編輯的版本（1899 年）中幾乎被忽略了。

四元數具有基向量 i、j、k 的反交換性的屬性

$ij=-ji=k,\quad jk=-kj=i,\quad ki=-ik=j.$（在共四元數中$jk=-kj=-i$）。

由於反交換性，向量平方會留下許多被抵消的項

$(ai+bj+ck)^{2}=-a^{2}-b^{2}-c^{2},$ 因此對於 $r=ai+bj+ck,$

$(a^{2}+b^{2}+c^{2}=1)\ \equiv \ (r^{2}=-1).$

對於任何這樣的r，平面{x + y r : x,y 在 R}是一個複數平面，根據尤拉公式，對映$ar\mapsto \cos a+r\sin a$將穿過r的射線對映到該平面上的單位圓的包裹。四元數中的單位球體由這些圓組成，考慮變數r。根據漢密爾頓的說法，單位四元數是一個versor；顯然每個versor都可以透過其引數a和r來識別。

W.K. 克利福德（1845−1879）研究了分裂雙四元數

當反交換律公理改為交換律時，負一的兩個平方根，例如h和i，的乘積hi的平方為$(hi)^{2}=hihi=h^{2}i^{2}=(-1)(-1)=+1.$ 詹姆斯·科克爾的四元數基於這樣一個虛數單位，現在它的平方為加一。科克爾開始使用 j，j² = +1，來表示這個新的虛數單位，它不是負一的平方根。四元數是z = w + z j，其中z, w 在 C 中。實四元數$D=\{a+bj:a,b\in R\}$以單位雙曲線為特色，與單位圓$\{a+bi:a^{2}+b^{2}=1\}\subset C.$形成對比。圓包圍著原點，而雙曲線只在平面的二分之一方向上有半徑，需要一個共軛雙曲線來覆蓋另一半，即使那樣，它們共有的漸近線，也提供了平面上的更多方向。1873年，威廉·金頓·克利福德利用實四元數來修改漢密爾頓的雙四元數：漢密爾頓使用 C（二元數）中的元素作為雙四元數q = w + x i + y j + z k的係數，克利福德使用實四元數（現在被稱為分裂二元數 D）。克利福德的構造展示了一個從給定的代數生成新代數的過程，該過程被稱為張量積：漢密爾頓的雙四元數是$C\otimes H$，克利福德的分裂雙四元數是$D\otimes H.$

克利福德早熟，特別是在他預見到將引力幾何模型化為時間充盈中的山丘和山谷方面。但他生活在集合論、現代邏輯和數學符號，以及抽象代數及其群、環和域的基礎出現之前。光的現實之一是其有限速度：每納秒一英尺，500秒內一個天文單位，或一年內一光年。當一個圖使用任何這些單位對作為軸時，穿過原點的對角線表示光的軌跡，一條代表左光束，另一條代表右光束。對角線是雙曲線的漸近線，例如$aj\mapsto \cosh a+j\sinh a,$一個實四元數。最終，經過數十年的思考，物理學家意識到這個雙曲線是線性速度問題的一個答案：當這樣的累積可能超過光速時，v + w 如何成為兩個速度的總和？

雙曲線位於漸近線之間，不會超過光速。在實四元數系統中，雙曲線上的點是$e^{aj}$和$e^{bj},$，代表群$\{e^{xj}:x\in R\},$中的兩個速度，即一個雙曲線。兩個速度的總和是透過它們的乘積$e^{aj}e^{bj}=e^{(a+b)j},$，即雙曲線上的另一個元素。1911年之後，引數a被稱為快度。顯然，狹義相對論的這一方面源於實四元數。

麥克斯韋-克拉克的電磁工作和海因裡希·赫茲的工作需要一個合適的背景來對包括時間變數的理論進行理論化。麥克斯韋使用了漢密爾頓的del運算子

$\nabla =i{\frac {\partial }{\partial x}}+j{\frac {\partial }{\partial y}}+k{\frac {\partial }{\partial z}}$ 在《電磁學論著》中，

但四元數代數不適合：它隱含地是一個歐幾里德四維空間，因為$qq^{*}=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2},$ 歐幾里德範數的平方。

亞歷山大·麥克法蘭 (1851−1913) 研究了雙曲四元數

在 1890 年代，亞歷山大·麥克法蘭 提倡使用一個超複數系統進行空間分析，該系統用科克爾虛單位球代替了漢密爾頓虛單位球，科克爾虛單位球的平方為 +1。他保留了四元數的反交換性質，所以$qq^{*}=w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$ 然後在這個雙曲四元數系統中，對於球面上的任意r，$\{x+yr:x,y\in R\}$ 是一個分裂二元數平面，包括單位雙曲線，適合表示方向為 r 的任何速率下的運動。雙曲四元數看起來像是電磁學的優雅模型，直到發現它有不足之處。問題是，雙曲四元數中簡單的結合乘法性質失效了，雖然它是一個具有有用模型的超複數系統，但失去這種性質使它超出了群論的範圍，例如。

一旦建立了向量空間的公理，超複數系統就被包括進來。公理要求一個向量可交換群、一個標量域和操作規則。將向量空間的公理與環的公理一起，在抽象代數的研究中建立了代數的意義。

對於結合超複數系統，約瑟夫·韋德伯恩 在 1907 年消除了所有神秘之處，他證明了任何這樣的系統都可以用域上的矩陣環表示。例如，2 x 2 實矩陣形成一個與共四元數同構的代數 M(2,R)，而 2 x 2 復矩陣形成一個與雙四元數同構的代數 M(2,C)。這些代數，以及 R、C 和四元數，構成了結合組合代數，它們以以下性質而聞名：

$(pq)(pq)^{*}=(pp^{*})(qq^{*}).$

大約在 1897 年，四項合作努力使數學得到了改善。朱塞佩·皮亞諾 開始組建他的數學公式集，費利克斯·克萊因 帶頭進行數學百科全書專案，四年一度的國際數學家大會系列開始，促進四元數和相關數學系統研究的國際協會發表了書目和年度回顧。

皮亞諾的努力使數學家們能夠使用集合論來壓縮概念和證明，使用符號語言。克萊因的百科全書將德語作為主要媒介，而大會則將所有國家聚集在一起。四元數學會 是主要處理超複數的場所，並在 1913 年會長亞歷山大·麥克法蘭 去世後解散。

超複數系統

最著名的超複數系統是四維四元數、八維八元數和 16 維十六元數，在下表中總結了它們，以及實數和複數系統。

名稱	維度	符號
實數	1 = 20	$\mathbb {R}$
複數	2 = 21	$\mathbb {C}$
四元數	4 = 22	$\mathbb {H}$
八元數	8 = 23	$\mathbb {O}$
十六元數	16 = 24	$\mathbb {S}$
2n-元數	2n

根據美國數學家羅伯特·P·C·德·馬雷斯 2002 年的一篇論文，在八元數之後是 32 維的帕提翁，64 維的欽根，128 維的羅頓，256 維的伏都教（由託尼·史密斯命名），以及無限延伸。除了“伏都教”這個詞之外，這些詞都是德·馬雷斯命名的。它們在下表中總結。^[1]

名稱	維度	符號	詞源	其他名稱
帕提翁	32 = 25	$\mathbb {P}$	來自《創世紀》的卡巴拉智慧的 32 條路徑	三十二元數（$\mathbb {T}$），32 元數
欽根	64 = 26	$\mathbb {X}$	《易經》的 64 個卦象	六十四元數，64 元數
羅頓	128 = 27	$\mathbb {U}$	“麻省奇蹟”的馬薩諸塞州 128 號公路	一百二十八元數，128 元數
伏都教	256 = 28	$\mathbb {V}$	伏都教或西非伏都教的伊法神系的 256 個神靈	二百五十六元數，256 元數