線性代數/向量空間的定義和例子

定義 1.1

一個向量空間（在 $\mathbb {R}$ 上）包含一個集合 $V$ 以及兩個運算“$+$”和“$\cdot$”，這些運算必須滿足以下條件。

1. 對於任何 ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V:{\vec {v}}+{\vec {w}}\in V$。
2. 對於任何 ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V:{\vec {v}}+{\vec {w}}={\vec {w}}+{\vec {v}}$。
3. 對於任何 ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in V:({\vec {v}}+{\vec {w}})+{\vec {u}}={\vec {v}}+({\vec {w}}+{\vec {u}})$。
4. 存在一個零向量 ${\vec {0}}\in V$ 使得 ${\vec {v}}+{\vec {0}}={\vec {v}}$ 對於所有 ${\vec {v}}\in V$ 都成立。
5. 每個 ${\vec {v}}\in V$ 都有一個加法逆元 ${\vec {w}}\in V$，使得 ${\vec {w}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$。
6. 如果 $r$ 是一個標量，也就是說，是 $\mathbb {R}$ 的成員，並且 ${\vec {v}}\in V$，那麼標量倍數 $r\cdot {\vec {v}}$ 屬於 $V$。
7. 如果 $r,s\in \mathbb {R}$ 並且 ${\vec {v}}\in V$，那麼 $(r+s)\cdot {\vec {v}}=r\cdot {\vec {v}}+s\cdot {\vec {v}}$。
8. 如果 $r\in \mathbb {R}$ 並且 ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$，那麼 $r\cdot ({\vec {v}}+{\vec {w}})=r\cdot {\vec {v}}+r\cdot {\vec {w}}$。
9. 如果 $r,s\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {v}}\in V$，那麼 $(rs)\cdot {\vec {v}}=r\cdot (s\cdot {\vec {v}})$
10. 對於任何 ${\vec {v}}\in V$，$1\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}$。

註記 1.2

由於它涉及兩種加法和兩種乘法，這個定義可能看起來很混亂。例如，在條件 7 中 "$(r+s)\cdot {\vec {v}}=r\cdot {\vec {v}}+s\cdot {\vec {v}}$"，第一個 "$+$" 是實數加法運算子，而等號右邊的 "$+$" 代表結構 $V$ 中的向量加法。這些表示式並不含糊，因為例如，$r$ 和 $s$ 是實數，所以 "$r+s$" 只能表示實數加法。

檢查以下示例的最佳方法是檢查定義中的所有十個條件。第一個示例中詳細寫出了這個檢查。將其用作其他示例的模型。特別重要的是第一個條件 "${\vec {v}}+{\vec {w}}$ 在 $V$ 中" 和第六個條件 "$r\cdot {\vec {v}}$ 在 $V$ 中"。這些是**封閉**條件。它們規定加法和標量乘法運算總是合理的——它們對每對向量和每個標量和向量都有定義，並且運算的結果是集合中的一個成員（參見示例 1.4）。

示例 1.3

集合 $\mathbb {R} ^{2}$ 是一個向量空間，如果操作“$+$” 和 “$\cdot$” 具有其通常的意義。

${\binom {x_{1}}{x_{2}}}+{\binom {y_{1}}{y_{2}}}={\binom {x_{1}+y_{1}}{x_{2}+y_{2}}}\qquad r\cdot {\binom {x_{1}}{x_{2}}}={\binom {rx_{1}}{rx_{2}}}$

我們將檢查所有條件。

條目 1 中有五個條件。對於條件 1，加法的封閉性，注意到對於任何 $v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}\in \mathbb {R}$，求和的結果

${\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {w_{1}}{w_{2}}}={\binom {v_{1}+w_{1}}{v_{2}+w_{2}}}$

是一個有兩個實數項的列陣列，因此它在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中。對於條件 2，向量加法滿足交換律，取所有項均為實數，並計算

${\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {w_{1}}{w_{2}}}={\binom {v_{1}+w_{1}}{v_{2}+w_{2}}}={\binom {w_{1}+v_{1}}{w_{2}+v_{2}}}={\binom {w_{1}}{w_{2}}}+{\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

（第二個等式來自於向量分量是實數，實數的加法滿足交換律）。條件 3，向量加法的結合律，類似的。

${\begin{aligned}{\Bigg (}{\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {w_{1}}{w_{2}}}{\Bigg )}+{\binom {u_{1}}{u_{2}}}&={\binom {(v_{1}+w_{1})+u_{1}}{(v_{2}+w_{2})+u_{2}}}\\&={\binom {v_{1}+(w_{1}+u_{1})}{v_{2}+(w_{2}+u_{2})}}\\&={\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\Bigg (}{\binom {w_{1}}{w_{2}}}+{\binom {u_{1}}{u_{2}}}{\Bigg )}\end{aligned}}$

對於第四個條件，我們必須生成一個零元素，零向量就是它。

${\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {0}{0}}={\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

對於 5，要生成一個加法逆元，請注意對於任何 $v_{1},v_{2}\in \mathbb {R}$，我們有

${\binom {-v_{1}}{-v_{2}}}+{\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {0}{0}}$

因此第一個向量是第二個向量的加法逆元。

與標量乘法相關的五個條件的檢查同樣是例行公事。對於 6，在標量乘法下的封閉性，其中 $r,v_{1},v_{2}\in \mathbb {R}$，

$r\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {rv_{1}}{rv_{2}}}$

是一個具有兩個實數條目的列向量，因此在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中。接下來，這將檢查 7。

$(r+s)\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {(r+s)v_{1}}{(r+s)v_{2}}}={\binom {rv_{1}+sv_{1}}{rv_{2}+sv_{2}}}=r\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}+s\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

對於 8，即標量乘法從左側分配到向量加法，我們有這個。

$r\cdot {\Bigg (}{\binom {v_{1}}{v_{2}}}+{\binom {w_{1}}{w_{2}}}{\Bigg )}={\binom {r(v_{1}+w_{1})}{r(v_{2}+w_{2})}}={\binom {rv_{1}+rw_{1}}{rv_{2}+rw_{2}}}=r\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}+r\cdot {\binom {w_{1}}{w_{2}}}$

第九個

$(rs)\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {(rs)v_{1}}{(rs)v_{2}}}={\binom {r(sv_{1})}{r(sv_{2})}}=r\cdot \left(s\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}\right)$

第十個條件也很直接。

$1\cdot {\binom {v_{1}}{v_{2}}}={\binom {1v_{1}}{1v_{2}}}={\binom {v_{1}}{v_{2}}}$

類似地，每個 $\mathbb {R} ^{n}$ 都是一個向量空間，具有通常的向量加法和標量乘法運算。（在 $\mathbb {R} ^{1}$ 中，我們通常不將成員寫成列向量，即我們通常不寫 "$(\pi )$"。相反，我們只寫 "$\pi$"。）

例 1.4

這個 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子集，它是一個經過原點的平面

$P=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=0\}$

如果 "+" 和 "$\cdot$" 以這種方式解釋，它就是一個向量空間。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

這裡的加法和標量乘法運算只是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的運算，在它的子集 $P$ 上重複使用。我們說 $P$ **繼承** 了 $\mathbb {R} ^{3}$ 的這些運算。在 $P$ 中，這個加法示例

${\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}$

說明了$P$ 在加法運算下是封閉的。我們從 $P$ 中添加了兩個向量 - 它們的三個分量之和為零 - 結果也是一個在 $P$ 中的向量。當然，這個封閉性的例子並不能證明封閉性。為了證明 $P$ 在加法運算下是封閉的，取 $P$ 中的兩個元素

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$

(屬於 $P$ 的意義是 $x_{1}+y_{1}+z_{1}=0$ 且 $x_{2}+y_{2}+z_{2}=0$)，並觀察到它們的和

${\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}$

也屬於$P$，因為其元素加起來等於$(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})+(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+y_{1}+z_{1})+(x_{2}+y_{2}+z_{2})$ 等於$0$。為了證明$P$ 對於標量乘法封閉，從一個屬於$P$ 的向量開始

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

（因此$x+y+z=0$），然後對於$r\in \mathbb {R}$，觀察到標量倍數

$r\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

滿足$rx+ry+rz=r(x+y+z)=0$。因此，這兩個封閉條件都滿足了。驗證向量空間定義中的其他條件同樣直接。

示例 1.5

示例 1.3 表明，具有實數元素的所有二維向量集是一個向量空間。示例 1.4 給出了一個$\mathbb {R} ^{n}$ 子集，它也是一個向量空間。與這兩個例子對比，考慮具有整數元素的二維列向量集（在明顯的運算下）。這是一個向量空間的子集，但它本身不是一個向量空間。原因是這個集合對於標量乘法不封閉，即，它不滿足條件 6。這是一個具有整數元素的列向量，以及一個標量，使得運算結果

$0.5\cdot {\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1.5\end{pmatrix}}$

不是該集合的成員，因為其元素並非全部都是整數。

示例 1.6

單元素集合

$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\}$

在以下運算下是一個向量空間

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

它繼承自 $\mathbb {R} ^{4}$.

向量空間必須至少包含一個元素，即零向量。因此，一個元素的向量空間是最小的。

定義 1.7

一個元素的向量空間是一個平凡空間。

警告！

到目前為止的例子都涉及帶有通常運算的列向量集。但是向量空間不必是列向量的集合，甚至不必是行向量的集合。下面是一些其他型別的向量空間。術語“向量空間”並不意味著“實數列的集合”。它的意思是更像“任何線性組合都有意義的集合”。

例子

示例 1.8

考慮 ${\mathcal {P}}_{3}=\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\,{\big |}\,a_{0},\ldots ,a_{3}\in \mathbb {R} \}$，度數不超過三的多項式集合（在本例中，我們將包括零多項式在內的常數多項式視為零度）。它在以下運算下是一個向量空間

$(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})+(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3})$

$=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}+(a_{3}+b_{3})x^{3}$

以及

$r\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})=(ra_{0})+(ra_{1})x+(ra_{2})x^{2}+(ra_{3})x^{3}$

（驗證很容易）。這個向量空間值得注意，因為它們是高中代數中熟悉的關於多項式的運算。例如，$3\cdot (1-2x+3x^{2}-4x^{3})-2\cdot (2-3x+x^{2}-(1/2)x^{3})=-1+7x^{2}-11x^{3}$.

雖然這個空間不是任何 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集，但我們有一種方法可以將 ${\mathcal {P}}_{3}$ 視為與 $\mathbb {R} ^{4}$ “相同”。如果我們以這種方式識別這兩個空間的元素

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\quad {\text{corresponds to}}\quad {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}$

那麼這些運算也相互對應。以下是一個對應加法的例子。

${\begin{array}{lr}&1-2x+0x^{2}+1x^{3}\\+&2+3x+7x^{2}-4x^{3}\\\hline &3+1x+7x^{2}-3x^{3}\end{array}}\quad {\text{corresponds to}}\quad {\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2\\3\\7\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\1\\7\\-3\end{pmatrix}}$

我們認為“相同”的事物加起來得到“相同”的和。第三章將精確地闡述這種向量空間對應關係的概念。目前我們只需將其理解為一種直覺。

例 1.9

具有實數元素的 $2\!\times \!2$ 矩陣的集合 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 在自然的逐元素運算下是一個向量空間。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w&x\\y&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+w&b+x\\c+y&d+z\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra&rb\\rc&rd\end{pmatrix}}$

正如前面例子中的情況，我們可以認為這個空間與 $\mathbb {R} ^{4}$ “相同”。

例 1.10

所有將一個自然數變數對映到實數值的函式的集合 $\{f\,{\big |}\,f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \}$ 在以下運算下是一個向量空間：

$(f_{1}+f_{2})\,(n)=f_{1}(n)+f_{2}(n)\qquad (r\cdot f)\,(n)=r\,f(n)$

這樣，例如，如果$f_{1}(n)=n^{2}+2\sin(n)$ 和 $f_{2}(n)=-\sin(n)+0.5$，那麼$(f_{1}+2f_{2})\,(n)=n^{2}+1$。

我們可以將這個空間視為示例 1.3 的推廣——不是$2$ 維向量，這些函式就像無限維向量。

${\begin{array}{c|c}n&f(n)=n^{2}+1\\\hline 0&1\\1&2\\2&5\\3&10\\\vdots &\vdots \\\end{array}}\quad {\text{corresponds to}}\quad {\begin{pmatrix}1\\2\\5\\10\\\vdots \end{pmatrix}}$

加法和標量乘法是按分量進行的，就像在示例 1.3 中一樣。(我們可以將“無限維”形式化為：它表示一個無限序列，或者表示從$\mathbb {N}$ 到 $\mathbb {R}$ 的函式。)

示例 1.11

具有實係數的多項式集

$\{a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\,{\big |}\,n\in \mathbb {N} {\text{ and }}a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} \}$

在給出自然"$+$" 時，構成向量空間。

$(a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n})+(b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{n}x^{n})$

$=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+\cdots +(a_{n}+b_{n})x^{n}$

和“$\cdot$”。

$r\cdot (a_{0}+a_{1}x+\ldots a_{n}x^{n})=(ra_{0})+(ra_{1})x+\ldots (ra_{n})x^{n}$

這個空間不同於空間${\mathcal {P}}_{3}$，它包含的不僅僅是三階多項式，也包含三十階多項式以及三百階多項式。當然，每個多項式本身都是有限階的，但這個集合中所有成員的階沒有單一的界限。

這個例子，就像上一個例子一樣，可以看作是無窮元組。例如，我們可以認為$1+3x+5x^{2}$對應於$(1,3,5,0,0,\ldots )$。然而，不要將這個空間與例 1.10 中的空間混淆。這個集合中的每個成員都有一個有界的階，因此在我們的對應關係下，這個空間中沒有成員與$(1,2,5,10,\,\ldots \,)$匹配。這個空間中的向量對應於以零結尾的無窮元組。

例 1.12

所有單個實變數的實值函式的集合 $\{f\,{\big |}\,f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$ 在以下情況下是一個向量空間。

$(f_{1}+f_{2})\,(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)\qquad (r\cdot f)\,(x)=r\,f(x)$

這個空間與例 1.10 的區別在於函式的定義域。

例 1.13

實變數 $\theta$ 的實值函式的集合 $F=\{a\cos \theta +b\sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 在以下運算下是一個向量空間。

$(a_{1}\cos \theta +b_{1}\sin \theta )+(a_{2}\cos \theta +b_{2}\sin \theta )=(a_{1}+a_{2})\cos \theta +(b_{1}+b_{2})\sin \theta$

以及

$r\cdot (a\cos \theta +b\sin \theta )=(ra)\cos \theta +(rb)\sin \theta$

繼承了先前示例中的空間。(我們可以把$F$ 視為與 $\mathbb {R} ^{2}$ “相同”，因為 $a\cos \theta +b\sin \theta$ 對應於分量為 $a$ 和 $b$ 的向量。)

示例 1.14

集合

$\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}+f=0\}$

在目前自然的情況下，是一個向量空間。

$(f+g)\,(x)=f(x)+g(x)\qquad (r\cdot f)\,(x)=r\,f(x)$

特別地，注意封閉性是

${\frac {d^{2}(f+g)}{dx^{2}}}+(f+g)=({\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+f)+({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+g)$

以及

${\frac {d^{2}(rf)}{dx^{2}}}+(rf)=r({\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+f)$

微積分的基本結果。這恰好等於先前示例中的空間——滿足此微分方程的函式形式為 $a\cos \theta +b\sin \theta$——但這個描述表明可以將它推廣到其他微分方程的解集。

示例 1.15

在 $n$ 個變數中，齊次線性方程組的解集是在從 $\mathbb {R} ^{n}$ 中繼承的運算下，是一個向量空間。對於對加法的封閉性，如果

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {w}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}$

兩者都滿足其條目加起來為$0$的條件，那麼${\vec {v}}+{\vec {w}}$也滿足該條件：$c_{1}(v_{1}+w_{1})+\cdots +c_{n}(v_{n}+w_{n})=(c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n})+(c_{1}w_{1}+\cdots +c_{n}w_{n})=0$。其他條件的檢查同樣是例行的。

正如我們在這些等式中所做的那樣，我們經常省略乘法符號"$\cdot$"。我們可以區分"$c_{1}v_{1}$"中的乘法和"$r{\vec {v}}\,$"中的乘法，因為如果兩個乘數都是實數，則必須是指實數與實數的乘法，而如果一個是向量，則必須是指標量與向量的乘法。

前面的例子讓我們回到了起點，因為它是我們動機示例之一。

註記 1.16

現在，對滿足向量空間定義的結構型別有了一些瞭解，我們可以反思一下這個定義。例如，為什麼在定義中要指定$1\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}$這個條件，而不是$0\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$這個條件呢？

一個答案是，這僅僅是一個定義——它規定了從現在開始遊戲的規則，如果你不喜歡它，就把書放下，走開。

另一個答案也許更令人滿意。這個領域的人們已經努力地發展了力量和普遍性的正確平衡。這個定義已經得到塑造，它包含了證明線性組合空間所有有趣和重要性質所需的條件。隨著我們繼續，我們將從定義中給出的條件推匯出所有自然屬於線性組合集合的性質。

下一個結果是一個例子。我們不需要在向量空間的定義中包含這些性質，因為它們是從定義中已經列出的性質推匯出來的。

引理 1.17

在任何向量空間$V$中，對於任何${\vec {v}}\in V$和$r\in \mathbb {R}$，我們有

1. $0\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$，以及
2. $(-1\cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}={\vec {0}}$，以及
3. $r\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$.

證明

對於 1，注意 ${\vec {v}}=(1+0)\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}+(0\cdot {\vec {v}})$。在等式的兩邊都加上 ${\vec {v}}$ 的加法逆元，即向量 ${\vec {w}}$，使得 ${\vec {w}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$。

${\begin{array}{rl}{\vec {w}}+{\vec {v}}&={\vec {w}}+{\vec {v}}+0\cdot {\vec {v}}\\{\vec {0}}&={\vec {0}}+0\cdot {\vec {v}}\\{\vec {0}}&=0\cdot {\vec {v}}\end{array}}$

第二條很容易證明：$(-1\cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}=(-1+1)\cdot {\vec {v}}=0\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ 表明我們可以用“$-{\vec {v}}\,$” 來表示 ${\vec {v}}$ 的加法逆元，而不必擔心與 $(-1)\cdot {\vec {v}}$ 產生混淆。

對於 3，$r\cdot {\vec {0}}=r\cdot (0\cdot {\vec {0}})=(r\cdot 0)\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ 就足夠了。

總結

我們來回顧一下。

在第一章中，我們對高斯消元法的研究導致我們考慮線性組合的集合。因此，在本章中，我們定義了向量空間，它是一種結構，我們可以用它來形成這樣的組合，即 $c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}$ 的形式（受加法和標量乘法運算的簡單條件約束）。簡單來說：向量空間是研究線性性的正確背景。

最後，需要說明一點。從它佔據了整整一章，尤其是這一章是第一章這一事實來看，讀者可能會認為線性系統的研究是我們的目標。事實是，我們不會過多地將向量空間用於線性系統的研究，而是讓線性系統引導我們開始研究向量空間。本節中的大量示例表明，向量空間的研究本身就很重要和有趣，因為它幫助我們理解線性系統，而不僅僅是它如何幫助我們理解線性系統。線性系統不會消失。但從現在開始，我們將主要研究物件是向量空間。

習題

問題 1

命名每個向量空間的零向量。

1. 在自然運算下，三階多項式空間
2. 的向量空間$2\!\times \!4$ 矩陣
3. 向量空間$\{f:[0,1]\to \mathbb {R} \,{\big |}\,f{\text{ is continuous}}\}$
4. 一個自然數變數的實值函式空間

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問題 2

在向量空間中，找出向量的加法逆元。

1. 在${\mathcal {P}}_{3}$中，向量$-3-2x+x^{2}$.
2. 在向量空間$2\!\times \!2$中，

   ${\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\end{pmatrix}}.$

3. 在$\{ae^{x}+be^{-x}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$中，實變數$x$的函式空間，在自然運算下，向量$3e^{x}-2e^{-x}$.

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問題 3

證明每個集合都是向量空間。

1. 線性多項式集合${\mathcal {P}}_{1}=\{a_{0}+a_{1}x\,{\big |}\,a_{0},a_{1}\in \mathbb {R} \}$，在通常的多項式加法和標量乘法運算下。
2. 實數項的$2\!\times \!2$ 矩陣集合，在通常的矩陣運算下。
3. 具有通常運算的三分量行向量集合。
4. 集合

   $L=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}\,{\big |}\,x+y-z+w=0\}$

   在從$\mathbb {R} ^{4}$繼承的運算下。

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問題 4

證明每個集合都不是向量空間。（提示： 從列出每個集合的兩個成員開始。）

1. 在從$\mathbb {R} ^{3}$繼承的運算下，此集合

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

2. 在從$\mathbb {R} ^{3}$繼承的運算下，此集合

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,{\big |}\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$

3. 在通常的矩陣運算下，

   $\{{\begin{pmatrix}a&1\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

4. 在通常的多項式運算下，

   $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} ^{+}\}$

   其中 $\mathbb {R} ^{+}$ 是大於零的實數集
5. 在繼承的運算下，

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\,{\big |}\,x+3y=4{\text{ and }}2x-y=3{\text{ and }}6x+4y=10\}$

問題 5

定義加法和標量乘法運算，使複數成為 $\mathbb {R}$ 上的向量空間。

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問題 6

在通常的加法和標量乘法運算下，有理數集是否構成 $\mathbb {R}$ 上的向量空間？

問題 7

證明變數 $x,y,z$ 的線性組合集在自然加法和標量乘法運算下構成向量空間。

問題 8

證明以下集合不是向量空間：在以下運算下，具有實數項的二維列向量集合。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}-x_{2}\\y_{1}-y_{2}\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\end{pmatrix}}$

問題 9

證明或反駁以下結論：在以下運算下，$\mathbb {R} ^{3}$ 是向量空間。

1. ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\ry\\rz\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

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問題 10

對於每個，判斷它是否是一個向量空間；預期運算為自然運算。

1. 所有對角 $2\!\times \!2$ 矩陣

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

2. 這組 $2\!\times \!2$ 矩陣

   $\{{\begin{pmatrix}x&x+y\\x+y&y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

3. 這個集合

   $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}\,{\big |}\,x+y+w=1\}$

4. 函式集 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,df/dx+2f=0\}$
5. 函式集合 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,df/dx+2f=1\}$

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問題 11

證明或反駁：實值函式 $f$（其中 $f(7)=0$）構成一個向量空間。

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問題 12

證明：正實數集合 $\mathbb {R} ^{+}$ 在以下定義下構成向量空間： "$x+y$" 代表 $x$ 和 $y$ 的乘積（因此 $2+3$ 等於 $6$），"$r\cdot x$" 代表 $x$ 的 $r$ 次方。

問題 13

集合 $\{(x,y)\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$ 在以下運算下是否構成向量空間？

1. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ 和 $r\cdot (x,y)=(rx,y)$
2. $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ 和 $r\cdot (x,y)=(rx,0)$

問題 14

證明或反駁：所有度數大於或等於 2 的多項式，以及零多項式，構成一個向量空間。

問題 15

此時，“相同”只是一個直覺，但無論如何，對於每個向量空間，請找出$k$，使得該空間與$\mathbb {R} ^{k}$ “相同”。

1. 在通常運算下，$2\!\times \!3$ 矩陣
2. 在通常運算下，$n\!\times \!m$ 矩陣
3. 這組 $2\!\times \!2$ 矩陣

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

4. 這組 $2\!\times \!2$ 矩陣

   $\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b+c=0\}$

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問題 16

使用${\vec {+}}$ 表示向量加法，使用 $\,{\vec {\cdot }}\,$ 表示標量乘法，重新敘述向量空間的定義。

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問題 17

證明這些結論。

1. 任何向量都是其自身加法逆元的加法逆元。
2. 向量加法滿足左消去律：如果${\vec {v}},{\vec {s}},{\vec {t}}\in V$，則${\vec {v}}+{\vec {s}}={\vec {v}}+{\vec {t}}\,$ 意味著${\vec {s}}={\vec {t}}$。

問題 18

向量空間的定義沒有明確說明${\vec {0}}+{\vec {v}}={\vec {v}}$（而是說${\vec {v}}+{\vec {0}}={\vec {v}}$）。證明該結論在任何向量空間中都必須成立。

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問題 19

證明或反駁以下結論：在通常運算下，所有矩陣的集合構成向量空間。

問題 20

在向量空間中，每個元素都有加法逆元。是否可能某些元素有兩個或多個加法逆元？

問題 21

1. 證明$\mathbb {R} ^{3}$ 中經過原點的每個點、直線或平面在繼承的運算下都是向量空間。
2. 如果它不包含原點，情況會怎樣？

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問題 22

利用向量空間的概念，我們可以輕鬆地重新證明齊次線性方程組的解集要麼只有一個元素，要麼有無窮多個元素。假設 ${\vec {v}}\in V$ 不是 ${\vec {0}}$.

1. 證明 $r\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ 當且僅當 $r=0$.
2. 證明 $r_{1}\cdot {\vec {v}}=r_{2}\cdot {\vec {v}}$ 當且僅當 $r_{1}=r_{2}$.
3. 證明任何非平凡的向量空間都是無限的。
4. 利用非空齊次線性方程組的解集是一個向量空間的事實得出結論。

問題 23

在自然運算下，一個實變數的實值可微函式的集合是否是一個向量空間？

問題 24

複數上的向量空間 $\mathbb {C}$ 的定義與實數上的向量空間相同，只是標量是從 $\mathbb {C}$ 而不是從 $\mathbb {R}$ 中取。證明以下每個集合都是複數上的向量空間。（回想一下複數的加法和乘法：$(a_{0}+a_{1}i)+(b_{0}+b_{1}i)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})i$ 和 $(a_{0}+a_{1}i)(b_{0}+b_{1}i)=(a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})i$。）

1. 復係數二次多項式集合
2. 這個集合

   $\{{\begin{pmatrix}0&a\\b&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {C} {\text{ and }}a+b=0+0i\}$

問題 25

命名一個所有$\mathbb {R} ^{n}$都具有的屬性，但未列為向量空間的要求。

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問題 26

1. 證明四個向量的和${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{4}\in V$ 可以以任何方式結合，不會改變結果。

   ${\begin{array}{rl}(({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4}&=({\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}))+{\vec {v}}_{4}\\&=({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+(({\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})+{\vec {v}}_{4})\\&={\vec {v}}_{1}+({\vec {v}}_{2}+({\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}))\end{array}}$

   這使我們能夠簡單地寫出 “${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}+{\vec {v}}_{4}$” 而不產生歧義。
2. 證明任意兩個方式結合任意數量的向量之和會得到相同的結果。(提示. 對向量的數量使用歸納法)。

問題 27

對於任何向量空間，一個在繼承的運算下本身也是向量空間的子集（例如，$\mathbb {R} ^{3}$ 內部透過原點的平面）被稱為 子空間。

1. 證明 $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0}+a_{1}+a_{2}=0\}$ 是二次多項式向量空間的子空間。
2. 證明這是$2\!\times \!2$ 矩陣的子空間。

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0\}$

3. 證明實數向量空間的非空子集 $S$ 為子空間的充要條件是：它對向量對的線性組合封閉，即，只要 $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$，則組合 $c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}$ 也在 $S$ 中。

解答