線性代數/子空間和生成集

我們引入向量空間概念的例子之一是齊次線性方程組的解集。例如，我們在示例 1.4中看到了這樣的空間，它是一個$\mathbb {R} ^{3}$的平面子集。在那裡，向量空間$\mathbb {R} ^{3}$內部包含另一個向量空間，即平面。

定義 2.1

對於任何向量空間，子空間是指一個本身也是向量空間的子集，它繼承了原空間的運算。

示例 2.2

前面小節中的平面，

$P=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=0\}$

是$\mathbb {R} ^{3}$的一個子空間。正如定義中所指出的，運算繼承自更大的空間，也就是說，向量在$P$中的加法與它們在$\mathbb {R} ^{3}$中的加法相同。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}$

並且標量乘法也與它在$\mathbb {R} ^{3}$中相同。為了證明$P$是一個子空間，我們只需要注意到它是一個子集，然後驗證它是一個空間。檢查$P$是否滿足向量空間定義中的條件是例行的。例如，對於加法封閉性，只需注意如果加數滿足$x_{1}+y_{1}+z_{1}=0$和$x_{2}+y_{2}+z_{2}=0$，那麼它們的和滿足$(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})+(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+y_{1}+z_{1})+(x_{2}+y_{2}+z_{2})=0$.

示例 2.3

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，$x$-軸是一個子空間，其加法和標量乘法運算繼承自向量空間。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\0\end{pmatrix}}\qquad r\cdot {\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx\\0\end{pmatrix}}$

如上所述，為了驗證它是一個子空間，我們只需要注意它是一個子集，然後檢查它是否滿足向量空間定義中的條件。例如，兩個閉包條件都滿足：（1）將兩個第二分量為零的向量相加，結果是一個第二分量為零的向量；（2）將一個標量乘以一個第二分量為零的向量，結果是一個第二分量為零的向量。

例 2.4

$\mathbb {R} ^{2}$ 的另一個子空間是

$\{{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\}$

它的平凡子空間。

任何向量空間都有一個平凡子空間 $\{{\vec {0}}\,\}$。在另一個極端，任何向量空間本身也是一個子空間。 這兩個是不真子空間。 其他的子空間是真子空間。

例 2.5

定義中的一個條件要求加法和標量乘法運算必須是繼承自更大空間的運算，這一點很重要。考慮向量空間 $\mathbb {R} ^{1}$ 的子集 $\{1\}$。在運算 $1+1=1$ 和 $r\cdot 1=1$ 下，該集合是一個向量空間，具體來說，是一個平凡空間。但它不是 $\mathbb {R} ^{1}$ 的子空間，因為這些不是繼承來的運算，因為當然 $\mathbb {R} ^{1}$ 有 $1+1=2$。

例 2.6

所有型別的向量空間，不僅僅是 $\mathbb {R} ^{n}$，都有子空間。三次多項式的向量空間 $\{a+bx+cx^{2}+dx^{3}\,{\big |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$ 包含所有線性多項式的子空間 $\{m+nx\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$。

示例 2.7

另一個子空間的例子，不是從 $\mathbb {R} ^{n}$ 中得到的，來自於向量空間定義之後的例子。所有單變數實值函式的空間 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 有一個滿足限制 $(d^{2}\,f/dx^{2})+f=0$ 的子空間。

示例 2.8

子空間本身是向量空間，必須滿足封閉條件。集合 $\mathbb {R} ^{+}$ 不是向量空間 $\mathbb {R} ^{1}$ 的子空間，因為在繼承的運算下，它在標量乘法下不封閉：如果 ${\vec {v}}=1$，那麼 $-1\cdot {\vec {v}}\not \in \mathbb {R} ^{+}$。

下一個結果表明，示例 2.8 是典型的。子集不是子空間的唯一方式（如果它非空且使用繼承的運算）是它不封閉。

引理 2.9

對於向量空間的非空子集 $S$，在繼承的運算下，以下等價陳述。

1. $S$ 是該向量空間的子空間
2. $S$ 對向量對的線性組合封閉：對於任何向量 ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$ 和標量 $r_{1},r_{2}$，向量 $r_{1}{\vec {s}}_{1}+r_{2}{\vec {s}}_{2}$ 在 $S$ 中。
3. $S$ 對任意數量的向量的線性組合封閉：對於任何向量 ${\vec {s}}_{1},\ldots ,{\vec {s}}_{n}\in S$ 和標量 $r_{1},\ldots ,r_{n}$，向量 $r_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +r_{n}{\vec {s}}_{n}$ 在 $S$ 中。

簡而言之，子整合為子空間的方式是透過對線性組合的封閉性。

證明

"以下等價" 表示每對陳述都是等價的。

$(1)\!\iff \!(2)\qquad (2)\!\iff \!(3)\qquad (3)\!\iff \!(1)$

我們將透過建立 $(1)\implies (3)\implies (2)\implies (1)$ 來證明這種等價性。這種策略是透過注意到 $(1)\implies (3)$ 和 $(3)\implies (2)$ 很容易，因此我們只需要論證單個蘊含 $(2)\implies (1)$。

對於該論點，假設 $S$ 是向量空間 $V$ 的一個非空子集，並且 $S$ 在向量對的組合下封閉。我們將透過檢查條件來證明 $S$ 是一個向量空間。

The first item in the vector space definition has five conditions. First, for closure under addition, if ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$ then ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}\in S$, as ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}=1\cdot {\vec {s}}_{1}+1\cdot {\vec {s}}_{2}$. Second, for any ${\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\in S$, because addition is inherited from $V$, the sum ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}$ in $S$ equals the sum ${\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}$ in $V$, and that equals the sum ${\vec {s}}_{2}+{\vec {s}}_{1}$ in $V$ (because $V$ is a vector space, its addition is commutative), and that in turn equals the sum ${\vec {s}}_{2}+{\vec {s}}_{1}$ in $S$. The argument for the third condition is similar to that for the second. For the fourth, consider the zero vector of $V$ and note that closure of $S$ under linear combinations of pairs of vectors gives that (where ${\vec {s}}$ is any member of the nonempty set $S$) $0\cdot {\vec {s}}+0\cdot {\vec {s}}={\vec {0}}$ is in $S$; showing that ${\vec {0}}$ acts under the inherited operations as the additive identity of $S$ is easy. The fifth condition is satisfied because for any ${\vec {s}}\in S$, closure under linear combinations shows that the vector $0\cdot {\vec {0}}+(-1)\cdot {\vec {s}}$ is in $S$; showing that it is the additive inverse of ${\vec {s}}$ under the inherited operations is routine.

專案 2 的檢查類似，將在 問題 13 中給出。

我們通常使用 $(2)\implies (1)$ 來證明子集是一個子空間。

備註 2.10

在本節開頭，我們引入了向量空間，它是一組可以進行線性組合的集合。上述結果說明了這一點。

向量空間定義有十個條件，但其中八個條件（非封閉性條件）只是保證將這些運算稱為“加法”和“標量乘法”是合理的。上述證明檢查了這些條件是否從周圍的向量空間繼承，前提是非空集 $S$ 滿足 引理 2.9 的語句 (2)（例如，$S$ 中的加法交換律直接來自於 $V$ 中的加法交換律）。因此，在這個語境下，這種“合理”的意義會自動滿足。

在向我們保證這個詞的第一個意義得到滿足的同時，該結果也引起了我們對“合理”的第二個意義的注意。它與剩餘的兩個條件，即封閉條件相關。在上面，語句 (1) 中的兩個獨立的封閉條件在語句 (2) 中被合併成一個條件，即在兩個向量的所有線性組合下封閉，然後在語句 (3) 中擴充套件到在任意多個向量的組合下封閉。後兩個語句表示，我們總是可以理解像 $r_{1}{\vec {s}}_{1}+r_{2}{\vec {s}}_{2}$ 這樣的表示式，而不受 $r$ 的限制——這些表示式是“合理的”，因為所描述的向量是定義好的，並且屬於集合 $S$。

這種第二個意義表明，理解向量空間的一種好方法是將其視為不受限制的線性組合的集合。接下來的兩個例子將給出一些空間，並用這種方式描述它們。也就是說，在這些例子中，我們會進行引數化，就像我們在第一章中描述齊次線性方程組的解集那樣。

示例 2.11

$\mathbb {R} ^{3}$ 的這個子集

$S=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x-2y+z=0\}$

在列向量的通常加法和標量乘法運算下是一個子空間（它是非空且在兩個向量的線性組合下封閉的檢查與 示例 2.2 中的檢查相同）。為了進行引數化，我們可以將 $x-2y+z=0$ 視為一個只有一個方程的線性方程組，並將主變量表示為自由變數 $x=2y-z$。

$S=\{{\begin{pmatrix}2y-z\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}=\{y{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}+z{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}$

現在子空間被描述為這兩個向量的任意線性組合的集合。當然，無論哪種描述，這都是透過原點的平面。

例 2.12

這是$2\!\times \!2$ 矩陣的一個子空間

$L=\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b+c=0\}$

（檢查它是非空的並且線上性組合下封閉很容易）。要引數化，將條件表示為$a=-b-c$。

$L=\{{\begin{pmatrix}-b-c&0\\b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}=\{b{\begin{pmatrix}-1&0\\1&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

如上所述，我們已經將子空間描述為任意線性組合的集合（巧合的是，也是兩個元素的集合）。

引數化是一種簡單的技術，但它很重要。我們將在以後經常使用它。

定義 2.13

向量空間中非空子集$S$ 的生成空間（或線性閉包）是來自$S$ 的向量的所有線性組合的集合。

$[S]=\{c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}\,{\big |}\,c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R} {\text{ and }}{\vec {s}}_{1},\ldots ,{\vec {s}}_{n}\in S\}$

向量空間的空子集的生成空間是平凡子空間。

表示跨度的符號並不完全標準。這裡使用的方括號很常見，但"${\mbox{span}}(S)$" 和 "${\mbox{sp}}(S)$" 也很常見。

註記 2.14

在第一章中，我們證明了齊次線性方程組的解集可以寫成 $\{c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{k}{\vec {\beta }}_{k}\,{\big |}\,c_{1},\ldots ,c_{k}\in \mathbb {R} \}$，我們將它描述為由 ${\vec {\beta }}$ 生成的集合。現在我們有了技術術語；我們稱之為集合 $\{{\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{k}\}$ 的“跨度”。

還記得那個證明中的“棘手點”的討論嗎？空集的跨度被定義為集合 $\{{\vec {0}}\}$，因為我們遵循一個約定，即零個向量的線性組合之和為 ${\vec {0}}$。此外，將空集的跨度定義為平凡子空間是一種便利，因為它可以避免像下一個結果這樣的結果出現令人厭煩的例外情況。

引理 2.15

在向量空間中，任何子集的跨度都是一個子空間。

證明

將子集稱為 $S$。如果 $S$ 為空，則根據定義，其跨度為平凡子空間。如果 $S$ 不為空，則根據 引理 2.9，我們只需要檢查跨度 $[S]$ 是否線上性組合下封閉。對於來自該跨度的兩個向量，${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$ 和 ${\vec {w}}=c_{n+1}{\vec {s}}_{n+1}+\cdots +c_{m}{\vec {s}}_{m}$，線性組合

$p\cdot (c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n})+r\cdot (c_{n+1}{\vec {s}}_{n+1}+\cdots +c_{m}{\vec {s}}_{m})$

$=pc_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +pc_{n}{\vec {s}}_{n}+rc_{n+1}{\vec {s}}_{n+1}+\cdots +rc_{m}{\vec {s}}_{m}$

($p$, $r$ 是標量) 是 $S$ 元素的線性組合，因此屬於 $[S]$（可能一些 ${\vec {s}}_{i}$ 在構成 ${\vec {v}}$ 時與 ${\vec {w}}$ 中的一些 ${\vec {s}}_{j}$ 相等，但這並不重要）。

引理的逆命題也成立：任何子空間都是某個集合的生成空間，因為子空間顯然是其成員集合的生成空間。因此，向量空間的子集是子空間當且僅當它是生成空間。這符合我們對向量空間的直觀理解，即向量空間可以看作一個可以進行線性組合的集合。

綜合起來，引理 2.9 和 引理 2.15 表明向量空間子集 $S$ 的生成空間是包含 $S$ 中所有成員的最小子空間。

示例 2.16

在任何向量空間 $V$ 中，對於任何向量 ${\vec {v}}$，集合 $\{r\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$ 是 $V$ 的子空間。例如，對於任何向量 ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3}$，包含該向量的經過原點的直線，$\{k{\vec {v}}\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間。即使當 ${\vec {v}}$ 為零向量時，該子空間也是退化的直線，即平凡子空間。

示例 2.17

該集合的生成空間是整個 $\mathbb {R} ^{2}$。

$\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\}$

為了驗證這一點，我們必須證明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何成員都是這兩個向量的線性組合。因此，我們問：對於哪些向量（具有實數分量 $x$ 和 $y$）存在標量 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 使得以下等式成立？

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

高斯消元法

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&x\\c_{1}&-&c_{2}&=&y\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&x\\&&-2c_{2}&=&-x+y\end{array}}\end{array}}$

使用回代法可得 $c_{2}=(x-y)/2$ 和 $c_{1}=(x+y)/2$。這兩個等式表明，對於任何我們開始的 $x$ 和 $y$，都存在合適的係數 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 使上述向量方程成立。例如，對於 $x=1$ 和 $y=2$，係數 $c_{2}=-1/2$ 和 $c_{1}=3/2$ 就滿足要求。也就是說，$\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何向量都可以寫成兩個給定向量的線性組合。

由於跨度是子空間，並且我們知道理解子空間的一個好方法是引數化其描述，因此我們可以嘗試以這種方式理解集合的跨度。

示例 2.18

考慮在 ${\mathcal {P}}_{2}$ 中，集合 $\{3x-x^{2},2x\}$ 的生成空間。根據生成空間的定義，它是這兩個向量所有無限制線性組合的集合： $\{c_{1}(3x-x^{2})+c_{2}(2x)\,{\big |}\,c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} \}$。顯然，在這個生成空間中的多項式必須有零常數項。這個必要條件也是充分的嗎？

我們問：對於 ${\mathcal {P}}_{2}$ 中的哪些成員 $a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$，存在 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 使得 $a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=c_{1}(3x-x^{2})+c_{2}(2x)$？由於多項式相等當且僅當它們的係數相等，我們正在尋找 $a_{2}$，$a_{1}$ 和 $a_{0}$ 滿足這些條件。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}-c_{1}&&&=&a_{2}\\3c_{1}&+&2c_{2}&=&a_{1}\\&&0&=&a_{0}\end{array}}$

高斯消元法得出$c_{1}=-a_{2}$，$c_{2}=(3/2)a_{2}+(1/2)a_{1}$，以及$0=a_{0}$。因此，該空間中多項式唯一的條件是我們已知的條件——只要$a_{0}=0$，我們就可以給出合適的係數$c_{1}$和$c_{2}$來描述多項式$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$，使其屬於該空間。例如，對於多項式$0-4x+3x^{2}$，係數$c_{1}=-3$和$c_{2}=5/2$就可以。所以，給定集合的生成空間是$\{a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} \}$。

順便說一下，這表明集合$\{x,x^{2}\}$也生成此子空間。一個空間可以有多個生成集。另外兩個生成此子空間的集合是$\{x,x^{2},-x+2x^{2}\}$和$\{x,x+x^{2},x+2x^{2},\ldots \,\}$。（當然，我們通常更喜歡使用只有幾個成員的生成集。）

例 2.19

這些是我們現在知道的 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間，即平凡子空間、過原點的直線、過原點的平面以及整個空間（當然，圖中只顯示了無窮多個子空間中的一部分）。在下一節中，我們將證明$\mathbb {R} ^{3}$沒有其他型別的子空間，因此實際上這張圖顯示了所有子空間。

子集被描述為集合的跨度，使用最少的成員數量，並顯示與其超集相連。請注意，這些子空間自然地分成不同的級別——一個級別的平面，另一個級別的線，等等——根據最小尺寸跨度集中有多少個向量。

在本章中，我們已經看到，為了研究線性組合的性質，正確的環境是一個對這些組合封閉的集合。在第一小節中，我們介紹了這樣的集合，即向量空間，並且我們看到了許多例子。在本小節中，我們看到了更多空間，這些空間恰好是其他空間的子空間。在我們看到的所有多樣性中，我們都看到了一個共同點。示例 2.19 說明了這一點：向量空間和子空間最好理解為跨度，尤其是作為少量向量的跨度。下一節研究最小化的跨度集。

練習

建議所有讀者練習這道題。

問題 1

在$2\!\times \!2$矩陣的向量空間中，哪些子集是繼承運算下的子空間？對於每個是子空間的，引數化其描述。對於每個不是子空間的，給出失敗的條件。

1. $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$
2. $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0\}$
3. $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=5\}$
4. $\{{\begin{pmatrix}a&c\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0,c\in \mathbb {R} \}$

建議所有讀者練習這道題。

問題 2

這是${\mathcal {P}}_{2}$的子空間嗎：$\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0}+2a_{1}+a_{2}=4\}$? 如果是，請引數化其描述。

建議所有讀者練習這道題。

問題 3

判斷該向量是否在空間內部的集合的跨度內。

1. ${\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}$，$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$，在$\mathbb {R} ^{3}$
2. $x-x^{3}$，$\{x^{2},2x+x^{2},x+x^{3}\}$，在${\mathcal {P}}_{3}$
3. ${\begin{pmatrix}0&1\\4&2\end{pmatrix}}$，$\{{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&0\\2&3\end{pmatrix}}\}$，在${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$

問題 4

在由一個實變數的實值函式組成的向量空間中，以下哪些是$[\{\cos ^{2}x,\sin ^{2}x\}]$的線性組合？

1. $f(x)=1$
2. $f(x)=3+x^{2}$
3. $f(x)=\sin x$
4. $f(x)=\cos(2x)$

建議所有讀者練習這道題。

問題 5

以下哪些集合可以生成$\mathbb {R} ^{3}$？也就是說，以下哪些集合具有這樣的性質：任何三維向量都可以表示為該集合元素的適當線性組合？

1. $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}\}$
2. $\{{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$
3. $\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}}\}$
4. $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}\}$
5. $\{{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\0\\2\end{pmatrix}}\}$

建議所有讀者練習這道題。

問題 6

引數化每個子空間的描述。然後將每個子空間表示為一個跨度。

1. 三列行向量的子集 $\{{\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a-c=0\}$
2. ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的這個子集

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+d=0\}$

3. ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的這個子集

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,2a-c-d=0{\text{ and }}a+3b=0\}$

4. ${\mathcal {P}}_{3}$的子集 $\{a+bx+cx^{3}\,{\big |}\,a-2b+c=0\}$
5. 二次多項式集合 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的子集，其中二次多項式 $p$ 滿足 $p(7)=0$

建議所有讀者練習這道題。

問題 7

找出給定空間中給定子空間的生成集。（提示：對每個元素進行引數化。）

1. $\mathbb {R} ^{3}$ 中的 $xz$ 平面
2. $\mathbb {R} ^{3}$ 中的 $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,3x+2y+z=0\}$
3. $\mathbb {R} ^{4}$ 中的 $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\,{\big |}\,2x+y+w=0{\text{ and }}y+2z=0\}$
4. ${\mathcal {P}}_{3}$ 中的 $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\,{\big |}\,a_{0}+a_{1}=0{\text{ and }}a_{2}-a_{3}=0\}$
5. 空間 ${\mathcal {P}}_{4}$ 中的集合 ${\mathcal {P}}_{4}$
6. ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 中的 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$

問題 8

$\mathbb {R} ^{2}$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間嗎？

建議所有讀者練習這道題。

問題 9

確定每個集合是否為一個實值單變數函式向量空間的子空間。

1. 偶函式 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,f(-x)=f(x){\text{ for all }}x\}$. 例如，這個集合中的兩個元素是 $f_{1}(x)=x^{2}$ 和 $f_{2}(x)=\cos(x)$.
2. 奇函式 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,f(-x)=-f(x){\text{ for all }}x\}$. 兩個元素是 $f_{3}(x)=x^{3}$ 和 $f_{4}(x)=\sin(x)$.

問題 10

示例 2.16 指出，對於向量空間 $V$ 中的任何向量 ${\vec {v}}$，集合 $\{r\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$ 是 $V$ 的子空間。 （當然，這僅僅是單元素集合 $\{{\vec {v}}\}$ 的生成子空間。）這樣的子空間必須是真子空間，還是它可以是假子空間？

問題 11

向量空間定義後的一個例子表明，齊次線性方程組的解集是一個向量空間。用本小節的術語來說，它是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空間，其中方程組具有 $n$ 個變數。非齊次線性方程組的情況如何；它的解集在繼承的運算下是否構成子空間？

問題 12

示例 2.19 表明 $\mathbb {R} ^{3}$ 具有無窮多個子空間。每個非平凡空間都具有無窮多個子空間嗎？

問題 13

完成 引理 2.9 的證明。

問題 14

證明每個向量空間只有一個平凡子空間。

建議所有讀者練習這道題。

問題 15

證明對於向量空間的任何子集 $S$，子空間的生成等於生成 $[[S]]=[S]$。（提示：$[S]$ 的成員是 $S$ 的成員的線性組合。 $[[S]]$ 的成員是 $S$ 的成員的線性組合的線性組合。）

問題 16

我們所看到的所有子空間都以某種方式在它們的描述中使用了零。例如，示例 2.3 中的子空間包含來自 $\mathbb {R} ^{2}$ 的所有向量，其第二個分量為零。相反，來自 $\mathbb {R} ^{2}$ 的第二個分量為 1 的向量集合不構成子空間（它在標量乘法下不封閉）。另一個例子是 示例 2.2，其中向量上的條件是三個分量加起來為零。如果條件是三個分量加起來為 1，那麼它就不是一個子空間（同樣，它將不能封閉）。本練習表明，對零的依賴不是嚴格必要的。考慮集合

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

在這些運算下。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}\qquad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx-r+1\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

1. 證明它不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間。（提示：參見 示例 2.5）。
2. 證明它是一個向量空間。注意，根據前一項，引理 2.9 不適用。
3. 證明 $\mathbb {R} ^{3}$ 的任何子空間都必須經過原點，因此 $\mathbb {R} ^{3}$ 的任何子空間都必須在描述中包含零。反之成立嗎？$\mathbb {R} ^{3}$ 中包含原點的任何子集在給定繼承運算後是否成為子空間？

問題 17

我們可以給出這樣一種約定，即零個向量的和等於零向量的理由。考慮這三個向量的和 ${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}$.

1. 這三個向量的和與前兩個向量的和之間有什麼區別？
2. 前一個和與僅第一個向量的和之間有什麼區別？
3. 一個向量的和與零個向量的和之間應該有什麼區別？
4. 那麼零個向量的和的定義應該是什麼？

問題 18

空間是由它的子空間決定的嗎？也就是說，如果兩個向量空間具有相同的子空間，這兩個向量空間是否必須相等？

問題 19

1. 給出一個在標量乘法下封閉但在加法下不封閉的集合。
2. 給出一個在加法下封閉但在標量乘法下不封閉的集合。
3. 給出一個既不在標量乘法下封閉也不在加法下封閉的集合。

問題 20

證明一組向量的生成空間不依賴於該集合中向量的排列順序。

問題 21

哪個平凡子空間是空集的生成空間？是

$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\}\subseteq \mathbb {R} ^{3},\quad {\text{or}}\quad \{0+0x\}\subseteq {\mathcal {P}}_{1},$

還是其他一些子空間？

問題 22

證明如果一個向量在集合的生成空間內，那麼將該向量新增到集合中不會使生成空間變大。這是否是“充分必要條件”？

建議所有讀者練習這道題。

問題 23

子空間是子集，因此我們自然會考慮“是…的子空間”與通常的集合運算之間的相互作用。

1. 如果 $A,B$ 是向量空間的子空間，那麼 $A\cap B$ 是否一定是子空間？永遠嗎？有時嗎？從不？
2. $A\cup B$ 是否一定是子空間？
3. 如果 $A$ 是一個子空間，那麼它的補集是否一定是子空間？

(提示。嘗試 示例 2.19 中的一些測試子空間。）

建議所有讀者練習這道題。

問題 24

集合的跨度是否取決於封閉空間？也就是說，如果 $W$ 是 $V$ 的子空間，並且 $S$ 是 $W$ 的子集（因此也是 $V$ 的子集），$S$ 在 $W$ 中的跨度是否與 $S$ 在 $V$ 中的跨度不同？

問題 25

"是...的子空間"關係是否具有傳遞性？也就是說，如果 $V$ 是 $W$ 的子空間，並且 $W$ 是 $X$ 的子空間，那麼 $V$ 必須是 $X$ 的子空間嗎？

建議所有讀者練習這道題。

問題 26

因為 "跨度" 是集合上的一個操作，所以我們自然地考慮它如何與常見的集合運算互動。

1. 如果 $S\subseteq T$ 是向量空間的子集，那麼 $[S]\subseteq [T]$ 嗎？總是？有時？從不？
2. 如果 $S,T$ 是向量空間的子集，那麼 $[S\cup T]=[S]\cup [T]$ 嗎？
3. 如果 $S,T$ 是向量空間的子集，那麼 $[S\cap T]=[S]\cap [T]$ 嗎？
4. 補集的跨度是否等於跨度的補集？

問題 27

在不單獨處理空集的情況下，重新證明 引理 2.15。

問題 28

找到一個在**線性組合下閉合**的結構，但它**不是**向量空間。（備註。這是一個有點技巧性的問題。）

解答