抽象代數/群論/群

在本節中，我們將開始使用我們在關於二元運算的章節中所做的定義。在接下來的幾節中，我們將研究一種叫做群的特定二元結構。然而，我們首先需要一些關於不太嚴格的二元結構的初步工作。

么半群

定義 1： 一個么半群是一個二元結構 $(M,*)$ 滿足以下性質

(i) $(a*b)*c=a*(b*c)$ 對於所有 $a,b,c\in M$。這被稱為結合律。

(ii) 存在一個單位元 $e\in M$ 使得 $a*e=a=e*a$ 對於所有 $a\in M$。

現在我們已經有了公理，我們面臨著一個迫切的問題；我們的第一個定理將會是什麼？由於前幾個定理彼此之間沒有依賴關係，我們只需要做出一個任意的選擇。我們選擇以下定理

定理 2： $M$ 的單位元是唯一的。

證明: 假設 $e$ 和 $e^{\prime }$ 都是 $M$ 的單位元。那麼它們都滿足上面定義中的條件 (ii)。特別是，$e=e*e^{\prime }=e^{\prime }$，證畢。 ∎

這個定理將在我們定義群時被證明是至關重要的。

定理 3： 如果 $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ 是 $M$ 的元素，對於某個 $n\in \mathbb {N}$，那麼乘積 $a_{1}*a_{2}*\cdots *a_{n}$ 是唯一的。

證明：我們可以透過歸納法來證明。當 $n=1$ 和 $n=2$ 時，結論顯然成立。假設對於所有 $n<k$，結論成立。當 $n=k$ 時，乘積 $a_{1}*\cdots *a_{k}$，插入括號後，可以被“劃分”成 $(a_{1}*\cdots *a_{i})*(a_{i+1}*\cdots *a_{k})$。乘積的兩個部分都包含小於 $k$ 個元素，因此是明確的。同樣的，如果我們考慮另一種“劃分”，$(a_{1}*\cdots *a_{j})*(a_{j+1}*\cdots *a_{k})$，其中 $j>i$，結論也是成立的。因此，我們可以明確地計算出乘積 $(a_{1}*\cdots *a_{i})$，$(a_{i+1}*\cdots *a_{j})$ 和 $(a_{j+1}*\cdots *a_{k})$，並將這兩個“劃分”改寫成 $b_{1}*(b_{2}*b_{3})$ 和 $(b_{1}*b_{2})*b_{3}$。根據么半群的定義，這兩個是相等的。 ∎

關於么半群的介紹就到這裡了。接下來我們將討論群。

群

定義 4：一個群是一個么半群 $(G,*)$，它還滿足以下性質

(iii) 對於每個 $a\in G$，存在一個元素 $a^{\prime }\in G$ 使得 $a*a^{\prime }=a^{\prime }*a=e$。

這樣的元素 $a^{\prime }$ 被稱為 $a$ 的逆元。當群上的運算被理解時，我們將方便地將 $(G,*)$ 稱為 $G$。此外，當我們只處理一個群時，或者當運算被理解時，我們將逐漸停止使用符號 $*$ 表示乘法，而是用並置表示乘積，$a*b\equiv ab$。

注 5: 注意這個定義如何依賴於定理 2 才能定義良好。因此，在至少證明單位元唯一性之前，我們無法陳述這個定義。或者，我們可以在定義中包含一個特殊的單位元的定義。最終，這兩種方法在邏輯上是等價的。

還要注意，為了證明一個么半群是一個群，只需證明每個元素都具有左逆元或右逆元。令 $a\in G$，令 $b$ 是 $a$ 的右逆元，令 $c$ 是 $b$ 的右逆元。那麼，$a=a(bc)=(ab)c=c$。因此，任何右逆元也是左逆元，或者 $ab=ba$。對於左逆元可以進行類似的論證。

定理 6: 任何元素的逆元是唯一的。

證明: 設 $g\in G$，並設 $g^{\prime }$ 和 $g^{\prime \prime }$ 是 $g$ 的逆元。那麼，$g^{\prime }=g^{\prime }*e=g^{\prime }*g*g^{\prime \prime }=e*g^{\prime \prime }=g^{\prime \prime }$。 ∎

因此，我們可以說一個元素的逆，並用 $a^{-1}$ 表示這個元素。我們也觀察到這個有趣的性質

推論 7: $(a^{-1})^{-1}=a$。

證明: 由於 $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$，所以結果是直接得出的。

接下來的幾個定理可能看起來很明顯，但為了使問題更加嚴格，我們允許自己陳述和證明看似微不足道的語句。

定理 8: 設 $G$ 是一個群，並且 $a,b\in G$。那麼，$(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$。

證明: 結果可以透過直接計算得到: $(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})=a*b*b^{-1}*a^{-1}=a*e*a^{-1}=a*a^{-1}=e$。 ∎

定理 9: 設 $a,b,c\in G$. 那麼，$a*b=a*c$ 當且僅當 $b=c$. 同樣，$a*c=b*c$ 當且僅當 $a=b$.

證明: 我們將證明第一個斷言。第二個斷言與之相同。假設 $a*b=a*c$. 然後，在左邊乘以 $a^{-1}$ 得到 $b=c$. 其次，假設 $b=c$. 然後，在左邊乘以 $a$ 得到 $a*b=a*c$. ∎

定理 10: 方程 $a*x=b$ 在 $G$ 中對任何 $a,b\in G$ 都有唯一解。

證明: 我們必須證明解的存在性和唯一性。對於存在性，觀察到 $x=a^{-1}*b$ 是 $G$ 中的一個解。對於唯一性，在左邊乘以 $a^{-1}$ 兩邊，以證明這是唯一的解。 ∎

符號： 令 $G$ 為一個群，且 $a\in G$。我們經常會遇到這樣的情況，我們有一個乘積 $\underbrace {a*a*\cdots *a} _{\mathrm {n\,terms} }$。對於這些情況，我們引入簡寫符號 $a^{n}=\underbrace {a*a*\cdots *a} _{\mathrm {n\,terms} }$ 如果 $n$ 為正數，且 $a^{n}=\underbrace {a^{-1}*a^{-1}*\cdots *a^{-1}} _{\mathrm {|n|\,terms} }$ 如果 $n$ 為負數。根據這些規則，很容易證明 $g^{n}*g^{m}=g^{n+m}$ 以及 $(a^{n})^{-1}=a^{-n}$ 和 $a^{0}=e$ 對所有 $a\in G$ 成立。

定義 11：(i) 群 $G$ 的階，記為 $|G|$ 或 $o(G)$，是 $G$ 中元素的個數，如果 $G$ 是有限群。否則 $|G|$ 被稱為無窮大。

(ii) 元素 $g\in G$ 的階，類似地表示為 $|g|$ 或 $o(g)$，被定義為最小的正整數 $n$，使得 $g^{n}=e$（如果這樣的整數存在）。否則，$|g|$ 被稱為無窮大。

定理 12：設 $G$ 是一個群，並且 $a,b\in G$。那麼，$|ab|=|ba|$。

證明：設 $ab$ 的階為 $n$。那麼，$(ab)^{n}=abab...ab=e$，$n$ 是使此等式成立的最小正整數。現在，在左邊乘以 $b$，在右邊乘以 $a$，得到 $(ba)^{n+1}=ba$，這意味著 $(ba)^{n}=e$。因此，我們已經證明 $|ba|\leq |ab|$。類似地，反方向的論證表明 $|ab|\leq |ba|$。因此，我們必須有 $|ab|=|ba|$，從而證明了定理。 ∎

推論 13： 設 $G$ 是一個群，其中 $a,b\in G$。那麼，$|aba^{-1}|=|b|$。

證明：根據定理 12，我們有 $|aba^{-1}|=|ba^{-1}a|=|be|=|b|$。 ∎

定理 14： 一個群中不等於單位元的元素的階為 2 當且僅當它等於它自身的逆。

證明：設 $g$ 在群 $G$ 中的階為 2。那麼，$g^{2}=gg=e$，因此根據定義，$g^{-1}=g$。現在，假設 $g^{-1}=g$ 且 $g\neq e$。那麼，$e=gg^{-1}=gg=g^{2}$。由於 $g\neq e$，2 是滿足此性質的最小正整數，因此 $g$ 的階為 2。 ∎

定義 15： 設 $G$ 是一個群，使得對於所有 $a,b\in G$，$ab=ba$。那麼，$G$ 被稱為可交換的或阿貝爾的。

當我們處理阿貝爾群時，有時會使用所謂的加法記號，將我們的二元運算寫成 $+$，並將 $a^{n}$ 替換為 $na$。在這種情況下，我們只需要跟蹤 $n$ 是一個整數，而 $a$ 是一個群元素。我們也將談論元素的 *和* 而不是它們的積。

阿貝爾群在很多方面比一般的群更“好”。它們也允許比普通群更多的結構。我們將在後面討論群之間保持結構的對映時，更多地瞭解這一點。

定義 16：令 $G$ 是一個群。一個子集 $S\subseteq G$ 被稱為 $G$ 的 *生成集*，如果 $G$ 中的每個元素都可以用 $S$ 中的元素來表示。我們寫 $G=\langle S\rangle =\{s_{1}^{e_{1}}\ldots s_{m}^{e_{m}}\mid s_{i}\in S,e_{i}\in \{1,-1\}\}$。

現在，我們已經有了定義，並且有一套小型的定理，讓我們來看看三個（實際上是兩個半）重要的群族。

乘法表

我們現在將展示一種方便的方式來表示群結構，或者更確切地說，是集合上的乘法規則。這種概念不僅限於群，而是可以用於具有任意數量運算的任何結構。例如，我們給出了 *克萊因四元群* $K_{4}$ 的群乘法表。乘法表結構是這樣的：$g*h$ 由 "$(g,h)$-位置" 中的元素表示，即 $g$-行與 $h$-列的交點處。

${\begin{array}{c|cccc}*&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}}$

下一組是關於模 4 加法的整數群，稱為 $\mathbb {Z} _{4}$. 我們將在稍後詳細瞭解這個群。

${\begin{array}{c|cccc}+&0&1&2&3\\\hline 0&0&1&2&3\\1&1&2&3&0\\2&2&3&0&1\\3&3&0&1&2\end{array}}$

我們可以清楚地看到 $K_{4}$ 和 $\mathbb {Z} _{4}$ 是“不同”的群。沒有辦法重新標記元素使得乘法表一致。群的“相等”概念我們還沒有精確定義。我們將在關於群同態的部分回到這個問題。

讀者可能已經注意到，群表中的每一行都恰好包含群中的每個元素一次。事實上，假設一個元素 $k\in G$ 在 $G$ 的乘法表中某一行出現了兩次。那麼將存在 $g,h,h^{\prime }\in G$ 使得 $gh=gh^{\prime }$，這意味著 $h=h^{\prime }$，與 $k$ 出現兩次的假設矛盾。我們將此表述為定理

定理 17: 令 $G$ 是一個群，$a\in G$。那麼 $aG=\{a*g\mid g\in G\}=G$。

利用這一點，讀者可以使用乘法表找到所有階為 3 的群。他/她會發現只有一種可能性。

問題

問題 1: 證明 $M_{n}(\mathbb {R} )$，即所有 $n\times n$ 實數矩陣的集合，在矩陣加法運算下構成一個群。

問題 2: 設 $V,W$ 是向量空間，$\mathrm {Hom} (V,W)$ 是從 $V$ 到 $W$ 的線性對映的集合。證明 $\mathrm {Hom} (V,W)$ 透過定義 $(f+g)(v)=f(v)+g(v)$，構成一個阿貝爾群。

問題 3: 設 $\mathbb {Q} _{8}$ 由元素 $i,j,k,m$ 生成，其中 $i^{2}=j^{2}=k^{2}=m$，$m^{2}=e$ 且 $ij=mji=k$。證明 $\mathbb {Q} _{8}$ 構成一個群。上述條件中是否有冗餘條件？當單位元 e 寫成 1 且 m = −1 時，$\mathbb {Q} _{8}$ 被稱為 *四元數群*。 $i,\ j,\ k$ 是虛數單位。使用 1 和其中一個作為數平面的基，可以得到複數平面。

問題 4： 令 $S$ 為任意非空集合，並考慮集合 $G^{S}$。證明 $G^{S}$ 具有自然群結構。

答案

$G^{S}$ 是函式 $f\,:\,S\rightarrow G$ 的集合。令 $f_{1},f_{2}\in G^{S}$，並定義二元運算 $(f_{1}*f_{2})(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)$，對於所有 $x\in S$。那麼 $G^{S}$ 是一個群，單位元為 $0$，使得 $0(x)=e$ 對於所有 $x\in X$，且逆元為 $f^{-1}(x)=f(x)^{-1}$，對於所有 $f\in G^{S},x\in X$。∎

問題 5： 令 $G$ 為一個群，具有兩個不同的元素 $a$ 和 $b$，它們的階數均為 2。證明 $G$ 具有第三個階數為 2 的元素。

答案

我們首先考慮$ab=ba$的情況。那麼$(ab)^{2}=abab=aabb=e$，並且$ab$不同於$e,a$和$b$。如果$ab\neq ba$，那麼$(aba^{-1})^{2}=abaa^{-1}ba^{-1}=abba^{-1}=e$，並且$aba^{-1}$不同於$e,a$和$b$。 ∎

問題 6: 令$G$為一個群，其中只有一個元素$f$的階為 2。證明$\prod _{g\in G}g=f$。

答案

由於兩個元素的乘積通常取決於我們相乘的順序，所以所述的乘積不一定是定義良好的。然而，在本例中，它卻行得通。

由於 $G$ 中的每個元素都在這個乘積中出現一次，所以對於每個元素 $g\in G$ 來說，$g$ 的逆元一定在這個乘積中某個地方出現。也就是說，除非 $|g|=2$，在這種情況下，根據定理 14，$g$ 是它自己的逆元。現在，將推論 13 應用於這個乘積，表明它的階數與 $G$ 中所有階數為 2 的元素的乘積的階數相同。但是隻有一個這樣的元素，$f$，因此這個乘積的階數為 2。由於 $G$ 中唯一階數為 2 的元素是 $f$，因此等式成立。 ∎