線性代數/線性無關

上一節表明，向量空間可以理解為其某些元素的無限制線性組合，即生成空間。例如，線性多項式空間 $\{a+bx\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 由集合 $\{1,x\}$ 生成。上一節還表明，一個空間可以有很多生成它的集合。線性多項式空間也被 $\{1,2x\}$ 和 $\{1,x,2x\}$ 生成。

在那一節的末尾，我們描述了一些生成集為“最小”，但我們從未精確定義這個詞。我們可以將“最小”理解為兩種含義之一。我們可以認為，如果一個生成集包含的成員數量最少，而其他生成相同空間的集合都比它多，那麼這個生成集就是最小的。根據這個定義， $\{1,x,2x\}$ 不是最小的，因為它比另外兩個多一個成員。或者，我們可以認為，當一個生成集沒有可以移除而不改變生成空間的元素時，它就是最小的。根據這個定義， $\{1,x,2x\}$ 不是最小的，因為移除 $2x$ 並得到 $\{1,x\}$ 不會縮小生成空間。

最小性的第一個含義似乎是一個全域性的要求，因為要檢查一個生成集是否是最小的，我們似乎必須檢視子空間的所有生成集，並找到一個元素數量最少的生成集。最小性的第二個含義是區域性的，因為我們只需要檢視所討論的集合，並考慮有無各種元素的生成空間。例如，使用第二個含義，我們可以比較 $\{1,x,2x\}$ 的生成空間與 $\{1,x\}$ 的生成空間，並注意到 $2x$ 是一個“重複”，因為它移除後不會縮小生成空間。

在本節中，我們將使用“最小生成集”的第二個含義，因為這種技術上的便利性。然而，本書最重要的結果是這兩個含義是相同的；我們將在下一節中證明這一點。