線性代數/線性無關的定義和示例

線性代數
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生成集和線性無關

我們首先描述在不改變集合的生成空間的情況下，何時可以從集合中移除一個向量。

引理 1.1

其中 $S$ 是向量空間 $V$ 的一個子集，

[S]=[S\cup \{{\vec {v}}\}]\quad {\text{if and only if}}\quad {\vec {v}}\in [S]

對於任何 ${\vec {v}}\in V$ .

證明

從左到右的推論很容易。如果 $[S]=[S\cup \{{\vec {v}}\}]$ ，那麼，由於 ${\vec {v}}\in [S\cup \{{\vec {v}}\}]$ ，這兩個集合的相等性表明 ${\vec {v}}\in [S]$ .

對於從右到左的蘊含，假設 ${\vec {v}}\in [S]$ 來證明 $[S]=[S\cup \{{\vec {v}}\}]$ ，透過相互包含證明。包含 $[S]\subseteq [S\cup \{{\vec {v}}\}]$ 是顯而易見的。對於另一個包含 $[S]\supseteq [S\cup \{{\vec {v}}\}]$ ，將 $[S\cup \{{\vec {v}}\}]$ 中的元素寫成 $d_{0}{\vec {v}}+d_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {s}}_{m}$ ，並將 ${\vec {v}}$ 的展開式代入到同一個集合 $d_{0}(c_{0}{\vec {t}}_{0}+\dots +c_{k}{\vec {t}}_{k})+d_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +d_{m}{\vec {s}}_{m}$ 中。這是一個線性組合的線性組合，因此分配 $d_{0}$ 會得到來自 $S$ 的向量的線性組合。因此， $[S\cup \{{\vec {v}}\}]$ 中的每個元素也是 $[S]$ 的元素。

示例 1.2

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，其中

{\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}_{3}={\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}

跨度 $[\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}]$ 和 $[\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3}\}]$ 是相等的，因為 ${\vec {v}}_{3}$ 位於跨度 $[\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}]$ 中。

引理表明，如果我們有一個生成集，那麼我們就可以移除一個 ${\vec {v}}$ 來得到一個新的集合 $S$ ，這個集合具有相同的跨度，當且僅當 ${\vec {v}}$ 是來自 $S$ 中的向量的線性組合。因此，根據上面描述的第二種意義，生成集是最小的，當且僅當它不包含任何向量是該集合中其他向量的線性組合。我們有一個術語來描述這個重要性質。

定義 1.3

向量空間的子集是**線性無關**的，如果它的任何元素都不是其他元素的線性組合。否則它就是**線性相關**的。

這裡有一個重要的觀察結果

{\vec {s}}_{0}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}

雖然這種將一個向量寫成其他向量組合的方式在視覺上將 ${\vec {s}}_{0}$ 從其他向量中分離出來，但從代數的角度來看，這個方程對於 ${\vec {s}}_{0}$ 沒有特殊之處。對於任何係數為 $c_{i}$ 且不為零的 ${\vec {s}}_{i}$ ，我們可以改寫這個關係，將 ${\vec {s}}_{i}$ 分離出來。

{\vec {s}}_{i}=(1/c_{i}){\vec {s}}_{0}+(-c_{1}/c_{i}){\vec {s}}_{1}+\dots +(-c_{n}/c_{i}){\vec {s}}_{n}

當我們不想透過將任何一個向量單獨寫在一側來突出顯示它時，我們將說 ${\vec {s}}_{0},{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}$ 處於線性關係，並將所有向量寫在一個等式的一側。下一個結果以這種風格重新表述線性無關的定義。它給出了通常計算有限集是線性相關還是線性無關的最簡單方法。

引理 1.4

向量空間的一個子集 $S$ 線性無關，當且僅當對於任何不同的 ${\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\in S$ ，這些向量之間唯一的線性關係是

c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}={\vec {0}}\qquad c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R}

是平凡的： $c_{1}=0,\dots ,\,c_{n}=0$ .

證明

這是上面觀察結果的直接推論。

如果集合 $S$ 線性無關，那麼沒有向量 ${\vec {s}}_{i}$ 可以寫成集合 $S$ 中其他向量的線性組合，因此不存在一些 ${\vec {s}}\,$ 的係數不為零的線性關係。如果 $S$ 線性相關，那麼某些 ${\vec {s}}_{i}$ 是 $S$ 中其他向量的線性組合，即 ${\vec {s}}_{i}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+\dots +c_{i-1}{\vec {s}}_{i-1}+c_{i+1}{\vec {s}}_{i+1}+\dots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$ ，從等式兩邊減去 ${\vec {s}}_{i}$ 會得到一個包含非零係數的線性關係，即 $-1$ 在 ${\vec {s}}_{i}$ 前面。

示例 1.5

在二維行向量的向量空間中，兩元素集合 $\{{\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-50&25\end{pmatrix}}\}$ 是線性無關的。為了驗證這一點，令

c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}-50&25\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}

並求解由此產生的系統

{\begin{array}{*{2}{rc}r}40c_{1}&-&50c_{2}&=&0\\15c_{1}&+&25c_{2}&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-(15/40)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}40c_{1}&-&50c_{2}&=&0\\&&(175/4)c_{2}&=&0\end{array}}

表明 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 都為零。因此，這兩個給定行向量之間唯一的線性關係是平凡關係。

在同一個向量空間中， $\{{\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}20&7.5\end{pmatrix}}\}$ 是線性相關的，因為我們可以滿足

c_{1}{\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}20&7.5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}

當 $c_{1}=1$ 且 $c_{2}=-2$ 。

備註 1.6

回顧本書開頭的靜力學例子。我們首先將未知質量的物體放在 $40$ 釐米和 $15$ 釐米處，得到了平衡，然後我們把物體放在 $-50$ 釐米和 $25$ 釐米處，得到了平衡。有了這兩個資訊，我們就可以計算出未知質量的值。如果我們首先將未知質量的物體放在 $40$ 釐米和 $15$ 釐米處，然後放在 $20$ 釐米和 $7.5$ 釐米處，我們將無法計算出未知質量的值（試試看）。直觀地，問題在於 ${\begin{pmatrix}20&7.5\end{pmatrix}}$ 資訊是 ${\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}}$ 資訊的 "重複" - 也就是說， ${\begin{pmatrix}20&7.5\end{pmatrix}}$ 在集合 $\{{\begin{pmatrix}40&15\end{pmatrix}}\}$ 的跨度內 - 因此，我們將嘗試用本質上只有一條資訊來解決一個有兩個未知數的問題。

例 1.7

集合 $\{1+x,1-x\}$ 在 ${\mathcal {P}}_{2}$ （具有實係數的二次多項式空間）中線性無關，因為

0+0x+0x^{2}=c_{1}(1+x)+c_{2}(1-x)=(c_{1}+c_{2})+(c_{1}-c_{2})x+0x^{2}

得到

{\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&0\\c_{1}&-&c_{2}&=&0\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&0\\&&2c_{2}&=&0\end{array}}\end{array}}

因為多項式只有在係數相等時才相等。因此，這兩個成員之間唯一的線性關係是平凡的。 ${\mathcal {P}}_{2}$

例 1.8

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，其中

{\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}_{2}={\begin{pmatrix}2\\9\\2\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}_{3}={\begin{pmatrix}4\\18\\4\end{pmatrix}}

集合 $S=\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3}\}$ 是線性相關的，因為存在以下關係

0\cdot {\vec {v}}_{1}+2\cdot {\vec {v}}_{2}-1\cdot {\vec {v}}_{3}={\vec {0}}

其中，並非所有標量都為零（某些標量為零無關緊要）。

備註 1.9

這個例子說明了為什麼儘管定義 1.3 更清晰地闡述了獨立性的概念，但引理 1.4 更適合計算。直接從定義出發，試圖計算 $S$ 是否線性無關的人會先設定 ${\vec {v}}_{1}=c_{2}{\vec {v}}_{2}+c_{3}{\vec {v}}_{3}$ 並得出結論，不存在這樣的 $c_{2}$ 和 $c_{3}$ 。但知道第一個向量不依賴於其他兩個向量是不夠的。這個人還需要繼續嘗試 ${\vec {v}}_{2}=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{3}{\vec {v}}_{3}$ 以找到依賴關係 $c_{1}=0$ ， $c_{3}=1/2$ 。引理 1.4 只需一次計算就能得到相同的結論。

例 1.10

向量空間的空子集是線性無關的。因為該子集沒有成員，所以成員之間不存在非平凡線性關係。

例 1.11

在任何向量空間中，任何包含零向量的子集都是線性相關的。例如，在二次多項式的空間 ${\mathcal {P}}_{2}$ 中，考慮子集 $\{1+x,x+x^{2},0\}$ 。

證明該子集線性相關的其中一種方法是使用引理 1.4：我們有 $0\cdot {\vec {v}}_{1}+0\cdot {\vec {v}}_{2}+1\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ ，這是一個非平凡的關係，因為並非所有係數都為零。證明該子集線性相關的另一種方法是直接使用定義 1.3：我們可以將子集的第三個元素表示為前兩個元素的線性組合，即， $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}$ 可以透過取 $c_{1}=0$ 和 $c_{2}=0$ 來滿足（與引理不同，定義允許所有係數都為零）。

（還有一種更細微的方法來證明該子集是相關的。零向量等於平凡和，即，它是沒有向量之和。因此，在包含零向量的集合中，存在一個元素可以寫成集合中其他向量的組合，具體來說，零向量可以寫成空集的組合。）

以上例子，尤其是例 1.5，強調了本節開頭討論的內容。下一個結果表明，給定一個有限集，我們可以透過丟棄注 1.6 所謂的“重複”來生成一個線性無關的子集。

定理 1.12

在向量空間中，任何有限子集都具有一個與之具有相同生成空間的線性無關的子集。

證明

如果集合 $S=\{{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\}$ 是線性無關的，那麼 $S$ 本身就滿足該陳述，因此假設它是線性相關的。

根據相關性的定義，存在一個向量 ${\vec {s}}_{i}$ 是其他向量的線性組合。將該向量稱為 ${\vec {v}}_{1}$ 。丟棄它——定義集合 $S_{1}=S-\{{\vec {v}}_{1}\}$ 。根據引理 1.1，生成空間不會縮小 $[S_{1}]=[S]$ 。

現在，如果 $S_{1}$ 線性無關，那麼我們就完成了。否則重複前面的步驟：取一個向量 ${\vec {v}}_{2}$ ，它是 $S_{1}$ 中其他成員的線性組合，並將其丟棄以得到 $S_{2}=S_{1}-\{{\vec {v}}_{2}\}$ ，使得 $[S_{2}]=[S_{1}]$ 。重複此過程，直到出現線性無關的集合 $S_{j}$ ；最終一定會出現，因為 $S$ 是有限的，空集是線性無關的。(形式上，這個論證使用了對 $n$ 的歸納法，即起始集合中的元素個數。問題 20 要求詳細內容。)

示例 1.13

該集合跨越 $\mathbb {R} ^{3}$ .

S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}}\}

尋找線性關係

c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}+c_{4}{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}+c_{5}{\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}

得到一個三方程五未知數的線性系統，其解集可以用這種方式引數化。

\{{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\c_{4}\\c_{5}\end{pmatrix}}=c_{3}{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{5}{\begin{pmatrix}-3\\-3/2\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{3},c_{5}\in \mathbb {R} \}

因此， $S$ 線性相關。令 $c_{3}=0$ 且 $c_{5}=1$ 表明第五個向量是前兩個向量的線性組合。因此，根據引理 1.1，捨棄第五個向量

S_{1}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}\}

並不會改變其生成空間 $[S_{1}]=[S]$ 。現在， $S_{1}$ 中的第三個向量是前兩個向量的線性組合，我們得到

S_{2}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}\}

與 $S_{1}$ 具有相同的生成空間，因此與 $S$ 具有相同的生成空間，但有一個不同之處。集合 $S_{2}$ 線性無關（這很容易驗證），因此捨棄其任何元素都會縮小生成空間。

線性無關與子集關係

定理 1.12 描述了透過縮減產生線性無關集合的方法，即取子集。在本小節的最後，我們將考慮線性無關和線性相關（它們是集合的屬性）如何與集合之間的子集關係相互作用。

引理 1.14

線性無關集合的任何子集也是線性無關的。線性相關集合的任何超集也是線性相關的。

證明

這很明顯。

換句話說，無關性由子集保留，而相關性由超集保留。

上面列舉了我們能考慮的四種互動情況中的兩種。第三種情況，即子集運算是否保留線性相關性，在例 1.13中有所論述，該例給出了一個線性相關集 $S$ ，它包含一個線性相關子集 $S_{1}$ ，以及一個線性無關子集 $S_{2}$ 。

還剩下最後一種情況，即超集運算是否保留線性無關性。下面的例子展示了可能發生的情況。

例 1.15

在這三段話中，子集 $S$ 都是線性無關的。

對於集合

S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\}

其張成空間 $[S]$ 是 $x$ 軸。以下是 $S$ 的兩個超集，其中一個線性相關，另一個線性無關。

線性相關： $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\0\\0\end{pmatrix}}\}$ 線性無關： $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\}$

檢查這些集合的線性相關性或無關性很容易。

對於

S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\}

其張成空間 $[S]$ 是 $xy$ 平面。以下是兩個超集。

依賴: $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}}\}$ 獨立: $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}$

如果

S=\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\}

那麼 $[S]=\mathbb {R} ^{3}$ 。一個線性依賴的超集是

依賴: $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}\}$

但是， $S$ 沒有線性獨立的超集。原因是，對於任何我們新增以形成超集的向量，線性依賴方程

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

有解 $c_{1}=x$ ， $c_{2}=y$ ，和 $c_{3}=z$ 。

因此，一般來說，一個線性無關集可能有一個依賴的超集。同樣，一般來說，一個線性無關集可能有一個獨立的超集。我們可以確定什麼時候超集是依賴的，什麼時候是獨立的。

引理 1.16

其中 $S$ 是向量空間 $V$ 的一個線性無關子集，

S\cup \{{\vec {v}}\}{\text{ is linearly dependent}}\quad {\text{if and only if}}\quad {\vec {v}}\in [S]

對於任何 ${\vec {v}}\in V$ 其中 ${\vec {v}}\not \in S$ .

證明

一個推論很明顯：如果 ${\vec {v}}\in [S]$ 那麼 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}$ ，其中每個 ${\vec {s}}_{i}\in S$ 且 $c_{i}\in \mathbb {R}$ ，因此 ${\vec {0}}=c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}+(-1){\vec {v}}$ 是 $S\cup \{{\vec {v}}\}$ 中元素的非平凡線性關係。

另一個推論需要假設 $S$ 是線性無關的。如果 $S\cup \{{\vec {v}}\}$ 線性相關，那麼存在非平凡的線性關係 $c_{0}{\vec {v}}+c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {s}}_{n}={\vec {0}}$ ，而 $S$ 的線性無關性意味著 $c_{0}\neq 0$ ，否則這將是 $S$ 成員之間的非平凡關係。現在將該等式改寫為 ${\vec {v}}=-(c_{1}/c_{0}){\vec {s}}_{1}-\dots -(c_{n}/c_{0}){\vec {s}}_{n}$ 表明 ${\vec {v}}\in [S]$ 。

(將此結果與引理 1.1進行比較。兩者大致都表示，如果 ${\vec {v}}$ 在 $S$ 的跨度中，那麼它是一個“重複”。但是，請注意這裡關於線性無關性的額外假設。）

推論 1.17

向量空間的子集 $S=\{{\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n}\}$ 線性相關當且僅當某些 ${\vec {s_{i}}}$ 是向量 ${\vec {s}}_{1}$ ，...， ${\vec {s}}_{i-1}$ 的線性組合，這些向量都在它之前列出。

證明

考慮 $S_{0}=\{\}$ ， $S_{1}=\{{\vec {s_{1}}}\}$ ， $S_{2}=\{{\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2}\}$ ，等等。某個索引 $i\geq 1$ 是第一個使得 $S_{i-1}\cup \{{\vec {s}}_{i}\}$ 線性相關的，並且在那裡 ${\vec {s}}_{i}\in [S_{i-1}]$ 。

引理 1.16 可以用獨立性而不是依賴性來重新表述：如果 $S$ 線性無關且 ${\vec {v}}\not \in S$ ，則集合 $S\cup \{{\vec {v}}\}$ 也線性無關，當且僅當 ${\vec {v}}\not \in [S].$ 應用引理 1.1，我們得出結論：如果 $S$ 線性無關且 ${\vec {v}}\not \in S$ ，則 $S\cup \{{\vec {v}}\}$ 也線性無關，當且僅當 $[S\cup \{{\vec {v}}\}]\neq [S]$ 。簡單來說，當從 $S$ 轉換為超集 $S_{1}$ 時，為了保持線性無關性，我們必須擴充套件其生成空間 $[S_{1}]\supset [S]$ 。

示例 1.15 表明，一些線性無關集是極大的——具有儘可能多的元素——因為它們沒有線性無關的超集。根據上一段，一個線性無關集是極大的，當且僅當它生成整個空間，因為這樣就不會存在不在其生成空間內的向量。

此表總結了獨立性和依賴性的性質以及子集和超集關係之間的相互作用。

S_{1}\subset S

S_{1}\supset S

$S$ 線性無關

$S_{1}$ 必須線性無關	$S_{1}$ 可能任一
$S_{1}$ 可能任一	$S_{1}$ 必須線性相關

$S$ 線性相關

在構建這個表時，我們發現了線性無關性和生成空間之間的密切關係。補充了生成集是極小的，當且僅當它線性無關這一事實，一個線性無關集是極大的，當且僅當它生成整個空間。

總之，我們引入了線性無關性的定義來形式化生成集的最小性。我們已經開發了一些關於這種想法的性質。其中最重要的性質是引理 1.16，它告訴我們一個線性無關集在生成整個空間時是極大的。

練習

建議所有讀者完成此練習。

問題 1

判斷 $\mathbb {R} ^{3}$ 的每個子集是線性相關還是線性無關。

$\{{\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\-4\\14\end{pmatrix}}\}$
$\{{\begin{pmatrix}1\\7\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\7\\7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}\}$
$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}\}$
$\{{\begin{pmatrix}9\\9\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\5\\-4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}12\\12\\-1\end{pmatrix}}\}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 2

這些 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的子集哪些是線性相關的，哪些是線性無關的？

$\{3-x+9x^{2},5-6x+3x^{2},1+1x-5x^{2}\}$
$\{-x^{2},1+4x^{2}\}$
$\{2+x+7x^{2},3-x+2x^{2},4-3x^{2}\}$
$\{8+3x+3x^{2},x+2x^{2},2+2x+2x^{2},8-2x+5x^{2}\}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 3

證明每個集合 $\{f,g\}$ 在所有從 $\mathbb {R} ^{+}$ 到 $\mathbb {R}$ 的函式向量空間中是線性無關的。

$f(x)=x$ 以及 $g(x)=1/x$
$f(x)=\cos(x)$ 以及 $g(x)=\sin(x)$
$f(x)=e^{x}$ 以及 $g(x)=\ln(x)$

建議所有讀者完成此練習。

問題 4

以下哪些實值單變數函式空間的子集是線性相關的，哪些是線性無關的？（注意，我們對一些常數函式進行了簡寫；例如，在第一個專案中，“ $2$ " 代表常數函式 $f(x)=2$ 。）

$\{2,4\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x)\}$
$\{1,\sin(x),\sin(2x)\}$
$\{x,\cos(x)\}$
$\{(1+x)^{2},x^{2}+2x,3\}$
$\{\cos(2x),\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x)\}$
$\{0,x,x^{2}\}$

問題 5

方程 $\sin ^{2}(x)/\cos ^{2}(x)=\tan ^{2}(x)$ 說明這組函式 $\{\sin ^{2}(x),\cos ^{2}(x),\tan ^{2}(x)\}$ 是所有定義域為區間 $(-\pi /2..\pi /2)$ 的所有實值函式的線性相關子集，該區間包含介於 $-\pi /2$ 和 $\pi /2$ 之間的實數？

問題 6

為什麼引理 1.4 中說“不同”？

建議所有讀者完成此練習。

問題 7

證明階梯型矩陣的非零行構成一個線性無關集。

建議所有讀者完成此練習。

問題 8

證明如果集合 $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ 是線性無關集，那麼集合 $\{{\vec {u}},{\vec {u}}+{\vec {v}},{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}\}$ 也是線性無關集。
集合 $\{{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\}$ 的線性無關性或相關性與集合 $\{{\vec {u}}-{\vec {v}},{\vec {v}}-{\vec {w}},{\vec {w}}-{\vec {u}}\}$ 的無關性或相關性之間的關係是什麼？

問題 9

示例 1.10 說明空集是線性無關的。

一個元素的集合什麼時候是線性無關的？
兩個元素的集合呢？

問題 10

在任何向量空間 $V$ 中，空集是線性無關的。整個 $V$ 呢？

問題 11

證明如果 $\{{\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}}\}$ 線性無關，那麼它的所有真子集： $\{{\vec {x}},{\vec {y}}\}$ ， $\{{\vec {x}},{\vec {z}}\}$ ， $\{{\vec {y}},{\vec {z}}\}$ ， $\{{\vec {x}}\}$ ， $\{{\vec {y}}\}$ ， $\{{\vec {z}}\}$ 以及 $\{\}$ 都是線性無關的。那麼反過來是否也成立呢？

問題 12

證明：
$S=\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}\}$
是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的一個線性無關子集。
證明：
${\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$
在 $S$ 的生成空間中，透過找到 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ ，得到一個線性關係。
$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}}$
證明該對 $c_{1},c_{2}$ 是唯一的。
假設 $S$ 是向量空間的一個子集，並且 ${\vec {v}}$ 在 $[S]$ 中，因此 ${\vec {v}}$ 是 $S$ 中向量的一個線性組合。證明如果 $S$ 是線性無關的，那麼 $S$ 中向量加起來等於 ${\vec {v}}$ 的線性組合是唯一的（即，除了重新排序和新增或刪除 $0\cdot {\vec {s}}$ 形式的項之外）。因此， $S$ 作為生成集在這種強意義上是最小的： $[S]$ 中的每個向量都被“命中”最少的次數——只有一次。
證明當 $S$ 不是線性無關時，不同的線性組合可以加起來得到相同的向量。

問題 13

證明一個多項式只有當它是零多項式時才會生成零函式。（評論。這個問題不是線性代數的問題，但我們經常使用這個結果。多項式以顯而易見的方式生成函式： $x\mapsto c_{n}x^{n}+\dots +c_{1}x+c_{0}$ 。）

問題 14

回到第 1.2 節，重新定義點、線、平面和其他線性曲面以避免退化情況。

問題 15

證明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何四個向量集都是線性相關的。
這對任何五個向量集都成立嗎？任何三個向量集都成立嗎？
$\mathbb {R} ^{2}$ 的線性無關子集最多可以包含多少個元素？

建議所有讀者完成此練習。

問題 16

$\mathbb {R} ^{3}$ 中是否存在四個向量集，其中任意三個向量都形成一個線性無關集？

問題 17

每個線性相關集是否都必須有一個依賴的子集和一個獨立的子集？

問題 18

在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中，你能找到的最大線性無關集是什麼？最小的呢？最大線性相關集呢？最小的呢？（“最大”和“最小”是指不存在具有相同屬性的超集或子集。）

建議所有讀者完成此練習。

問題 19

線性無關和線性相關是集合的性質。因此，我們可以自然地問這些性質如何相對於熟悉的初等集合關係和運算起作用。在本節的正文中，我們已經涵蓋了子集和超集關係。我們還可以考慮交集、補集和並集的運算。

線性無關如何與交集相關：線性無關集的交集可以是無關的嗎？必須是嗎？
線性無關如何與補集相關？
證明兩個線性無關集的並集不一定是線性無關的。
用每個集合的跨度的交集來描述兩個線性無關集的並集何時是線性無關的。

建議所有讀者完成此練習。

問題 20

對於定理 1.12，

填寫證明中的歸納法；
給出另一種證明，從空集開始，構建給定有限集的線性無關子集的序列，直到出現一個與給定集合具有相同跨度的子集。

問題 21

透過一些計算，我們可以得到公式來確定一組向量是否線性無關。

證明 $\mathbb {R} ^{2}$ 的這個子集
$\{{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}\}$
線性無關當且僅當 $ad-bc\neq 0$ .
證明 $\mathbb {R} ^{3}$ 的這個子集
$\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}\}$
線性無關當且僅當 $aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$ .
何時 $\mathbb {R} ^{3}$ 的這個子集
$\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}\}$
線性無關？
這是一個意見問題：對於來自 $\mathbb {R} ^{4}$ 的四個向量集，必須存在一個涉及十六個條目的公式來確定該集的獨立性嗎？（你不需要給出這樣的公式，只需要判斷是否存在這樣的公式。）

建議所有讀者完成此練習。

問題 22

證明來自 $\mathbb {R} ^{n}$ 的兩個非零正交向量集線上性無關，當 $n>1$ .
如果 $n=1$ ？ $n=0$ ？
推廣到兩個以上的向量。

問題 23

考慮從開區間 $(-1..1)$ 到 $\mathbb {R}$ 的函式集。

證明該集合在通常的運算下是一個向量空間。
回憶無限等比數列的求和公式： $1+x+x^{2}+\cdots =1/(1-x)$ 對於所有 $x\in (-1..1)$ 。為什麼這在集合 $\{g(x)=1/(1-x),f_{0}(x)=1,f_{1}(x)=x,f_{2}(x)=x^{2},\ldots \}$ 內表達一種依賴關係？（提示：回顧線性組合的定義。）
證明上一個專案中的集合是線性無關的。

這表明一些向量空間存線上性無關的無限子集。

問題 24

證明，當 $S$ 是 $V$ 的子空間時，如果 $S$ 的子集 $T$ 在 $S$ 中是線性無關的，那麼 $T$ 在 $V$ 中也是線性無關的。這是否是一個“充分必要條件”?

解答

線性代數
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