線性代數/子空間和生成集/解答

解答

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問題 1

下列哪些 $2\!\times \!2$ 矩陣向量空間的子集在繼承的運算下是子空間？對於每個是子空間的子集，引數化其描述。對於每個不是子空間的子集，給出一個失敗的條件。

1. $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$
2. $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0\}$
3. $\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=5\}$
4. $\{{\begin{pmatrix}a&c\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+b=0,c\in \mathbb {R} \}$

答案

根據 引理 2.9，要檢視 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的每個子集是否是子空間，我們只需要檢查它是否非空且封閉。

1. 是的，很容易檢查它是非空且封閉的。這是一個引數化。

   $\{a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$

   順便說一下，引數化也表明它是一個子空間，它被給出為兩個矩陣集合的生成，而任何生成都是子空間。
2. 是的；很容易檢查它是非空且封閉的。或者，如前一個答案中提到的，引數化的存在表明它是一個子空間。對於引數化，條件 $a+b=0$ 可以改寫為 $a=-b$。然後我們有這個。

   $\{{\begin{pmatrix}-b&0\\0&b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}=\{b{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}$

3. 否。它在加法下不封閉。例如，

   ${\begin{pmatrix}5&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}5&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10&0\\0&0\end{pmatrix}}$

   不在這個集合中。（這個集合在標量乘法下也不封閉，例如，它不包含零矩陣。）
4. 是。

   $\{b{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

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問題 2

這是否為 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的子空間：$\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,{\big |}\,a_{0}+2a_{1}+a_{2}=4\}$？如果是，那麼引數化它的描述。

答案

否，它不封閉。特別地，它在標量乘法下不封閉，因為它不包含零多項式。

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問題 3

判斷向量是否位於空間內的集合的生成空間內。

1. ${\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}$，$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$，在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中
2. $x-x^{3}$，$\{x^{2},2x+x^{2},x+x^{3}\}$，在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 中
3. ${\begin{pmatrix}0&1\\4&2\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&0\\2&3\end{pmatrix}}\}$, 在 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$

答案

1. 是的，解由

   $r_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}$

   $r_{1}=2$ 和 $r_{2}=1$.
2. 是的，解由 $r_{1}(x^{2})+r_{2}(2x+x^{2})+r_{3}(x+x^{3})=x-x^{3}$

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}&&2r_{2}&+&r_{3}&=&1\\r_{1}&+&r_{2}&&&=&0\\&&&&r_{3}&=&-1\end{array}}$

   給出 $-1(x^{2})+1(2x+x^{2})-1(x+x^{3})=x-x^{3}$.
3. 否；給定兩個矩陣的任何組合在右上角都有一個零。

問題 4

在單變數實值函式的向量空間中，這些哪些是跨度 $[\{\cos ^{2}x,\sin ^{2}x\}]$ 的成員？

1. $f(x)=1$
2. $f(x)=3+x^{2}$
3. $f(x)=\sin x$
4. $f(x)=\cos(2x)$

答案

1. 是的，因為 $1\cdot \cos ^{2}x+1\cdot \sin ^{2}x=f(x)$。
2. 不，因為 $r_{1}\cos ^{2}x+r_{2}\sin ^{2}x=3+x^{2}$ 對所有 $x$ 都成立，沒有標量解。 例如，將 $x$ 設定為 $0$ 和 $\pi$ 將得到兩個方程：$r_{1}\cdot 1+r_{2}\cdot 0=3$ 和 $r_{1}\cdot 1+r_{2}\cdot 0=3+\pi ^{2}$，它們是不一致的。
3. 不，考慮將 $x$ 設定為 $\pi /2$ 和 $3\pi /2$ 時會發生什麼。
4. 是的，$\cos(2x)=1\cdot \cos ^{2}(x)-1\cdot \sin ^{2}(x)$。

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問題 5

這些集合中哪些可以跨越 $\mathbb {R} ^{3}$？也就是說，這些集合中哪些具有這樣的性質，即任何三維向量都可以表示為該集合元素的適當線性組合？

1. $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}\}$
2. $\{{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$
3. $\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}}\}$
4. $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}\}$
5. $\{{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\0\\2\end{pmatrix}}\}$

答案

1. 是的，對於任何 $x,y,z\in \mathbb {R}$ 此等式

   $r_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}+r_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

   的解是 $r_{1}=x$，$r_{2}=y/2$，以及 $r_{3}=z/3$。
2. 是的，該等式

   $r_{1}{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+r_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

   得到以下結果

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2r_{1}&+&r_{2}&&&=&x\\&&r_{2}&&&=&y\\r_{1}&&&+&r_{3}&=&z\\\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{3}}}\;\;{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}2r_{1}&+&r_{2}&&&=&x\\&&r_{2}&&&=&y\\&&&&r_{3}&=&-(1/2)x+(1/2)y+z\\\end{array}}$

   因此，給定任何 $x$, $y$, 和 $z$，我們可以計算出 $r_{3}=(-1/2)x+(1/2)y+z$，$r_{2}=y$，和 $r_{1}=(1/2)x-(1/2)y$。
3. 不。特別地，向量

   ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

   不能表示為這兩個給定向量的線性組合，因為這兩個向量的第三個分量都是零。
4. 是的。方程

   $r_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+r_{3}{\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}}+r_{4}{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

   將導致以下簡化。

   $\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&3&-1&2&x\\0&1&0&1&y\\1&0&0&5&z\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{3}}}\;{\xrightarrow[{}]{3\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&3&-1&2&x\\0&1&0&1&y\\0&0&1&6&-x+3y+z\end{array}}\right)$

   該方程組有無窮多個解。例如，我們可以設定 $r_{4}$ 為零，並透過反向代入法求解 $r_{3}$，$r_{2}$ 和 $r_{1}$，用 $x$，$y$ 和 $z$ 表示。
5. 不。這個方程

   $r_{1}{\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}}+r_{3}{\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}}+r_{4}{\begin{pmatrix}6\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

   將導致以下簡化。

   $\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}2&3&5&6&x\\1&0&1&0&y\\1&1&2&2&z\end{array}}\right){\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{-(1/3)\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}2&3&5&6&x\\0&-3/2&-3/2&-3&-(1/2)x+y\\0&0&0&0&-(1/3)x-(1/3)y+z\end{array}}\right)$

   這表明並非所有三維向量都可以這樣表示。只有滿足約束條件的向量$-(1/3)x-(1/3)y+z=0$ 位於該跨度內。(要檢視任何此類向量是否確實可表達，取 $r_{3}$ 和 $r_{4}$ 為零，並透過回代解出 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 關於 $x$，$y$ 和 $z$。)

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問題 6

引數化每個子空間的描述。然後將每個子空間表示為跨度。

1. 三維行向量集合$\{{\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a-c=0\}$
2. 的${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 這個子集

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a+d=0\}$

3. 的${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 這個子集

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,2a-c-d=0{\text{ and }}a+3b=0\}$

4. 集合$\{a+bx+cx^{3}\,{\big |}\,a-2b+c=0\}$ 的${\mathcal {P}}_{3}$
5. 的${\mathcal {P}}_{2}$ 這個子集，即二次多項式$p$，使得 $p(7)=0$

答案

1. $\{{\begin{pmatrix}c&b&c\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}=\{b{\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$ 很明顯，生成該集合的集合是 $\{{\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}}\}$.
2. $\{{\begin{pmatrix}-d&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c,d\in \mathbb {R} \}=\{b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c,d\in \mathbb {R} \}$ 生成該空間的一個集合包含這三個矩陣。
3. 系統

   ${\begin{array}{*{4}{rc}r}a&+&3b&&&&&=&0\\2a&&&&-c&-&d&=&0\end{array}}$

   得到 $b=-(c+d)/6$ 和 $a=(c+d)/2$。所以一種描述是：

   $\{c{\begin{pmatrix}1/2&-1/6\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}1/2&-1/6\\0&1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {R} \}$

   這表明生成該子空間的一個集合包含這兩個矩陣。
4. 表示式 $a=2b-c$ 給出 $\{(2b-c)+bx+cx^{3}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}=\{b(2+x)+c(-1+x^{3})\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$。所以這個子空間是集合 $\{2+x,-1+x^{3}\}$ 的生成空間。
5. 集合 $\{a+bx+cx^{2}\,{\big |}\,a+7b+49c=0\}$ 可引數化為 $\{b(-7+x)+c(-49+x^{2})\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$，具有生成集 $\{-7+x,-49+x^{2}\}$。

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問題 7

找到一個生成給定空間中給定子空間的集合。（提示：引數化每個向量。）

1. 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的 $xz$ 平面
2. 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的 $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,3x+2y+z=0\}$
3. 在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中的 $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\,{\big |}\,2x+y+w=0{\text{ and }}y+2z=0\}$
4. $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\,{\big |}\,a_{0}+a_{1}=0{\text{ and }}a_{2}-a_{3}=0\}$ 在 ${\mathcal {P}}_{3}$
5. 集合 ${\mathcal {P}}_{4}$ 在空間 ${\mathcal {P}}_{4}$
6. ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 在 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$

答案

每個給出的答案都只是許多可能答案中的一個。

1. 我們可以用這種方式引數化

   $\{{\begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z\in \mathbb {R} \}=\{x{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+z{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z\in \mathbb {R} \}$

   這給了我們一個生成集。

   $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

2. 求解的一種方法是將 $x$ 表示為 $-(2/3)y-(1/3)z$ 以獲得這種引數化。

   $\{{\begin{pmatrix}-(2/3)y-(1/3)z\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}=\{y{\begin{pmatrix}-2/3\\1\\0\end{pmatrix}}+z{\begin{pmatrix}-1/3\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}$

   並得到一個生成集。

   $\{{\begin{pmatrix}-2/3\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1/3\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

3. 一種方法是注意到 $x$ 和 $z$ 取決於 $y$ 和 $w$，但它們相互獨立，建議選擇 $y$ 和 $w$ 作為自由變數。然後重新表達 $x=-(1/2)y-(1/2)w$ 和 $z=-(1/2)y$ 來獲得這個引數化。

   $\{{\begin{pmatrix}-(1/2)y-(1/2)w\\y\\-(1/2)y\\w\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,w\in \mathbb {R} \}=\{y{\begin{pmatrix}-1/2\\1\\-1/2\\0\end{pmatrix}}+w{\begin{pmatrix}-1/2\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,w\in \mathbb {R} \}$

   因此，一個可能的生成集為。

   $\{{\begin{pmatrix}-1/2\\1\\-1/2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1/2\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

4. 再次，作為一種方法，重新表達 $a_{0}=-a_{1}$ 和 $a_{2}=a_{3}$ 以獲得引數化。

   $\{-a_{1}+a_{1}x+a_{3}x^{2}+a_{3}x^{3}\,{\big |}\,a_{1},a_{3}\in \mathbb {R} \}=\{a_{1}(-1+x)+a_{3}(x^{2}+x^{3})\,{\big |}\,a_{1},a_{3}\in \mathbb {R} \}\}$

   這為生成集提供了以下結果。

   $\{-1+x,\,x^{2}+x^{3}\}$

5. 由於沒有限制，我們可以直接獲得生成集，跳過引數化。

   $\{1,\,x,\,x^{2},\,x^{3},\,x^{4}\}$

6. 與上一子問題相同的原因，我們可以跳過引數化並立即獲得生成集。

   $\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\}$

問題 8

是否 $\mathbb {R} ^{2}$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間？

答案

從技術上講，不是。 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間是三維向量的集合，而 $\mathbb {R} ^{2}$ 是二維向量的集合。儘管如此， $\mathbb {R} ^{2}$ “就像” $\mathbb {R} ^{3}$ 的這個子空間。

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

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問題 9

判斷每個集合是否為一個實值單變數函式的向量空間的子空間。

1. 偶函式 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,f(-x)=f(x){\text{ for all }}x\}$。例如，該集合的兩個成員是 $f_{1}(x)=x^{2}$ 和 $f_{2}(x)=\cos(x)$。
2. 奇函式 $\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,{\big |}\,f(-x)=-f(x){\text{ for all }}x\}$。兩個成員是 $f_{3}(x)=x^{3}$ 和 $f_{4}(x)=\sin(x)$。

答案

當然，加法和標量乘法運算是在封閉空間中繼承的。

1. 這是一個子空間。它不為空，因為它至少包含了給出的兩個示例函式。它是封閉的，因為如果 $f_{1},f_{2}$ 是偶函式，並且 $c_{1},c_{2}$ 是標量，那麼我們有以下關係。

   $(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})\,(-x)=c_{1}\,f_{1}(-x)+c_{2}\,f_{2}(-x)=c_{1}\,f_{1}(x)+c_{2}\,f_{2}(x)=(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})\,(x)$

2. 這也是一個子空間；檢驗方法類似於前面的方法。

問題 10

例 2.16 指出，對於任何向量空間 $V$ 中的任何向量 ${\vec {v}}$，集合 $\{r\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$ 是 $V$ 的子空間。 （這當然只是單元素集合 $\{{\vec {v}}\}$ 的生成空間。）任何這樣的子空間都必須是真子空間嗎，還是可以是假子空間呢？

答案

它可以是假子空間。如果 ${\vec {v}}={\vec {0}}$，那麼這就是一個平凡子空間。在另一個極端，如果向量空間是 $\mathbb {R} ^{1}$ 且 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}\,$，那麼這個子空間就是整個 $\mathbb {R} ^{1}$。

問題 11

向量空間定義後的一個例子表明，齊次線性方程組的解集是一個向量空間。在本節的術語中，它是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空間，其中方程組有 $n$ 個變數。非齊次線性方程組的解集是否構成子空間（在繼承的運算下）？

答案

不，這樣的集合不是封閉的。首先，它不包含零向量。

問題 12

例 2.19 表明 $\mathbb {R} ^{3}$ 有無數個子空間。每一個非平凡空間都有無數個子空間嗎？

答案

不。 $\mathbb {R} ^{1}$ 的唯一子空間是空間本身及其平凡子空間。 $\mathbb {R}$ 的任何子空間 $S$ 如果包含一個非零元素 ${\vec {v}}$，就必須包含其所有標量倍數的集合 $\{r\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$。但這個集合就是整個 $\mathbb {R}$。

問題 13

完成引理 2.9 的證明。

答案

專案 (1) 在文字中已檢查。

專案 (2) 有五個條件。首先，對於閉包，如果 $c\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {s}}\in S$ 則 $c\cdot {\vec {s}}\in S$ 因為 $c\cdot {\vec {s}}=c\cdot {\vec {s}}+0\cdot {\vec {0}}$。其次，因為 $S$ 中的運算繼承自 $V$，對於 $c,d\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {s}}\in S$，標量積 $(c+d)\cdot {\vec {s}}\,$ 在 $S$ 中等於在 $V$ 中的積 $(c+d)\cdot {\vec {s}}\,$，而這等於 $c\cdot {\vec {s}}+d\cdot {\vec {s}}\,$ 在 $V$ 中，這等於 $c\cdot {\vec {s}}+d\cdot {\vec {s}}\,$ 在 $S$ 中。

第三、第四和第五個條件的檢查類似於剛才給出的第二個條件的檢查。

問題 14

證明每個向量空間只有一個平凡子空間。

答案

前面小節中的一個練習表明，每個向量空間只有一個零向量（即，只有一個向量是空間的加法單位元）。但是，一個平凡空間只有一個元素，而這個元素一定是這個（唯一的）零向量。

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習題 15

證明對於向量空間的任何子集 $S$，其生成空間的生成空間等於其生成空間 $[[S]]=[S]$。（提示。$[S]$ 的元素是 $S$ 的元素的線性組合。 $[[S]]$ 的元素是 $S$ 的元素的線性組合的線性組合。）

答案

正如提示所述，基本原因是第一章中的線性組合引理。為了完整地證明，我們將展示兩個集合之間的相互包含關係。

第一個包含關係 $[[S]]\supseteq [S]$ 是一個更一般的事實（也是顯而易見的），即對於向量空間的任何子集 $T$，$[T]\supseteq T$ 的一個特例。

對於另一個包含關係，即 $[[S]]\subseteq [S]$，取 $m$ 個來自 $[S]$ 的向量，即 $c_{1,1}{\vec {s}}_{1,1}+\cdots +c_{1,n_{1}}{\vec {s}}_{1,n_{1}}$，...，$c_{1,m}{\vec {s}}_{1,m}+\cdots +c_{1,n_{m}}{\vec {s}}_{1,n_{m}}$，並注意到這些向量的任何線性組合

$r_{1}(c_{1,1}{\vec {s}}_{1,1}+\cdots +c_{1,n_{1}}{\vec {s}}_{1,n_{1}})+\cdots +r_{m}(c_{1,m}{\vec {s}}_{1,m}+\cdots +c_{1,n_{m}}{\vec {s}}_{1,n_{m}})$

是 $S$ 元素的線性組合。

$=(r_{1}c_{1,1}){\vec {s}}_{1,1}+\cdots +(r_{1}c_{1,n_{1}}){\vec {s}}_{1,n_{1}}+\cdots +(r_{m}c_{1,m}){\vec {s}}_{1,m}+\cdots +(r_{m}c_{1,n_{m}}){\vec {s}}_{1,n_{m}}$

因此它屬於 $[S]$。也就是說，簡單地回憶一下，線性組合的線性組合（$S$ 的成員）是一個線性組合（再次是 $S$ 的成員）。

問題 16

我們見過的所有子空間都以某種方式在它們的描述中使用了零。例如，例 2.3 中的子空間包含來自 $\mathbb {R} ^{2}$ 的所有向量，其第二個分量為零。相反，來自 $\mathbb {R} ^{2}$ 的第二個分量為一的向量集合不構成子空間（它在標量乘法下不封閉）。另一個例子是 例 2.2，其中對向量的條件是三個分量加起來為零。如果條件是三個分量加起來為一，那麼它就不是子空間（同樣，它將無法封閉）。本練習表明，對零的依賴並非嚴格必要。考慮集合

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=1\}$

在這些運算下。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}\qquad r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx-r+1\\ry\\rz\end{pmatrix}}$

1. 證明它不是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間。（提示：參考 例 2.5）。
2. 證明它是一個向量空間。注意，根據前一項，引理 2.9 不適用。
3. 證明 $\mathbb {R} ^{3}$ 的任何子空間必須經過原點，因此 $\mathbb {R} ^{3}$ 的任何子空間必須包含零在它的描述中。反之是否成立？$\mathbb {R} ^{3}$ 中包含原點的任何子集，當賦予繼承的運算時，會變成子空間嗎？

答案

1. 它不是子空間，因為這些不是繼承的運算。一方面，在這個空間裡，

   $0\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

   而這當然不適用於 $\mathbb {R} ^{3}$。
2. 我們可以將證明對加法封閉的論證和證明對標量乘法封閉的論證結合成一個論證，來證明對兩個向量的線性組合封閉。如果 $r_{1},r_{2},x_{1},x_{2},y_{1},y_{2},z_{1},z_{2}$ 屬於 $\mathbb {R}$，那麼

   $r_{1}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1}x_{1}-r_{1}+1\\r_{1}y_{1}\\r_{1}z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}r_{2}x_{2}-r_{2}+1\\r_{2}y_{2}\\r_{2}z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1}x_{1}-r_{1}+r_{2}x_{2}-r_{2}+1\\r_{1}y_{1}+r_{2}y_{2}\\r_{1}z_{1}+r_{2}z_{2}\end{pmatrix}}$

   (請注意，在這個空間中，加法的定義是第一個分量組合成$(r_{1}x_{1}-r_{1}+1)+(r_{2}x_{2}-r_{2}+1)-1$，所以最後一個向量第一個分量不是 "$+2$"). 將最後一個向量的三個分量相加得到$r_{1}(x_{1}-1+y_{1}+z_{1})+r_{2}(x_{2}-1+y_{2}+z_{2})+1=r_{1}\cdot 0+r_{2}\cdot 0+1=1$。大多數其他條件的檢查都很容易（儘管運算的奇特性使它們不那麼常規）。加法的交換律是這樣的。

   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}+x_{1}-1\\y_{2}+y_{1}\\z_{2}+z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$

   加法的結合律有

   $({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})+{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(x_{1}+x_{2}-1)+x_{3}-1\\(y_{1}+y_{2})+y_{3}\\(z_{1}+z_{2})+z_{3}\end{pmatrix}}$

   而

   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}x_{1}+(x_{2}+x_{3}-1)-1\\y_{1}+(y_{2}+y_{3})\\z_{1}+(z_{2}+z_{3})\end{pmatrix}}$

   它們是相等的。關於這個加法運算的單位元按以下方式工作

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+1-1\\y+0\\z+0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

   加法逆元也是類似的。

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-x+2\\-y\\-z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+(-x+2)-1\\y-y\\z-z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

   標量乘法的條件也很容易。對於第一個條件，

   $(r+s){\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(r+s)x-(r+s)+1\\(r+s)y\\(r+s)z\end{pmatrix}}$

   而

   $r{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx-r+1\\ry\\rz\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}sx-s+1\\sy\\sz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(rx-r+1)+(sx-s+1)-1\\ry+sy\\rz+sz\end{pmatrix}}$

   並且兩者相等。第二個條件比較

   $r\cdot ({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})=r\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r(x_{1}+x_{2}-1)-r+1\\r(y_{1}+y_{2})\\r(z_{1}+z_{2})\end{pmatrix}}$

   與

   $r{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rx_{1}-r+1\\ry_{1}\\rz_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}rx_{2}-r+1\\ry_{2}\\rz_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(rx_{1}-r+1)+(rx_{2}-r+1)-1\\ry_{1}+ry_{2}\\rz_{1}+rz_{2}\end{pmatrix}}$

   並且它們是相等的。對於第三個條件，

   $(rs){\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rsx-rs+1\\rsy\\rsz\end{pmatrix}}$

   而

   $r(s{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})=r({\begin{pmatrix}sx-s+1\\sy\\sz\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}r(sx-s+1)-r+1\\rsy\\rsz\end{pmatrix}}$

   並且兩者相等。對於乘以$1$ 的標量乘法，我們得到：

   $1\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1x-1+1\\1y\\1z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

   因此，這兩個運算滿足向量空間的所有條件。備註。理解這個向量空間的一種方法是將其視為$\mathbb {R} ^{3}$ 中的一個平面

   $P=\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x+y+z=0\}$

   沿$x$ 軸從原點移動了$1$。然後加法變為：要新增此空間中的兩個成員，

   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}$

   (使得$x_{1}+y_{1}+z_{1}=1$ 且 $x_{2}+y_{2}+z_{2}=1$)，將它們沿$x$ 軸移動$1$，將它們放置在$P$ 中，並像往常一樣相加，

   ${\begin{pmatrix}x_{1}-1\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}-1\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-2\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}\qquad {\text{(in }}P{\text{)}}$

   然後沿$x$ 軸將結果再移回$1$。

   ${\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}-1\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}}.$

   標量乘法類似。
3. 為了使子空間在繼承的標量乘法下封閉，其中${\vec {v}}$ 是該子空間的成員，

   $0\cdot {\vec {v}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

   也必須是成員。反之則不成立。以下是一個包含原點的$\mathbb {R} ^{3}$ 的子集

   $\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\}$

   (這個子集只有兩個元素)但它不是一個子空間。

問題 17

我們可以為零個向量之和等於零向量的約定提供一個理由。考慮以下三個向量之和 ${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}$.

1. 這三個向量之和與前兩個向量之和有什麼區別？
2. 前一個和與僅第一個向量之和有什麼區別？
3. 前一個包含一個向量的和與不包含任何向量的和之間應該有什麼區別？
4. 所以不包含任何向量的和的定義應該是什麼？

答案

1. $({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3})-({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})={\vec {v}}_{3}$
2. $({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})-({\vec {v}}_{1})={\vec {v}}_{2}$
3. 當然，${\vec {v}}_{1}$.
4. 將這個包含一個向量的和減去本身，得到 (${\vec {v}}_{1})-{\vec {v}}_{1}={\vec {0}}$.

問題 18

一個空間是由它的子空間決定的嗎？也就是說，如果兩個向量空間有相同的子空間，這兩個空間必須相等嗎？

答案

是的；任何空間都是它自身的子空間，所以每個空間都包含另一個。

問題 19

1. 給出一個在標量乘法下封閉但在加法下不封閉的集合。
2. 給出一個在加法下封閉但在標量乘法下不封閉的集合。
3. 給出一個在兩者下都不封閉的集合。

答案

1. 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，$x$ 軸和 $y$ 軸的並集是 1。
2. 作為 $\mathbb {R} ^{1}$ 的子集，整數集是 1。
3. $\mathbb {R} ^{2}$ 的子集 $\{{\vec {v}}\}$ 是 1，其中 ${\vec {v}}$ 是任何非零向量。

問題 20

證明一組向量的張成不依賴於向量在該組中的排列順序。

答案

因為向量空間加法是可交換的，所以重新排列求和項不會改變線性組合。

問題 21

哪個平凡子空間是空集的張成？是

$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\}\subseteq \mathbb {R} ^{3},\quad {\text{or}}\quad \{0+0x\}\subseteq {\mathcal {P}}_{1},$

還是其他子空間？

答案

我們總是考慮包含空間中的張成。

問題 22

證明如果一個向量在一個集合的張成中，那麼將該向量新增到該集合中不會使張成變大。這是否也是“當且僅當”？

答案

它是“當且僅當”。

對於“當”，設 $S$ 是向量空間 $V$ 的子集，並假設 ${\vec {v}}\in S$ 滿足 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$，其中 $c_{1},\ldots ,c_{n}$ 是標量，${\vec {s}}_{1},\ldots ,{\vec {s}}_{n}\in S$。我們必須證明 $[S\cup \{{\vec {v}}\}]=[S]$。

包含方向顯而易見，$[S]\subseteq [S\cup \{{\vec {v}}\}]$ 是顯而易見的。對於另一個方向，$[S\cup \{{\vec {v}}\}]\subseteq [S]$，請注意，如果一個向量在左側集合中，那麼它將具有形式$d_{0}{\vec {v}}+d_{1}{\vec {t}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {t}}_{m}$，其中$d$ 是標量，而${\vec {t}}\,$ 位於$S$ 中。將它重寫為$d_{0}(c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n})+d_{1}{\vec {t}}_{1}+\cdots +d_{m}{\vec {t}}_{m}$，並注意結果是$S$ 的跨度的成員。

“當且僅當”是明顯成立的——新增${\vec {v}}$ 會擴充套件跨度，使其至少包含${\vec {v}}$。

此練習推薦所有讀者嘗試。

問題 23

子空間是子集，因此我們自然會考慮“是…的子空間”如何與通常的集合運算相互作用。

1. 如果$A,B$ 是向量空間的子空間，那麼$A\cap B$ 必須是子空間嗎？總是嗎？有時嗎？從不嗎？
2. 那麼$A\cup B$ 必須是子空間嗎？
3. 如果$A$ 是一個子空間，那麼它的補集必須是子空間嗎？

(提示。嘗試示例 2.19 中的一些測試子空間。）

答案

1. 始終假設 $A,B$ 是 $V$ 的子空間。注意，它們的交集不為空，因為兩者都包含零向量。如果 ${\vec {w}},{\vec {v}}\in A\cap B$ 且 $r,s$ 是標量，那麼 $r{\vec {v}}+s{\vec {w}}\in A$，因為每個向量都在 $A$ 中，因此線性組合也在 $A$ 中，並且 $r{\vec {v}}+s{\vec {w}}\in B$ 也是出於同樣的原因。因此，交集是封閉的。現在 引理 2.19 適用。
2. 有時（更準確地說，只有當 $A\subseteq B$ 或 $B\subseteq A$）。為了看出答案不總是“始終”，可以取 $V$ 為 $\mathbb {R} ^{2}$，取 $A$ 為 $x$ 軸，取 $B$ 為 $y$ 軸。注意，

   ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\in A{\text{ and }}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\in B\quad {\text{but}}\quad {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\not \in A\cup B$

   由於和既不在 $A$ 中，也不在 $B$ 中。答案不是“從不”，因為如果 $A\subseteq B$ 或 $B\subseteq A$，那麼顯然 $A\cup B$ 是一個子空間。為了表明只有當一個子空間包含另一個子空間時，$A\cup B$ 是一個子空間，我們假設 $A\not \subseteq B$ 並且 $B\not \subseteq A$，並證明並集不是子空間。假設 $A$ 不是 $B$ 的子集意味著存在一個 ${\vec {a}}\in A$，其中 ${\vec {a}}\not \in B$。另一個假設給出了一個 ${\vec {b}}\in B$，其中 ${\vec {b}}\not \in A$。考慮 ${\vec {a}}+{\vec {b}}$。注意和不是 $A$ 的元素，否則 $({\vec {a}}+{\vec {b}})-{\vec {a}}$ 將會出現在 $A$ 中，而它並沒有。類似地，和也不是 $B$ 的元素。因此和不是 $A\cup B$ 的元素，因此並集不是子空間。
3. 從不。因為 $A$ 是一個子空間，它包含零向量，因此 $A$ 的補集不包含零向量。沒有零向量，補集就不能是一個向量空間。

此練習推薦所有讀者嘗試。

問題 24

一組向量的生成空間是否取決於包圍空間？也就是說，如果 $W$ 是 $V$ 的子空間，並且 $S$ 是 $W$ 的子集（因此也是 $V$ 的子集），$S$ 在 $W$ 中的生成空間是否可能與 $S$ 在 $V$ 中的生成空間不同嗎？

答案

一組向量的生成空間不取決於包圍空間。$S$ 中的向量的線性組合，無論我們將其看作是 $W$ 的運算還是 $V$ 的運算，都會得到相同的和，因為 $W$ 的運算繼承自 $V$。

問題 25

"是...的子空間" 關係是否具有傳遞性？也就是說，如果 $V$ 是 $W$ 的子空間，並且 $W$ 是 $X$ 的子空間，$V$ 一定是 $X$ 的子空間嗎？

答案

這是; 應用 引理 2.19。 (你必須考慮以下情況。 假設 $B$ 是向量空間 $V$ 的一個子空間，並且假設 $A\subseteq B\subseteq V$ 是一個子空間。 $A$ 從哪個空間繼承其運算？答案是它並不重要 - $A$ 在任何情況下都會繼承相同的運算。)

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問題 26

因為“生成集”是集合上的運算，我們自然會考慮它如何與通常的集合運算互動。

1. 如果 $S\subseteq T$ 是向量空間的子集，那麼 $[S]\subseteq [T]$ 是否成立？總是？有時？從不？
2. 如果 $S,T$ 是向量空間的子集，那麼 $[S\cup T]=[S]\cup [T]$ 是否成立？
3. 如果 $S,T$ 是向量空間的子集，那麼 $[S\cap T]=[S]\cap [T]$ 是否成立？
4. 生成集的補集是否等於生成集的補集？

答案

1. 總是；如果 $S\subseteq T$，那麼 $S$ 中元素的線性組合也是 $T$ 中元素的線性組合。
2. 有時（更準確地說，當且僅當 $S\subseteq T$ 或 $T\subseteq S$）。答案不是“總是”，如 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的這個例子所示

   $S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\},\quad T=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

   因為這一點。

   ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\in [S\cup T]\qquad {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\not \in [S]\cup [T]$

   答案不是“從不”，因為如果其中一個集合包含另一個集合，則等式就很明顯。我們可以透過假設 $S\not \subseteq T$（這意味著存在一個向量 ${\vec {s}}\in S$，其中 ${\vec {s}}\not \in T$）和 $T\not \subseteq S$（得到一個 ${\vec {t}}\in T$，其中 ${\vec {t}}\not \in S$）來描述等式，並注意到 ${\vec {s}}+{\vec {t}}\in [S\cup T]$，並證明 ${\vec {s}}+{\vec {t}}\not \in [S]\cup [T]$。
3. 有時。顯然 $[S\cap T]\subseteq [S]\cap [T]$，因為來自 $S\cap T$ 的向量的任何線性組合都是來自 $S$ 的向量的組合，也是來自 $T$ 的向量的組合。相反的包含並不總是成立。例如，在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，取

   $S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\},\quad T=\{{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\}$

   這樣 $[S]\cap [T]$ 是 $x$ 軸，但 $[S\cap T]$ 是平凡子空間。精確地描述何時等式成立是很困難的。顯然，如果其中一個集合包含另一個集合，則等式成立，但這並不僅僅是這個例子在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的“當且僅當”。

   $S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\},\quad T=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

4. 永遠不會，因為補集的生成空間是一個子空間，而生成空間的補集不是（它不包含零向量）。

問題 27

在不單獨處理空集的情況下，重新證明 引理 2.15。

答案

將子集稱為 $S$。根據 引理 2.9，我們需要檢查 $[S]$ 是否對線性組合封閉。如果 $c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n},c_{n+1}{\vec {s}}_{n+1}+\dots +c_{m}{\vec {s}}_{m}\in [S]$ 那麼對於任何 $p,r\in \mathbb {R}$ 我們有

$p\cdot (c_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n})+r\cdot (c_{n+1}{\vec {s}}_{n+1}+\cdots +c_{m}{\vec {s}}_{m})=pc_{1}{\vec {s}}_{1}+\cdots +pc_{n}{\vec {s}}_{n}+rc_{n+1}{\vec {s}}_{n+1}+\cdots +rc_{m}{\vec {s}}_{m}$

它是 $[S]$ 的元素。（注。 如果集合 $S$ 為空，則“如果...那麼...”語句為空真。）

問題 28

找到一個線上性組合下封閉但不是向量空間的結構。（注。 這有點像個陷阱問題。）

答案

要實現這一點，必須違反其中一個關於加法和標量乘法運算的合理性的條件。考慮 $\mathbb {R} ^{2}$，使用這些運算。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\qquad r{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

集合 $\mathbb {R} ^{2}$ 在這些運算下是封閉的。但它不是向量空間。

$1\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$